張慧芬

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

1 概念描述

等價(jià)設(shè)A與B為m×n矩陣，存在可逆矩陣P，Q，使得PAQ=B，則稱A與B等價(jià)。

相似設(shè)A與B為n×n矩陣，存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B，則稱A與B相似。

合同設(shè)A與B為n×n矩陣，存在可逆矩陣P，使得PTAP=B，則稱A與B合同。[1-3]

2 區(qū)別與聯(lián)系

（1）等價(jià)只要求矩陣A與B是同型矩陣，不一定是方陣，但相似和合同要求矩陣A與B必須是同型矩陣中的方陣。

（2）矩陣的等價(jià)、相似、合同實(shí)際都是矩陣之間的初等變換，只不過變換方式不一樣。

說明如下：

由可逆的充要條件，A可逆?A=P1,P2,…,PS,且P1,P2,…,PS是初等矩陣。

故等價(jià)的PAQ=B，即存在m階初等矩陣P1,P2,…,PS和n階初等矩陣Q1,Q2,…,Qt，使得

PS,…,P2P1AQ1Q2,…,Qt=B；

相似的P-1AP=B，即存在n階初等矩陣P1,P2,…,PS，使得

合同的PTAP=B，等價(jià)是即存在n階初等矩陣P1,P2,…,PS，使得

三者都是相當(dāng)于對(duì)A任意做有限次初等行變換和初等列變換。但是相似和合同作初等行變換和列變換的次數(shù)是一樣的，相似做一次列變換，再作一次相應(yīng)的逆行變換，合同做一次列變換，對(duì)應(yīng)的作一次同樣的行變換。

3 判別

在判別矩陣的三種關(guān)系是，秩是等價(jià)關(guān)系的不變量，而相似和合同也是等價(jià)的，秩也不變，再結(jié)合特征值和正負(fù)慣性指數(shù)來區(qū)別相似和合同,注意合同僅限于對(duì)稱陣。

（1）矩陣A與B等價(jià)?R(A)=R(B)；

（2）可以借助一些必要條件來判定矩陣不相似:

若A與B相似?A與B有相同的特征值；

?A與B有相同的跡；

?|A|=|B|。

但如果以上的必要性成立，不再能說明矩陣的相似，這時(shí)一般利用取其重特征值時(shí)構(gòu)成的矩陣的秩，即R(A-λE)來進(jìn)一步判定。

（3）對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣，有一些可以直接用的結(jié)論：

①實(shí)對(duì)稱矩陣A與B相似?A與B具有相同的特征值；

證明A與B相似，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B。故|

可知特征值相同。

實(shí)對(duì)稱矩陣A與B有相同的特征值，存在正交矩陣使得A與B一定相似于相同的對(duì)角陣，由相似關(guān)系的傳遞性知，A與B相似。

證畢

②實(shí)對(duì)稱矩陣A與B合同?二次型xTAx與xTBx具有相同正負(fù)慣性指數(shù)；

證明A與B合同，即存在可逆矩陣P，使得PTAP=B。由于B是實(shí)對(duì)稱矩陣，故一定存在正交矩陣Q，使得

即A與B都合同于對(duì)角陣∧。

可知二次型xTAx與xTBx具有相同正負(fù)慣性指數(shù)。

二次型xTAx與xTBx具有相同正負(fù)慣性指數(shù)，一定存在可逆的線性變換x=Py與y=Qz，使得

所以A與B都合同于∧，由合同的傳遞性知A與B合同。

證畢

③實(shí)對(duì)稱矩陣A與B相似?A與B合同。

證明實(shí)對(duì)稱矩陣A與B相似，A與B具有相同的特征值，即存在正交矩陣P,Q，使得

從而

故A與B合同。

4 舉例

例1判定下列矩陣哪些等價(jià)、相似、合同,

解R(A)=R(C)=R(D)=1,R(B)=2。

所以A,C,D等價(jià)。

由R(B)=2≠1可以看出相似排除B，A,C的特征值是1,0,0。D的特征值是2,0,0。可以看出相似排除D。取二重特征值0時(shí)，3-R(A-λE)=3-R(A)=2,有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，A可相似對(duì)角化，A與C相似。

合同只限于實(shí)對(duì)稱矩陣，觀察C,D的特征值。C，D的正慣性指數(shù)都為1，負(fù)慣性指數(shù)都為0，由②得C,D合同。

例2已知矩陣

則（）

(A)A與C相似，B與C相似

(B)A與C相似，B與C不相似

(C)A與C不相似，B與C相似

(D)A與C不相似，B與C不相似

解可求出A,B,C的特征值都是2,2,0，且A,C都是實(shí)對(duì)稱矩陣，由①得A與C相似。對(duì)于矩陣B,3-R(B-2E)=3-2=1，只有一個(gè)特征向量，B不可相似對(duì)角化，B與C不相似。所以選(B)。

[1]高志強(qiáng),龐彥軍.線性代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社,2016.

[2]智婕.矩陣等價(jià)、相似、合同的聯(lián)系[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011,76(3):2-3.

[3]蔣衛(wèi)華,王洪濱.線性代數(shù)教學(xué)中兩組概念的處理[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2005,21(1):120-123.