高彩云,胡國榮

（1.山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,山西大同037009;2.吉林大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院,吉林長春130012）

目前常見的定位技術(shù)主要依靠衛(wèi)星來實現(xiàn)，這種方法雖然精度高，但所需要的設(shè)備要求和技術(shù)要求也比較高[1-4]。太陽影子定位技術(shù)是通過分析物體的太陽影子變化，確定地點和日期的一種方法，這種方法簡便易行，而且人工可操作性也比較強。我們都知道，物體的影長與物體本身的長度和太陽高度角有關(guān)，而太陽高度角又與太陽直射緯度、當(dāng)?shù)厮诰暥群蜁r角有關(guān)[5-8]。要想利用太陽影子確定地點和日期，就必須利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)和物理公式建立影長與桿長的數(shù)學(xué)模型，然后利用程序遍歷所有可能的經(jīng)緯度和日期，從而得到相應(yīng)問題的解。

1 模型的建立

假設(shè)地球是一個標(biāo)準(zhǔn)的球體，忽略大氣層對太陽光線的折射影響，桿與地面絕對的垂直。假設(shè)的變量及意義如表1所示。

表1 變量及意義說明

如圖1所示，以地球上的一個位置作為研究的對象，以地球的球心為原點，地軸為z軸。并且以一個時間變量（該位置的當(dāng)?shù)貢r間t的變化來模擬地球的轉(zhuǎn)動。x軸的選取方式為：當(dāng)該位置位于xoz平面的第一卦限或第四卦限時，該位置為正午時刻，也就是說，x軸的位置是太陽光直射的經(jīng)度位置。地球的自轉(zhuǎn)方向為x軸正方向到y(tǒng)軸正方向。

圖1 以地球的球心為原點建立的坐標(biāo)系

用極坐標(biāo)的方式來表示球面點的坐標(biāo)，如圖2，其中Ф為該點的緯度（∠AOB），R為地球的半徑，β為角∠XOB的值（無特殊說明角度都為弧度制）。地球一小時內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為，且β為0時對應(yīng)中午12時，所以

圖2 極坐標(biāo)表示球面點的坐標(biāo)

對于光線的模擬只需要一個單位向量，由前面x軸的定義可知，該向量在XOZ平面內(nèi)。設(shè)太陽光直射緯度值為α，查閱參考文獻(xiàn)得α=23.45sin（n為從1月1日起經(jīng)過的天數(shù)）[1]，則光 向 量(-cosα，0，-sinα)，點 A 的 坐 標(biāo) 為（RcosФcosβ，RcosФsinβ，RsinФ），點A處切平面的法向量（即該位置垂直于地面向上的向量）為（cosФcosβ，cosФsinβ，sinФ）。

設(shè)γ與α的夾角為η，太陽高度角為δ，則可以推出下面的公式：

綜上所述，所建數(shù)學(xué)模型為：

2 模型的算法實現(xiàn)

精密遍歷：在初次遍歷的結(jié)果的基礎(chǔ)上，縮小緯度Ф，時差Δt，桿長L的遍歷范圍，增大遍歷的密度，提高結(jié)果的精確度。

3 模型的運用

尋找一組可供使用的數(shù)據(jù)（源自2015年“高教社”杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題），時間與影長的關(guān)系表2所示。

3.1 春分到夏至

初次遍歷，n:80～173(1)，Φ:-0.5*π～0.5*π(0.05*π)，Δt:-4.80～1.68(0.01)，L:0.5～3.0(0.01)，如表3所示。

精密遍歷，n:120～125(1)Φ:0.62～0.63(0.001)，Δt:-3.00～-2.70(0.001)，L:1.50～2.00(0.001)，如表4所示。

得到日期n為122(5月2日)，緯度為0.627(N35°55′28′′),經(jīng)度為E78°15′18′′。 根據(jù)太陽運動的對稱性得夏至到秋分的日期為n=224(8月12日)。

3.2 秋分到冬至

初次遍歷，n:266～356()1 ，Φ:0.5*π～0.5*π(0.05*π)，Δt:-4.80～ -1.68(0.01)，L:1～2.5（0.01），如表5所示。

精密遍歷，n:302～307()1，Φ:-0.63～-0.62(0.001)，Δt:-2.90～ -2.70(0.001)，L:1.50～ 2.00(0.001),如表6所示。

得出日期n=305（11月2日），緯度為-0.629（S36°36′43′′）,經(jīng)度為E78°18′54′′。根據(jù)太陽直射緯度變化的對稱性得冬至到處分的日期n=42（2月11日）。

所得結(jié)果與數(shù)據(jù)出處近乎一致。

4 結(jié)語

本文建立了一個基于空間直角坐標(biāo)系的模型，每一個坐標(biāo)、向量簡單明了，易于計算。在建立的過程中，由于充分考慮了當(dāng)?shù)貢r間與北京時間之間的關(guān)系，選擇以本地時間而非本地經(jīng)度作為模型的一個重要的變量，因而使模型化繁就簡，易于理解。而且該模型與程序緊密相連，是通過程序來解決大量的數(shù)據(jù)，準(zhǔn)確率也比較高。

由于在建模的過程中，我們忽略了大氣對光的折射的影響，因而模型存在一些誤差，在實際運用過程中，我們可以先計算出折射光線與原光線之間的夾角ɡ（實際上很小，因而被忽略），那么就可以計算出折射光線與地平面的夾角，由于折射光線與地面的交點和原光線與地面的交點距離較近（相對與地球半徑），故可以用模型求出的太陽光線地球表面的夾角減去這個ɡ便得到了這個點的太陽高度角了。

表2 時間與影長

表3 春分到夏至初次遍歷

表4 春分到夏至精密遍歷

表5 秋分到冬至初次遍歷

表6 秋分到冬至精密遍歷

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