◎?qū)O長(zhǎng)江

我們知道整式的乘法與因式分解是互逆的.在學(xué)習(xí)整式的乘法時(shí)可以通過(guò)計(jì)算圖形面積的方法進(jìn)行推導(dǎo)，那么我們是否可以利用拼圖的方法進(jìn)行因式分解呢？下面我們一起通過(guò)幾個(gè)拼圖活動(dòng)來(lái)試一試吧.

活動(dòng)一，如圖1，用若干塊邊長(zhǎng)為a的正方形、邊長(zhǎng)為b的正方形、長(zhǎng)為a寬為b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)圖形，通過(guò)這個(gè)圖形來(lái)證明因式分解的完全平方公式.

圖1

通過(guò)拼圖可以得到如圖2的正方形.這個(gè)正方形的面積可以表示為a2+2ab+b2，也可以表示為（a+b）2.

圖2

于是，可以得到（a+b）2=a2+2ab+b2.

證明：a2+2ab+b2=a2+ab+b2+ab

=a（a+b）+b（b+a）

=（a+b）（a+b）=（a+b）2.

活動(dòng)目的：我們可以借助于這個(gè)拼接紙片的活動(dòng)，經(jīng)歷完全平方公式產(chǎn)生的過(guò)程，并進(jìn)行算理的證明.

活動(dòng)二，如圖3，用若干塊邊長(zhǎng)為a的正方形、邊長(zhǎng)為b的正方形紙片拼出一個(gè)圖形，通過(guò)這個(gè)圖形來(lái)證明因式分解的平方差公式.

圖3

通過(guò)拼圖可以得到如圖4的兩個(gè)圖形.其中，左側(cè)圖形陰影部分的面積可以表示為a2-b2.將該陰影部分裁剪、拼接后，得到右側(cè)的長(zhǎng)方形，其面積也可以表示為（a+b）（a-b）.

圖4

于是，可以得到（a+b）（a-b）=a2-b2.

證明：a2-b2=a2+ab-ab-b2

=a（a+b）-b（a+b）

=（a+b）（a-b）.

活動(dòng)目的：這個(gè)活動(dòng)通過(guò)圖形的疊合、裁剪、拼接等方式“玩”紙片.我們?cè)谕嬷畜w驗(yàn)、感悟、理解平方差公式法因式分解的來(lái)龍去脈，并進(jìn)行了算理的證明.

活動(dòng)三，如圖5，用若干塊邊長(zhǎng)為a的正方形、邊長(zhǎng)為b的正方形、長(zhǎng)為a寬為b的小長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)長(zhǎng)方形，通過(guò)這個(gè)圖形來(lái)證明因式分解的結(jié)果是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式.

圖5

通過(guò)拼圖可以得到如圖6的長(zhǎng)方形.這個(gè)長(zhǎng)方形的面積可以表示為2a2+3ab+b2，也可以表示為（a+b）（2a+b）.

圖6

于是，可以得到2a2+3ab+b2=（a+b）（2a+b）.

證明：2a2+3ab+b2=a2+2ab+b2+a2+ab

=（a+b）2+a（a+b）

=（a+b）（2a+b）.

活動(dòng)目的：通過(guò)這個(gè)拼紙片的游戲感受因式分解中較難的“十字相乘法”的源起.

以上拼圖活動(dòng)讓我們感受到了真正的“做中學(xué)”和“學(xué)中做”，幫助我們更深刻地理解了數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想：拼圖游戲——形；分解多項(xiàng)式——數(shù).下面就讓我們小試牛刀吧！

例題：有足夠多的長(zhǎng)方形和正方形的卡片，如圖7.

圖7

如果選取的1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)卡片分別為1張、2張、3張，如圖8，可拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（不重疊無(wú)縫隙）.請(qǐng)畫(huà)出這個(gè)長(zhǎng)方形草圖，并運(yùn)用拼圖前后面積之間的關(guān)系寫出一個(gè)等式.

圖8

這個(gè)等式是________________________.

（2）小明想用類似的方法解釋因式分解2a2+7ab+3b2=（a+3b）（2a+b），那么他需要用1號(hào)紙片________張，2號(hào)紙片________張，3號(hào)紙片_______張.

【解】（1）如圖9所示，我們可以拼出下面的長(zhǎng)方形.

圖9

這個(gè)長(zhǎng)方形的面積可以表示為a2+3ab+2b2.

也可以表示為（a+b）（a+2b）.故，這個(gè)等式可以表示為：a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）.

（2）我們也可以先進(jìn)行拼圖，如圖10.

圖10

通過(guò)拼圖發(fā)現(xiàn)，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積可以看成是12張卡片的面積之和，即：2a2+7ab+3b2；也可以從整體來(lái)看，是一個(gè)長(zhǎng)為a+3b，寬為2a+b的長(zhǎng)方形，它的面積可以表示為（a+3b）（2a+b）.于是我們可以得到：2a2+7ab+3b2=（a+3b）（2a+b）.

從所拼成的長(zhǎng)方形不難發(fā)現(xiàn)，需用1號(hào)卡片2張，2號(hào)卡片3張，3號(hào)卡片7張.

同學(xué)們，利用拼圖對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，需要大家在活動(dòng)中反復(fù)操作、嘗試直至可以拼成無(wú)空隙、不重疊的長(zhǎng)方形.經(jīng)過(guò)以上嘗試可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)拼圖來(lái)做因式分解題費(fèi)時(shí)費(fèi)力，在這里不如直接用代數(shù)法來(lái)得簡(jiǎn)便、快捷.拼圖法只是為了幫助大家更好地理解代數(shù)法.