寇家慶, 張偉偉

(西北工業(yè)大學(xué) 翼型葉柵空氣動力學(xué)國家重點實驗室, 陜西 西安 710072)

0 引 言

近年來，隨著計算機和信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，各行業(yè)應(yīng)用所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量呈爆炸性增長[1]。因此，尋求有效的大數(shù)據(jù)提取、分析和處理技術(shù)，逐漸成為相關(guān)行業(yè)的現(xiàn)實需求，而基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的數(shù)據(jù)挖掘、機器學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)技術(shù)，則成為解決海量數(shù)據(jù)處理和分析的主要渠道。在流體力學(xué)的研究中，隨著高精度數(shù)值模擬技術(shù)的發(fā)展[2]，非線性、非定常流場仿真的精細(xì)度不斷提高，海量的計算和存儲資源同樣制約著學(xué)科發(fā)展。實驗流體力學(xué)領(lǐng)域，隨著全場動態(tài)精細(xì)化的流動測量與顯示技術(shù)的發(fā)展，也面臨著相似的問題。為了提高非定常流場動力學(xué)的分析效率、理解復(fù)雜的流動結(jié)構(gòu)和相關(guān)機理，研究者結(jié)合各種數(shù)據(jù)驅(qū)動算法，相繼發(fā)展了非定常流場模態(tài)分解和氣動力建模與降階技術(shù)，并逐漸成為當(dāng)前研究熱點。這些方法不僅降低了計算成本，而且很大程度上緩解了模型的復(fù)雜性和易分析易設(shè)計性之間的矛盾。通過上述方法得到的非定常流場降階模型(Reduced-Order Model, ROM)，對飛行力學(xué)[3]、流固耦合[4-6]、流動控制[7]等領(lǐng)域的研究有重要意義。

根據(jù)所需流場樣本類型及建模方法的不同，目前的降階模型主要包括兩類：第一類是基于輸入輸出樣本的系統(tǒng)辨識方法，這種方法通過數(shù)學(xué)手段，直接建立輸入輸出數(shù)據(jù)之間的映射關(guān)系，模型結(jié)構(gòu)簡單，且所需數(shù)據(jù)量??；第二類是基于特征提取技術(shù)的模態(tài)分解方法，其本質(zhì)是尋找一組低維的子空間(即流動模態(tài)或相干結(jié)構(gòu))，將高維、復(fù)雜非定常流場表示為這些子空間在低維坐標(biāo)系上的疊加，從而在低維空間中描述流場演化。這種技術(shù)需要高維、大規(guī)模的流場數(shù)據(jù)作為樣本，可以直觀的展示出非定常流動隨時間和空間的演化規(guī)律，因此對于非定常流場的機理分析有重要意義。典型的方法包括本征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition, POD)和動力學(xué)模態(tài)分解(Dynamic Mode Decomposition, DMD)兩類。

DMD是一種從非定常實驗測量或數(shù)值模擬流場中提取動力學(xué)信息的數(shù)據(jù)驅(qū)動算法，能夠用于分析復(fù)雜非定常流動的主要特征，或建立低階的流場動力學(xué)模型，該方法由Schmid提出[8-9]。DMD方法的本質(zhì)是將流動演化看做線性動力學(xué)過程，通過對整個過程的流場快照進(jìn)行特征分析，得到表征流場信息的低階模態(tài)及其對應(yīng)的特征值(或Ritz值)。DMD方法的最大特點在于，分解得到的模態(tài)具有單一的頻率和增長率，因此在分析動力學(xué)線性和周期性流動中有很大優(yōu)勢。另外，DMD可以直接通過各個模態(tài)的特征值表征流動演化過程，因此不需要額外建立控制方程。這種同時得到模態(tài)特征和動力學(xué)信息的特點，使DMD方法相比于目前基于系統(tǒng)辨識(利用時間序列和輸入輸出樣本)和特征提取(利用空間樣本)的流場降階而言，具有時空耦合建模的獨特優(yōu)勢。

由于數(shù)學(xué)表達(dá)式簡單，計算易于實現(xiàn)， DMD方法已被應(yīng)用于實驗或數(shù)值模擬條件下多種復(fù)雜流動現(xiàn)象的分析上。此外，在處理實際問題的過程中，由于流場樣本維度高、實驗數(shù)據(jù)存在噪聲、采樣間隔受限等因素，標(biāo)準(zhǔn)DMD方法仍有一定局限性。為此，從DMD提出后，發(fā)展了很多改進(jìn)的DMD方法，以克服標(biāo)準(zhǔn)DMD存在的問題。雖然目前國外已有綜述論文提及該方法，但都只是將其作為討論的一部分，并沒有對DMD方法本身進(jìn)行系統(tǒng)介紹。本文重點描述了DMD方法從提出至今，在理論及應(yīng)用層面的發(fā)展現(xiàn)狀，同時對比了DMD與其他方法的區(qū)別與聯(lián)系，并描述了其在流體力學(xué)中的應(yīng)用，展示了典型的模態(tài)分解算例，最后總結(jié)了目前DMD相關(guān)的研究現(xiàn)狀及未來的發(fā)展情況。

1 DMD方法及其改進(jìn)

在進(jìn)行DMD分析之前，首先需要對非定常流場時間序列進(jìn)行處理。通過試驗或數(shù)值仿真得到的N個時刻快照，可以寫成從1到N時刻的快照序列形式，即{x1,x2,x3,...,xN}，其中第i個時刻的快照表示為列向量xi，且任意兩個快照之間的時間間隔均為Δt。假設(shè)流場xi+1可以通過流場xi的線性映射表示：

xi+1=Axi

(1)

其中A為高維流場的系統(tǒng)矩陣。如果本身動態(tài)系統(tǒng)為非線性，則這個過程就是一個線性估計過程。根據(jù)假設(shè)的線性映射關(guān)系，矩陣A能夠反映系統(tǒng)的動態(tài)特征。由于A的維數(shù)很高，需要通過降階的方法從數(shù)據(jù)序列中計算出A。利用1到N時刻的流場快照，可構(gòu)建兩個快照矩陣X=[x1,x2,x3,...,xN-1]和Y=[x2,x3,x4,...,xN]。結(jié)合式(1)的假定，可知:

Y=[x2,x3,x4,...,xN]

=[Ax1,Ax2,Ax3,...,AxN-1]=AX

(2)

DMD的目的是通過對上述快照矩陣進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，提取出主導(dǎo)特征值及主要模態(tài)?；诰€性動力學(xué)假設(shè)，DMD可以通過兩類典型方法實現(xiàn)：第一類采用快照之間線性無關(guān)性的假設(shè)，通過引入友矩陣對無窮維線性算子進(jìn)行低階描述；后者則結(jié)合了POD手段，通過奇異值分解對高階算子進(jìn)行相似變換，得到系統(tǒng)的低階表達(dá)。兩種方法均可對流場進(jìn)行重構(gòu)，而后者具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性。

1.1 DMD的友矩陣描述

友矩陣是一種特殊矩陣，其最后一列元素為任意值，主對角線上方或下方的元素均為1，而主對角線元素為及其余元素均為零。隨著快照數(shù)目N增加，數(shù)據(jù)序列{x1,x2,x3,...,xN}已能夠捕捉主要的物理特征，因此可以進(jìn)一步假設(shè)，當(dāng)超過某個快照數(shù)目后，流場快照之間為線性獨立[9]。由此可將最后一個快照表示為之前所有流場快照的線性疊加：

xN=c1x1+c2x2+c3x3+...+cN-1xN-1=Xc

(3)

公式(2)可進(jìn)一步表示為：

AX=Y=XS

(4)

上述公式中，矩陣S為友矩陣：

(5)

由于S中的未知量僅有c矩陣，則可求得使殘差r最小的c以構(gòu)造S：

r=xN-Xc

(6)

當(dāng)殘差最小時，S的特征值就變成A的特征值的近似。相比于A矩陣，S矩陣代表了整個系統(tǒng)降階后的低維形式，其特征值能夠代表A矩陣的主要特征值。S的特征值被稱為Ritz特征值。S的特征分解為

S=T-1ΛT,Λ=diag(λ1,...,λN-1)

(7)

其中Λ為S的特征值組成的對角陣，對應(yīng)的特征矢量為T-1的列。定義DMD模態(tài)d為矩陣D的列向量，其中D=XT-1。為實現(xiàn)流場重構(gòu)，可引入Vandermonde矩陣：

(8)

(9)

其中m為選擇的DMD模態(tài)數(shù)目。任意時刻的流場快照可用前m個快照表示為：

(10)

第j個模態(tài)對應(yīng)的增長率gj和頻率ωj定義為：

gj=Re{lg(λj)}/Δt

(11)

ωj=Im{lg(λj)}/Δt

(12)

1.2 DMD的相似變換描述

X=UΣVH

(13)

(14)

(15)

結(jié)合式(13)和式(14)，可將式(15)表示為：

(16)

此時可以將A近似為：

(17)

Φj=Uwj

(18)

zi=UHxi

(19)

得到的降階系統(tǒng)控制方程為：

(20)

(21)

因此任意時刻的快照可以估計為：

=UWΝW-1UHxi-1=UWΝi-1W-1UHx1

(22)

定義Φ的每一列為一個DMD模態(tài)，根據(jù)式(18)有：

Φ=UW

(23)

定義模態(tài)振幅α為：

α=W-1z1=W-1UHx1,α=[α1,...,αr]T

(24)

其中αi為第i個模態(tài)的振幅，代表了該模態(tài)對初始快照x1的貢獻(xiàn)。對于標(biāo)準(zhǔn)DMD方法，DMD模態(tài)按照該振幅進(jìn)行排序。將式(23)和式(24)帶入式(22)，則任意時刻流場可進(jìn)行預(yù)測：

(25)

快照序列X可以寫為：

X=[x1,x2,...,xN-1]=ΦDαVand=

(26)

式(26)說明流場演化過程主要是靠Vandermonde矩陣Vand實現(xiàn)的，該矩陣中包含r個A矩陣的特征值。相比于1.1節(jié)基于友矩陣的DMD算法，基于相似矩陣和奇異值分解的DMD算法不要求數(shù)據(jù)是連續(xù)的時間序列，僅需要每一個時刻及其下一步的演化數(shù)據(jù)即可，同時對噪聲的魯棒性也較好[15]。

1.3 改進(jìn)的DMD方法

上述標(biāo)準(zhǔn)DMD方法僅僅解決了如何獲得流動模態(tài)及如何進(jìn)行流場重構(gòu)和預(yù)測的問題。在實際應(yīng)用中，由于數(shù)據(jù)維度高、樣本規(guī)模大、存在噪聲及誤差等問題，DMD面臨著許多挑戰(zhàn)。為解決這些問題，研究者們通過大量測試算例，觀察了DMD方法的性能。Duke等[16]通過大量樣本對標(biāo)準(zhǔn)DMD算法進(jìn)行測試，并給出了不同信號特征(如方波、鋸齒波等)下，計算得到的增長率誤差棒；Bagheri[17]分析了DMD及其它線性系統(tǒng)分析方法在存在過程噪聲時的效果；Pan等[18]分析了DMD方法的四種實現(xiàn)過程(直接DMD，QR分解計算友矩陣[19]；連續(xù)DMD，奇異值分解計算友矩陣[9,20]，截斷DMD，奇異值分解過程中截斷小奇異值[16]，線性逆模型(Linear Inverse Modeling, LIM) DMD，通過偽逆法計算友矩陣[15])中，對于不同穩(wěn)定性和頻率成分正弦波的精度評估，并給出了推薦的采樣和離散化參數(shù)設(shè)置。在此基礎(chǔ)上，研究者針對不同角度和不同層次，相繼發(fā)展了DMD的改進(jìn)算法。根據(jù)不同改進(jìn)類型，相關(guān)方法可總結(jié)如表1所示。需要指出的是，基于式(1)中的假設(shè)，DMD方法始終僅限于處理線性和周期性流動問題。如何處理強非線性流動問題，仍然是DMD的一個發(fā)展方向。

表1 改進(jìn)的DMD算法總結(jié)Table 1 Overview of improved DMD algorithms

改進(jìn)類型具體操作模態(tài)選擇主要模態(tài)選擇:快照序列投影到辨識的動態(tài)模態(tài)上得到各個模態(tài)的幅值[40];與模態(tài)范數(shù)和特征值相關(guān)的能量準(zhǔn)則[41];模態(tài)范數(shù)與其頻率的逆的加權(quán)作為各個模態(tài)的能量[42];模態(tài)系數(shù)在采樣區(qū)域內(nèi)的積分[43];矢量過濾準(zhǔn)則用于模態(tài)選擇[44]。其他應(yīng)用CFD數(shù)值模擬過程加速收斂[45]。辨識外輸入系統(tǒng):帶控制的DMD(DynamicModeDecompositionwithControl,DMDc)[46];輸入輸出DMD(Input-OutputDynamicModeDecomposition,IODMD)[47];帶控制系統(tǒng)的EDMD[48];基于Koopman理論的帶外輸入建模方法[49]。

2 DMD與其他方法的關(guān)聯(lián)與區(qū)別

2.1 Koopman算子理論

Koopman分析的核心概念是非線性動力學(xué)系統(tǒng)的演化可以通過無窮維的線性算子進(jìn)行表達(dá)。以離散空間非線性動力學(xué)系統(tǒng)為例，其控制方程可表示如下：

xi+1=f(xi)

(27)

其中x為狀態(tài)量，如流場某個時刻的所有信息。無窮維、線性的Koopman算子Ut作用在狀態(tài)量的標(biāo)量函數(shù)g(x)(也叫做觀測量)上，其描述的動力學(xué)系統(tǒng)有如下特征：

Utg(x)=g(f(x))

(28)

因為Ut為線性算子，則對于任意標(biāo)量函數(shù)g1、g2和系數(shù)α、β，均有Ut(αg1+βg2)(x)=αUtg1(x)+βUtg2(x)。因為觀測量隨時間演化，可得到

Utg(xi)=g(f(xi))=g(xi+1)

(29)

線性Koopman算子Ut的一個主要特點是其具有譜特性。對于特別的觀測量φ(x)，有：

Utφ(x)=φ(f(x))=λφ(x)

(30)

其中，λ和Δt分別為Koopman算子對應(yīng)的特征值和時間步長，φ(x)為特征函數(shù)。如果觀測量為矢量，如流場全局或局部速度壓力信息，則觀測量函數(shù)g(x)為矢量，此時可將矢量g(x)表示為[11]：

(31)

式(31)中矢量vj稱為Koopman模態(tài)，則動力學(xué)系統(tǒng)的演化過程可表示為：

(32)

Koopman理論提供了利用DMD方法分析非線性動力學(xué)系統(tǒng)分析的獨特視角。但是對于實際應(yīng)用中的大多數(shù)問題，通過DMD實現(xiàn)的Koopman分析，其本質(zhì)仍然是數(shù)據(jù)樣本在動力學(xué)系統(tǒng)上的線性回歸。Tu等[15]給出了DMD特征值與Koopman算子特征值相對應(yīng)的情況，但是這要求選擇合適的觀測量。此外，Koopman理論統(tǒng)一了流體力學(xué)中的一些概念，如全局特征模態(tài)、周期解的離散傅里葉變換等[10]，也為DMD方法提供了理論基礎(chǔ)。由于正確的Koopman分析需要選擇合適坐標(biāo)系下的特征函數(shù)(即觀測量)，而在實際操作中，很難得到準(zhǔn)確的特征函數(shù)，因此目前無論是DMD還是Koopman理論，在應(yīng)用上仍面臨一些挑戰(zhàn)[54]。Williams等發(fā)展的EDMD[38,55]方法提供了一個解決思路，即利用狀態(tài)量的非線性變換對狀態(tài)矩陣進(jìn)行增廣，并將其作為觀測量，可能會得到更準(zhǔn)確的Koopman算子。Brunton等[56]研究了選擇合適的非線性觀測量，以實現(xiàn)Koopman算子在非線性系統(tǒng)控制問題上的應(yīng)用。

2.2 POD

在DMD方法提出之前，最常用的流場模態(tài)分析方法是POD[57-60]。POD方法能夠?qū)⒏唠A、非線性系統(tǒng)通過正交模態(tài)投影到低維狀態(tài)空間上，同時保證在給定數(shù)量模態(tài)下的最小殘差[27]。POD方法的主要思路為：

(33)

(34)

其中，N為流場快照的數(shù)目，uj(x)為POD基，aj(i)為第i時刻的第j個POD基的模態(tài)系數(shù)。要得到POD基，首先應(yīng)計算相關(guān)矩陣C：

C=PTP

(35)

CAj=λjAj

(36)

λj和Aj分別對應(yīng)第j個特征值和特征向量。則POD基定義為：

(37)

各個模態(tài)對應(yīng)的模態(tài)系數(shù)為：

(38)

值得注意的是，POD模態(tài)也可直接通過對P矩陣進(jìn)行奇異值分解，直接提取U矩陣的列向量得到?？梢宰C明這兩者等價。由于特征值λ的大小對應(yīng)著模態(tài)能量，可根據(jù)特征值對模態(tài)進(jìn)行排序，從而得到主要的幾階流動模態(tài)，并根據(jù)式(34)重構(gòu)原流場。

由于POD可以提供空間正交模態(tài)，流場的偏微分Navier-Stokes方程可以基于Galerkin方法，將POD模態(tài)投影到低維的常微分方程上，從而大幅降低控制方程的維度。然而需要指出的是，相比于POD方法，DMD方法有三大主要優(yōu)勢：1) 雖然POD能夠保證最小的平均殘差，并且將各個模態(tài)按照能量排序，但是得到的POD模態(tài)包含多種流動頻率，不適用于物理現(xiàn)象的解釋。DMD模態(tài)的單倍頻特征則更方便研究者進(jìn)行流動機理分析；2) POD方法無法得到模態(tài)穩(wěn)定性特征，而DMD模態(tài)則具有對應(yīng)的特征值，因此能夠直接給出各階模態(tài)的特征頻率和穩(wěn)定性；3) 從建立非定常流場降階模型的角度上，POD方法本身無法得到動力學(xué)模型，需要通過嵌入式Galerkin方法或非嵌入式的代理模型方法，對模態(tài)系數(shù)的演化進(jìn)行建模；而DMD則直接可通過各個模態(tài)的特征值表征流動演化過程，不必復(fù)雜的Galerkin投影計算或構(gòu)建代理模型。這也就是前文提到的DMD方法具有的時空耦合建模優(yōu)勢。

3 DMD方法的應(yīng)用

DMD方法的提出為許多流體力學(xué)問題的機理分析提供了新的工具，同時也被應(yīng)用在電力系統(tǒng)[61]、經(jīng)濟(jì)學(xué)[62-63]、機器視覺[64]等領(lǐng)域。對于流體系統(tǒng)，根據(jù)研究對象的不同，主要有臺階流動、方腔流動、射流、圓柱繞流等。主要內(nèi)容總結(jié)如表2。

雖然目前DMD已廣泛應(yīng)用于大量流體力學(xué)問題，但是在大多數(shù)研究中，DMD僅僅作為其他模態(tài)分解方法(如POD，全局穩(wěn)定性分析)的一個替代手段，并在具有典型頻率成分的流動問題上發(fā)揮優(yōu)勢。然而，除了流動物理現(xiàn)象的分析外，DMD在建立非定常流體模型上也有很大潛力。通過DMD，發(fā)現(xiàn)動力學(xué)線性系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律，并用DMD所描述的低階模型預(yù)測非定常流動現(xiàn)象，實現(xiàn)多場耦合分析、動力學(xué)系統(tǒng)控制，對于理解和應(yīng)用模態(tài)分解方法具有重要意義。此外，除了流體力學(xué)問題，對于其他領(lǐng)域動力學(xué)系統(tǒng)的建模問題，如天氣預(yù)測、地磁場觀測、人腦信號處理等[150]，DMD方法仍有廣闊的應(yīng)用前景。

表2 DMD在流體力學(xué)問題中的應(yīng)用Table 2 Applications of DMD in fluid dynamics

類型具體應(yīng)用及特點射流PIV試驗環(huán)境下,雙圓柱間射流[9]DNS數(shù)值模擬的橫向射流[10]PIV試驗的雷諾數(shù)5000橫向噴水射流[40]LES數(shù)值模擬的高超聲速管射流及PIV試驗環(huán)境下,雙圓柱間射流,SPDMD[22]數(shù)值模擬的燃燒射流;PIV試驗環(huán)境下,層流反對稱射流[80]PIV試驗環(huán)境下的氦氣射流[19]PIV試驗環(huán)境下,方腔內(nèi)的湍流合成射流,POD與DMD對比[81]RANS數(shù)值模擬的橫向射流[82]LES數(shù)值模擬的斜向冷卻射流[83]LES數(shù)值模擬的厚壁孔洞射流[84,85]LES數(shù)值模擬的空間發(fā)展橫向射流,POD與DMD對比[86]LES數(shù)值模擬下,橫流中的高速射流[87]DNS數(shù)值模擬下,低速橫向射流的剪切層特性[88]陰影法試驗環(huán)境下,有無聲場的橫向剪切射流[89]燃燒基于線化NS方程數(shù)值模擬的帶擋板三維燃燒室[90]PIV試驗環(huán)境下,低速和高速旋轉(zhuǎn)的火焰噴射,POD與DMD對比[91]LES數(shù)值模擬的燃?xì)廨啓C燃燒不穩(wěn)定性[92]LES數(shù)值模擬的低速旋轉(zhuǎn)火焰中,流動火焰耦合問題[93]試驗環(huán)境下,多孔燃燒室和鈍頭體后反應(yīng)流,POD與DMD對比[94]LES數(shù)值模擬的矩形燃燒室中液體燃料燃燒[95]LES數(shù)值模擬的渦輪機葉片間接燃燒噪聲,DMD與SPDMD的應(yīng)用[96]試驗研究中,火焰燃燒的分叉過程,DMD與ParametrizedDMD對比[28]PIV試驗環(huán)境下,預(yù)混傾斜燃燒室的間歇性振蕩[97]PIV試驗環(huán)境下,湍流旋轉(zhuǎn)反應(yīng)流動的動態(tài)結(jié)構(gòu)[98]簡單對稱外形PIV試驗的柔性膜繞流尾跡分析[9]浸入邊界法數(shù)值模擬的橢圓前緣有限厚度平板,帶控制和不帶控制情況,POD與DMD對比[99]PIV試驗的橢圓前緣有限厚度平板[15]LES數(shù)值模擬的大迎角旋成體低頻渦脫流動[100]LES數(shù)值模擬的懸臂梁繞流尾跡,POD和DMD對比[20]浸入邊界法數(shù)值模擬的柔性旗幟流-固-熱耦合現(xiàn)象[101]LES數(shù)值模擬的開環(huán)控制鈍頭體尾跡[102]DNS數(shù)值模擬和PIV試驗的大迎角半球繞流圓筒,POD與DMD對比[103,104]PIV試驗的噪聲環(huán)境下的橢圓前緣有限厚度平板分離控制,TDMD分析[24]/TDMD和StreamingDMD結(jié)合[105]PIV試驗的有限長度鈍頭板分離流動[106]PIV試驗的平板層流分離現(xiàn)象,POD和DMD對比[107]柱/球體繞流浸入邊界法數(shù)值模擬的雷諾數(shù)60圓柱繞流,DMD與Opt-DMD對比[12]DNS數(shù)值模擬的尾跡區(qū)帶控制的圓柱繞流[15]PIV試驗的雷諾數(shù)413圓柱繞流,StreamingDMD[23],不滿足Nyquist采樣定理的DMD修正[35],基于核方法的Koop-man譜分析[39]DNS數(shù)值模擬的亞臨界圓柱渦致振動特征分析[108]DNS數(shù)值模擬的脈沖橫向射流控制下的圓柱[109]DNS數(shù)值模擬的雷諾數(shù)50的圓柱繞流,Koopman模態(tài)與DMD算法的關(guān)聯(lián)[110]PIV試驗的邊界層附近圓柱尾跡流動[111]PIV試驗的單圓柱和兩個不同大小并列圓柱的尾跡,POD與DMD對比[112]PIV試驗的雷諾數(shù)13000圓柱繞流尾跡分析,DMD與優(yōu)化振幅的DMD對比[41]譜元法數(shù)值模擬的低雷諾數(shù)橢圓柱尾跡[113]浸入邊界法數(shù)值模擬的串列雙圓柱近壁面效應(yīng),前圓柱帶控制[114]PIV試驗的合成射流圓柱繞流控制,Fourier模態(tài)分解、POD與DMD對比[115]浸入邊界法數(shù)值模擬的圓柱繞流[116]PIV試驗的雷諾數(shù)1000旋轉(zhuǎn)圓柱繞流[117]DNS數(shù)值模擬的二維圓柱和三維球體繞流,全局穩(wěn)定性分析、POD與DMD對比[118]DNS數(shù)值模擬的三維無限展長圓柱繞流,DMD與Galerkin投影結(jié)合[119]DNS數(shù)值模擬的單靜止圓柱和三旋轉(zhuǎn)圓柱繞流,POD,Opt-DMD和RDMD對比[25]PIV試驗的波浪形圓柱尾跡[120]PIV試驗的圓柱繞流,帶合成射流控制,基于TDMD[121]數(shù)值模擬和試驗數(shù)據(jù)的圓柱繞流,幾種噪聲修正DMD方法對比[34]DNS數(shù)值模擬的三維球體繞流降階模型,DMD與Galerkin投影結(jié)合[33]DNS數(shù)值模擬的雷諾數(shù)60圓柱繞流,DMD與改進(jìn)振幅選擇的DMD對比[43]DNS數(shù)值模擬的繞方柱納米流體[122]

類型具體應(yīng)用及特點湍流與轉(zhuǎn)捩DNS數(shù)值模擬的二維平板Poiseuille流動,SPDMD[22]PIV試驗的平板發(fā)卡渦生成,POD與DMD對比[123]LES數(shù)值模擬的激波-湍流邊界層干擾[124]DNS數(shù)值模擬的黏彈性流體湍流轉(zhuǎn)捩[125]LES數(shù)值模擬的風(fēng)力機翼尖渦不穩(wěn)定,POD與DMD對比[126]DNS數(shù)值模擬的轉(zhuǎn)捩后期近壁面邊界層[127]DNS數(shù)值模擬的高速轉(zhuǎn)捩問題[128]PIV試驗的湍流渦環(huán)演化,應(yīng)用POD、DMD與SPDMD[129]PIV試驗的內(nèi)燃機缸內(nèi)湍流場[130]DNS數(shù)值模擬的低頻非定常激波-湍流邊界層干擾[131]隱式LES數(shù)值模擬的高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩[132]LES數(shù)值模擬的激波-湍流邊界層干擾,全局線性穩(wěn)定性分析與DMD對比[133]PIV實驗的不穩(wěn)定駐點流動[134]基于eN方法的空間DMD轉(zhuǎn)捩預(yù)測[135]非定常擴(kuò)壓通道內(nèi)有控和無控分離流[136]機翼流動試驗和數(shù)值模擬環(huán)境下的動失速分析,POD與DMD對比[137]LES數(shù)值模擬的沉浮自由度翼型動失速,POD與DMD對比[138]LES數(shù)值模擬的沉浮自由度翼型動失速,DMD與經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EmpiricalModeDecomposition,EMD)對比[139]PIV試驗的帶Gurney襟翼NACA0015翼型尾流[140-141]DNS數(shù)值模擬的SD7003翼段轉(zhuǎn)捩尾流分析[142]浸入邊界法數(shù)值模擬的大迎角翼型周期俯仰尾跡分析[143]風(fēng)洞試驗的NACA0012翼型任意運動氣動力建模,采用DMDc方法[144]RANS數(shù)值模擬的跨聲速抖振,極限環(huán)段POD與DMD對比[145];過渡段DMD、SPDMD與改進(jìn)振幅選擇的DMD對比[43]其他流動現(xiàn)象LES數(shù)值模擬的吹吸氣流動控制[146]基于數(shù)值模擬的熱對流循環(huán)問題[147]DES數(shù)值模擬的高速火車流動結(jié)構(gòu),POD與DMD對比[148]LES數(shù)值模擬的風(fēng)力機尾跡建模,DMD與Kalman濾波結(jié)合[32]LES數(shù)值模擬的帶外輸入風(fēng)力機流場建模,IODMD[47]RANS數(shù)值模擬的無葉擴(kuò)壓器非定常流動[149]

4 典型算例

為說明DMD方法在實際問題中的應(yīng)用，本文選擇了兩個典型算例。首先是低維的簡單線性動力學(xué)系統(tǒng)分析，通過該算例可以直接說明DMD的降維過程；隨后，針對流場中存在間斷的跨聲速抖振問題，以基于不穩(wěn)定定常解的線性發(fā)展過程為例，說明DMD在模態(tài)提取和流場重構(gòu)中的優(yōu)勢及特點。

4.1 低維線性系統(tǒng)

因為DMD僅僅基于系統(tǒng)的狀態(tài)量，就可捕捉系統(tǒng)的內(nèi)在動力學(xué)，所以首先用三維不穩(wěn)定線性系統(tǒng)的辨識問題，簡單說明DMD方法的概念。該動力學(xué)系統(tǒng)定義為：

(39)

根據(jù)基于相似變換的DMD方法，可以對該動力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行分析。假設(shè)初始條件為[0.5 1 0.8]T，快照矩陣分別為：

(40)

(41)

通過MATLAB的經(jīng)濟(jì)型奇異值分解算法(svd函數(shù)的econ選項)，對X做奇異值分解，得到矩陣為：

(42)

(43)

(44)

(45)

即通過樣本數(shù)據(jù)直接重構(gòu)出系統(tǒng)矩陣A。上述計算展示了利用系統(tǒng)仿真數(shù)據(jù)，直接通過DMD重構(gòu)出線性動力學(xué)系統(tǒng)的過程。

4.2 跨聲速抖振線性發(fā)展段

跨聲速抖振是由于跨聲速下非定常流動的不穩(wěn)定性所引起的激波周期性自激振蕩，這種現(xiàn)象往往會對跨聲速飛行器的疲勞壽命產(chǎn)生不利影響。針對跨聲速流動中，不穩(wěn)定定常解到極限環(huán)狀態(tài)的線性動力學(xué)發(fā)展過程，可以利用DMD得到主要的線性發(fā)展模態(tài)。這一典型線性動力學(xué)現(xiàn)象可用于說明DMD在流體力學(xué)問題上的分析過程。

本文采用的算例為NACA0012翼型，選擇的流動條件為馬赫數(shù)Ma=0.7，雷諾數(shù)Re=3×106，該流動條件下的抖振起始迎角為α0=4.8°[151]。當(dāng)前研究中，平均迎角α0=5.5°，是抖振發(fā)生的狀態(tài)。流場計算通過求解非定常RANS方程實現(xiàn)，且采用的計算網(wǎng)格和程序與高傳強等[151]相同。對壓強快照進(jìn)行DMD分析。由于流動本身不穩(wěn)定，需要首先通過后緣操縱面偏轉(zhuǎn)進(jìn)行控制，以獲得準(zhǔn)確的不穩(wěn)定定常解?；诓环€(wěn)定定常解的流動發(fā)展過程如圖1所示，根據(jù)升力演化過程可分成不穩(wěn)定線性平衡段，過渡段和極限環(huán)狀態(tài)。需要注意的是，雖然在不穩(wěn)定平衡時，流動在時間上呈現(xiàn)動力學(xué)線性規(guī)模(即時間線化)，但是由于激波的存在，流場在空間上依然展現(xiàn)出強的非線性特性。圖1中的A區(qū)域為線性動力學(xué)過程中的采樣段，B區(qū)域則為用于驗證流場預(yù)測效果的預(yù)測段。采樣的樣本段約為兩個周期，無量綱時間段為170.2到215.6，快照總數(shù)為227個。預(yù)測流場的時間范圍為215.8到270。與圓柱繞流不同，在抖振流動從不穩(wěn)定定常解發(fā)展到極限環(huán)狀態(tài)的過程中，流動的特征頻率變化不大，線性發(fā)展段的主頻約為0.1975。

圖1 跨聲速NACA0012翼型升力系數(shù)隨時間的響應(yīng)Fig.1 Lift coefficient response of a NACA0012airfoil in transonic flow

圖2展示了某時刻的流場快照及選擇的典型觀察點。對快照矩陣做DMD分析，根據(jù)模態(tài)系數(shù)隨時間的發(fā)展情況，對不同模態(tài)對流場的貢獻(xiàn)進(jìn)行排序，并提取前5階主要模態(tài)用于分析和流場重構(gòu)。在模態(tài)排序的過程中，采用了作者發(fā)展的準(zhǔn)則[43]。提取出的第一階模態(tài)為靜態(tài)模態(tài)，近似于平均流場。另外還包含一個漂移模態(tài)和三對共軛模態(tài)。各階模態(tài)的幅值頻率關(guān)系如圖3所示。可以看出，由于采用了新的模態(tài)選擇準(zhǔn)則，捕捉出的模態(tài)不完全按照振幅大小進(jìn)行排序，而是按照該模態(tài)對整個流場的貢獻(xiàn)；對于某些具有較大振幅，但是增長率為負(fù)而不符合線性增長段特征的模態(tài)，可以通過新的模態(tài)提取準(zhǔn)則進(jìn)行剔除。這些模態(tài)被稱為偽模態(tài)，其來源主要為快照中的數(shù)值計算或試驗誤差，以及DMD方法本身的截斷誤差[31]。主要的模態(tài)特征值如圖3所示。圖中可見選擇的模態(tài)接近單位圓，但僅有靜態(tài)模態(tài)在單位圓上。這是因為靜態(tài)模態(tài)基本不隨流場變化，因此并不增長或衰減且頻率為零。提取的另外四對模態(tài)均為不穩(wěn)定模態(tài)，因此特征值位于單位圓外。

圖2 某時刻壓力云圖及觀測點Fig.2 Pressure contour and observationpoints at an instantaneous time

圖3 DMD模態(tài)振幅與減縮頻率關(guān)系Fig.3 DMD amplitude versus reduced frequency

前五階模態(tài)的頻率和增長率如表3所示。由于第一階模態(tài)為靜態(tài)模態(tài)，其與均勻流場較為相似，增長率和頻率均為0。第2-3階模態(tài)均為共軛模態(tài)，且頻率接近抖振減縮頻率，在增長率上略有差異。第4階模態(tài)為漂移模態(tài)，體現(xiàn)了線性動力學(xué)發(fā)展過程中，流場均值隨時間的變化，因此頻率為0[152]。第五階模態(tài)為兩倍頻模態(tài)。前五階模態(tài)的云圖如圖5所示，其中各個模態(tài)均在激波間斷處有較大的壓強差，說明這幾個模態(tài)均能夠一定程度反映激波隨時間的周期性運動。圖6給出了采樣段和預(yù)測段中，各階模態(tài)系數(shù)的實部隨時間的變化。由于一階模態(tài)增長率近似為零，因此沒有給出。從圖6中可以看出線性發(fā)展過程中各階模態(tài)的增長趨勢。

表3 主要DMD模態(tài)的增長率和頻率Table3 Growth rates and frequencies ofdominant DMD modes

(a) 特征值分布

(b) 特征值局部放大圖

(a) 一階DMD模態(tài)

(b) 二階DMD模態(tài)

(c) 三階DMD模態(tài)

(d) 四階DMD模態(tài)

(e) 五階DMD模態(tài)

圖6 模態(tài)系數(shù)隨時間演化Fig.6 Mode coefficients versus time

為進(jìn)一步觀察DMD對流場特征的提取效果，利用得到的DMD模態(tài)進(jìn)行流場重構(gòu)，并建立如(26)所示的非定常流場降階模型。選擇某兩個特征時刻，其無量綱時間分別為195.8 和232.4，流場壓力云圖對比如圖7和圖8。注意到195.8時刻的流場是在樣本范圍之內(nèi)的，而232.4時刻的流場則在樣本范圍之外。圖7和圖8表明，對樣本范圍之內(nèi)的流場重構(gòu)，DMD可以給出理想的精度；而且對于樣本之外的預(yù)測，DMD依然具有較好的描述能力。除了流場的直觀對比外，還需要定量的誤差比較。

圖9給出了通過模態(tài)疊加重構(gòu)的流場與真實流場的均方根誤差云圖。兩幅圖中明顯看到誤差最大的地方均在激波運動處，說明DMD方法對存在激波間斷的流場重構(gòu)能力依然有限。從兩段時間的均方誤差對比可見，對樣本點之外的流場預(yù)測，最大誤差要比樣本范圍內(nèi)的流場預(yù)測大一個量級以上，且誤差較大的區(qū)域也比樣本范圍內(nèi)的大，這也說明DMD方法即使對線性特征內(nèi)的周期性流場預(yù)測也存在一定的誤差。

(a) 真實流場

(b) 預(yù)測流場

(a) 真實流場

(b) 預(yù)測流場

(a) 采樣段

(b) 預(yù)測段

圖10對比了選擇的特征點C、D、E隨時間變化過程中，通過5階DMD模態(tài)疊加得到的壓強與該點真實流場中壓強的對比。注意到C、D和E點均處于激波晃動的區(qū)域附近。通過圖10可以明顯看到DMD能夠以較高精度對樣本區(qū)域內(nèi)的壓強變化進(jìn)行預(yù)測，而對于線性不穩(wěn)定段中超出樣本點范圍的壓強，隨著時間推進(jìn)，誤差逐漸增加。由此可見，對于一個線性系統(tǒng)而言，其線性特征可以通過DMD準(zhǔn)確得到；然而，對于存在激波的跨聲速抖振現(xiàn)象，即使處在流場初期的線性不穩(wěn)定段，采用DMD方法也難以完全準(zhǔn)確預(yù)測流場。這個原因是由于激波的振蕩導(dǎo)致流場變量的非線性增長，如圖10(b)所示。該結(jié)論說明即使對于存在空間非線性、而時間上可線化的動力學(xué)特征，標(biāo)準(zhǔn)DMD也不完全能夠?qū)崿F(xiàn)精確的流場預(yù)測。

通過對跨聲速抖振流動線性發(fā)展段進(jìn)行DMD分析，能夠利用主要DMD模態(tài)特性進(jìn)行流場特征分析，進(jìn)而建立高精度降階模型?；贒MD模態(tài)對流場重構(gòu)和預(yù)測，能夠發(fā)現(xiàn)在樣本區(qū)域內(nèi)，提取出的動態(tài)模態(tài)能夠準(zhǔn)確捕捉非定常流場的演化過程；此外，模型能夠預(yù)測一定時間段內(nèi)的流場特性。然而，由于跨聲速激波振蕩的強非線性特征，通過DMD方法準(zhǔn)確預(yù)測激波隨時間演化過程仍存在較大誤差。

(a) C點

(b) D點

(c) E點

5 結(jié) 論

本文介紹了DMD方法的基本理論及相關(guān)改進(jìn)算法，討論了DMD與其他模態(tài)分解理論的關(guān)聯(lián)與區(qū)別，綜述了DMD在流體力學(xué)問題中的應(yīng)用，并應(yīng)用算例說明了DMD的實現(xiàn)過程。結(jié)合當(dāng)前發(fā)展?fàn)顩r，DMD算法在未來仍有一些發(fā)展趨勢：

1) 針對不同數(shù)據(jù)類型的魯棒性。標(biāo)準(zhǔn)的DMD在無噪聲干擾的線性或周期性流動分析上，具有較強的優(yōu)勢。針對算法的魯棒性和存在噪聲等問題，發(fā)展的改進(jìn)DMD算法也能較好解決。然而，在實際應(yīng)用DMD的過程中，仍然存在一些特定問題(如數(shù)據(jù)頻率成分、穩(wěn)定性特征、樣本空間維度等)，為流場的DMD分析帶來困難。因此，對標(biāo)準(zhǔn)DMD方法進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，或結(jié)合其他數(shù)學(xué)方法對DMD進(jìn)行擴(kuò)充，仍是一個重要的發(fā)展方向；

2) 對于非線性問題的分析。由于DMD的提出是基于線性動力學(xué)假設(shè)，對于非線性動力學(xué)系統(tǒng)，DMD始終是一種線性的動力學(xué)分析工具。目前，Koopman算子理論對于DMD的適用性進(jìn)行了一定程度拓展，從概念上說明DMD算法用于分析非線性動力學(xué)系統(tǒng)的可行性，并且在低雷諾數(shù)圓柱繞流問題上得到一定程度驗證[110]。然而，如何選擇合適的觀測量、如何進(jìn)一步完善Koopman理論以解釋更多非線性問題、如何結(jié)合高精度非線性系統(tǒng)辨識技術(shù)[153]等，都是應(yīng)用DMD進(jìn)行非線性流場動力學(xué)分析的重要研究內(nèi)容；

3) 關(guān)于帶控制流動問題的研究。針對流動控制問題，目前DMD的應(yīng)用主要集中在確定頻率、幅值、相位的控制系統(tǒng)作用下，流場數(shù)據(jù)的后處理。然而，這種分析結(jié)果受到不同控制輸入的局限，因此無法建立適應(yīng)任意控制輸入問題的低階模型，以直接幫助控制率設(shè)計，并為多場耦合研究提供分析工具。雖然目前已經(jīng)發(fā)展了帶外輸入的DMD算法，但是這些方法仍然需要在實際流體問題中進(jìn)行測試和改進(jìn)；

4) 拓展DMD的應(yīng)用范圍。作為一個線性動力學(xué)分析工具， DMD本身可用于辨識各個領(lǐng)域時空樣本的內(nèi)在線性動力學(xué)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而實現(xiàn)系統(tǒng)特征分析和構(gòu)造低階模型；另外，從當(dāng)前DMD的應(yīng)用研究中不難看出，相比于直接將DMD作為一種特征分析手段，當(dāng)前基于DMD發(fā)展動力學(xué)系統(tǒng)降階模型的研究仍為少數(shù)。因此，在應(yīng)用的深度和廣度兩個層面，DMD均具有廣闊前景。

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“流動穩(wěn)定性與轉(zhuǎn)捩”專欄簡介

轉(zhuǎn)捩是指流動由層流狀態(tài)發(fā)展為湍流狀態(tài)的失穩(wěn)過程，是經(jīng)典物理學(xué)遺留的少數(shù)基礎(chǔ)科學(xué)問題之一，與湍流問題一起被稱為“世紀(jì)難題”。高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩會導(dǎo)致摩阻和熱流增大3～5倍，嚴(yán)重影響飛行器的性能與飛行安全。“十三五”期間，國家科技部實施了“大科學(xué)裝置前沿研究”重點研發(fā)計劃，包括若干與湍流/轉(zhuǎn)捩相關(guān)的研究內(nèi)容。中國空氣動力研究與發(fā)展中心聯(lián)合中科院力學(xué)所、清華大學(xué)、天津大學(xué)、國防科技大學(xué)、北京臨近空間飛行器系統(tǒng)工程研究所，在該計劃中申報了“高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩機理、預(yù)測及控制方法研究”項目(2016YFA0401200)，利用我國大型風(fēng)洞、高超聲速模型飛行試驗平臺等大科學(xué)裝置，建立風(fēng)洞試驗、理論分析、數(shù)值模擬和模型飛行試驗相結(jié)合的高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩綜合研究體系，提高對轉(zhuǎn)捩問題的科學(xué)認(rèn)知，發(fā)展先進(jìn)轉(zhuǎn)捩預(yù)測和控制方法，促進(jìn)我國先進(jìn)高超聲速飛行器的自主創(chuàng)新發(fā)展。

我刊編委陳堅強、袁先旭研究員和青年編委涂國華副研究員，依托該項目2017年度研究進(jìn)展，并邀請國內(nèi)有關(guān)同行，組織了該專欄稿件的收稿和集中審稿工作，邀請?zhí)旖虼髮W(xué)周恒院士為該專欄撰寫了前言，我刊副主編張來平、任玉新負(fù)責(zé)了該專欄稿件的最終審查，在此一并表示感謝!

《空氣動力學(xué)學(xué)報》編輯部

2018年04月

專欄組稿專家簡介：

陳堅強(1966-)，男，浙江紹興人，研究員，博導(dǎo)，享受政府特殊津貼。長期從事高超聲速空氣動力學(xué)和CFD研究。現(xiàn)為國家重點研發(fā)計劃項目“高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩機理、預(yù)測及控制方法研究”首席科學(xué)家。獲部委級科技進(jìn)步一、二等獎7項，發(fā)表學(xué)術(shù)論文90余篇。近期研究方向：高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩、多物理場耦合模擬、高超聲速氣動力天地相關(guān)性等。E-mail: jq-chen@263.net

袁先旭(1974-)，男，湖北大冶人，研究員。長期從事非定?？諝鈩恿W(xué)和飛行器動態(tài)特性研究。獲部委級科技進(jìn)步一、二等獎4項，發(fā)表學(xué)術(shù)論文40余篇。近期研究方向：高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩、多尺度流動模擬。E-mail: yuanxianxu@cardc.cn