曹玲玲

“點(diǎn)的坐標(biāo)”內(nèi)容雖然不多，但涉及的問(wèn)題卻不少，它是函數(shù)和幾何圖形類問(wèn)題研究的基礎(chǔ)，也是整個(gè)“數(shù)學(xué)大廈”的基石，所以我們?cè)趯W(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，只有準(zhǔn)確把握四個(gè)象限內(nèi)和坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，領(lǐng)會(huì)圖形變換與坐標(biāo)的關(guān)系，理解坐標(biāo)的意義，才能做到有的放矢，從容應(yīng)對(duì).下面僅以2017年中考試題為例予以分析，希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助.

考點(diǎn)1 探尋點(diǎn)的特征

例1 （2017·貴港）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（m-3，4-2m）不可能在（ ）.

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【分析】本題沒有正面考查點(diǎn)在第幾象限，而是反過(guò)來(lái)問(wèn)不可能在第幾象限，命題者有意考查同學(xué)們逆向思維的能力和分類討論的意識(shí)，在解題思路上我們可以考慮先確定點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的符號(hào)，再分析點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的符號(hào)，從而確定該點(diǎn)所在的象限.

【解答】①當(dāng)m-3＞0，即m＞3時(shí)，4-2m＜-2，所以點(diǎn)P（m-3，4-2m）在第四象限；②當(dāng)m-3＜0，即m＜3時(shí)，4-2m＞-2，所以點(diǎn)P（m-3，4-2m）可以在第二或第三象限.綜上所述，點(diǎn)P不可能在第一象限，故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)滲透了分類討論的思想，在處理該問(wèn)題時(shí)我們應(yīng)思考，m-3和4-2m能同時(shí)為正嗎？可能同時(shí)為負(fù)或一正一負(fù)嗎？具體可分類列出下面四個(gè)不等式組：

然后我們觀察哪組不等式組無(wú)解即可.另外，作為選擇題還可以用特殊值法，分別取一些m的值代入進(jìn)行驗(yàn)證.

考點(diǎn)2 確定點(diǎn)的坐標(biāo)

例2 （2017·常州）如圖1，已知矩形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別坐落在x軸、y軸上，OD=2OA=6，AD∶AB=3∶1，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（ ）.

圖1

A.（2，7）B.（3，7）C.（3，8）D.（4，8）

【分析】本題以矩形為載體，考查矩形性質(zhì)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是將AD∶AB轉(zhuǎn)化為AD∶DC，再運(yùn)用相似將其轉(zhuǎn)化為△OAD與△FDC的相似比（如圖1），進(jìn)而通過(guò)比求出CF和DF的長(zhǎng)，最終得到點(diǎn)C的坐標(biāo).

【解答】過(guò)點(diǎn)C分別作CE⊥x軸、CF⊥y軸，垂足分別為E、F，由題意可得：

△CFD∽△DOA，

∵OD=2OA=6，∴CF=2，DF=1，

∴CE=OF=OD+DF=7，

故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，7）.

【點(diǎn)評(píng)】同學(xué)們?cè)诮鉀Q此類問(wèn)題時(shí)先要結(jié)合條件搞清楚圖形的特征，抓住基本模型——“一線三等角”（∠DOA=∠ADC=∠CFD=90°），找出相似三角形，運(yùn)用相似比解決問(wèn)題.

考點(diǎn)3 變換點(diǎn)的位置

例3 （2017·無(wú)錫）操作：“如圖2，P是平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)（x軸上的點(diǎn)除外），過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)Q.”我們將此由點(diǎn)P得到點(diǎn)Q的操作稱為點(diǎn)的T變換，則點(diǎn)P（a，b）經(jīng)過(guò)T變換后得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)為______，點(diǎn)M經(jīng)過(guò)T變換后得到點(diǎn)N（6，-3），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為____.

圖2

【分析】本題實(shí)質(zhì)上是通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換考查等邊三角形的性質(zhì)，形成變換前的點(diǎn)與變換后的點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在找到這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上運(yùn)用方程解決問(wèn)題.

【解答】如圖2，連接CQ，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥PC于點(diǎn)D，由旋轉(zhuǎn)可知△PCQ為等邊三角形.

∵P（a，b），∴OC=a，PC=b，

事實(shí)上，不論P(yáng)（a，b）在第幾象限，變換后的點(diǎn)Q的坐標(biāo)始終為Q（）［注：可分P在x軸上方、P在x軸下方兩種情況討論］，故設(shè)M（x，y），則N（

【點(diǎn)評(píng)】解決旋轉(zhuǎn)變換類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住旋轉(zhuǎn)的角度和旋轉(zhuǎn)前后的不變性，結(jié)合圖形的特征解決問(wèn)題.

由于“點(diǎn)的坐標(biāo)”這部分知識(shí)容易與其他知識(shí)相融合，近幾年來(lái)，中考試題對(duì)其考查的力度不斷加大，尤其是結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)，希望大家在思想上能給予足夠的重視.

考點(diǎn)4 探索點(diǎn)的規(guī)律

例4 （2017·黔東南）把多塊大小不同的30°直角三角板按如圖3所示擺放在平面直角坐標(biāo)系中，第一塊三角板AOB的一條直角邊與y軸重合且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），∠ABO=30°；第二塊三角板的斜邊BB1與第一塊三角板的斜邊AB垂直且交y軸于點(diǎn)B1；第三塊三角板的斜邊B1B2與第二塊三角板的斜邊BB1垂直且交x軸于點(diǎn)B2；第四塊三角板的斜邊B2B3與第三塊三角板的斜邊B1B2垂直且交y軸于點(diǎn)B3；……按此規(guī)律繼續(xù)下去，則點(diǎn)B2017的坐標(biāo)為______.

圖3

【分析】觀察圖形，尋找圖形的變化規(guī)律，在依次求出點(diǎn)B，B1，B2，B3坐標(biāo)的基礎(chǔ)上，結(jié)合B到B4，依次由x軸負(fù)半軸、y軸負(fù)半軸、x軸正半軸、y軸正半軸，再回到x軸負(fù)半軸，經(jīng)過(guò)排隊(duì)觀察總結(jié)出其變化的規(guī)律后，根據(jù)規(guī)律去猜想點(diǎn)B2017的坐標(biāo).

∴OB2017=（2018=31009，

又∵2017÷4=504……1，

∴點(diǎn)B2017在y軸負(fù)半軸上，

∴點(diǎn)B2017的坐標(biāo)為（0，-31009）.

【點(diǎn)評(píng)】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于學(xué)會(huì)觀察圖形變化的規(guī)律，這里有兩個(gè)變化的規(guī)律，一是OBn的長(zhǎng)度隨著n的變化而變化，二是點(diǎn)Bn的位置在旋轉(zhuǎn)中發(fā)生變化，結(jié)合這兩個(gè)變化的規(guī)律，先表示出線段OB2017的長(zhǎng)，再確定點(diǎn)B2017的位置，從而解決相關(guān)問(wèn)題.