顧嘯敏

“圓”的相關(guān)知識覆蓋面較大，要求我們不僅能掌握圓的基本知識，而且能綜合運用圓與直線型圖形的知識來解決相關(guān)問題.

一、知識網(wǎng)絡

二、要點剖析

1.與圓有關(guān)的概念.

（1）圓的概念中圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小.

（2）直徑是圓中最長的弦，弦不一定是直徑，判斷一條弦是否是直徑關(guān)鍵是看弦是否經(jīng)過圓心；半圓是弧，弧不一定是半圓.

（3）對等弧的認識要注意關(guān)鍵詞：能夠重合.

例1 （2017·隨州）如圖1，已知AB是⊙O的弦，半徑OC垂直AB，點D是⊙O上一點，且點D與點C位于弦AB兩側(cè)，連接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，則∠ADC=_______°.

圖1

2.與圓有關(guān)的角.

圓心角與圓周角：頂點在圓心的角叫做圓心角；頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

例2 （2017·揚州）如圖2，已知⊙O是△ABC的外接圓，連接AO，若∠B=40°，則∠OAC=_______°.

圖2

【解析】根據(jù)“同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半”，連接OC，便有∠AOC=2∠B=80°，再由OA=OC，根據(jù)“等邊對等角”及“三角形內(nèi)角和定理”可以求得∠OAC=50°.

例3 （2017·淮安）如圖3，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比為4∶3∶5，則∠D的度數(shù)是______ °.

圖3

【解析】因為四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，所以∠A+∠C=∠B+∠D=180°.因為∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比為4∶3∶5，所以∠A、∠B、∠C、∠D 的度數(shù)之比為 4∶3∶5∶6，所以∠D=120°.

3.與圓的對稱性有關(guān)的兩個定理：圓心角、弧、弦關(guān)系定理和垂徑定理.

這兩個定理分別從圓的旋轉(zhuǎn)不變性和圓的軸對稱性中獲得.因此，抓住對稱是解決問題的關(guān)鍵.

例4 （2017·眉山）如圖4，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，且AB=8cm，DC=2cm，則OC=______ cm.

圖4

【解析】連接OA，由垂徑定理易知AD=4，設⊙O的半徑為x，在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2，即x2=（x-2）2+42，解得x=5，所以OC=5.

4.與圓有關(guān)的位置關(guān)系.

判斷點或直線與圓的位置關(guān)系，往往需要比較數(shù)量關(guān)系，即通過比較點和圓心的距離與半徑的大小關(guān)系來判斷點與圓的位置關(guān)系，通過比較圓心和直線的距離與半徑的大小關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系.

例5 （2017·自貢）AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，PO交⊙O于點C,連接BC，若∠P=40°，則∠B等于_____ °.

圖5

【解析】由切線的性質(zhì)知∠PAO=90°.從而易得∠POA=50°，再由圓周角與圓心角關(guān)系得∠B=25°.

5.三角形的外心與內(nèi)心.

外心是三角形外接圓的圓心，是三邊垂直平分線的交點，它到三角形三個頂點的距離相等；內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心，它是三條角平分線的交點，它到三角形三邊的距離相等.

例6 （2017·泰州）如圖6，在平面直角坐標系xOy中，點A、B、P的坐標分別為（1，0），（2，5），（4，2），若點C在第一象限內(nèi)，且橫坐標、縱坐標均為整數(shù)，P是△ABC的外心，則點C的坐標為________ .

圖6

【解析】如圖6，以點P為圓心，PA為半徑作圓，⊙P在第一象限經(jīng)過的符合條件的點有3個，分別是（7，4），（6，5），（1，4）.故答案為（7，4），（6，5），（1，4）.

6.正多邊形和圓.

正多邊形與圓的關(guān)系：將圓n（n≥3）等分，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做正多邊形的外接圓，其實這種關(guān)系也給出了畫多邊形的作圖方法.

【剖析】正多邊形的定義包括兩個相等，即各邊相等，各角也相等，兩者缺一不可.

例7 （2017·濱州）若正方形的外接圓半徑為2，則其內(nèi)切圓半徑為（ ）.

圖7

【解析】如圖7，由“正方形的外接圓半徑為2”可得OB=2，∠OBC=45°，由切線性質(zhì)可得∠OCB=90°，所以△OBC為等腰直角三角形，所以OC=2.故選A.

7.弧長、扇形面積、圓錐的側(cè)面積.

弧長、扇形面積、圓錐的側(cè)面積以及全面積的計算公式不要求死記硬背，關(guān)鍵是要理解記憶，圓心角是周角的幾分之幾，則弧長就是圓周的幾分之幾，扇形面積就是圓面積的幾分之幾；對于扇形面積公式，相當于把半徑是R，弧長是l的扇形近似看成一個底是l，高是R的三角形來記憶.在計算圓錐的側(cè)面積和全面積時要注意圓錐的母線、圓錐的高、圓錐的底面半徑構(gòu)成直角三角形，可以利用勾股定理得出三者的關(guān)系.

例8 （2017·自貢）圓錐的底面周長為6πcm，高為4cm，則該圓錐的全面積是_______；側(cè)面展開扇形的圓心角是______ °.

【解析】圓錐的底面周長為6π，∴底面半徑為r=6π÷2π=3，根據(jù)勾股定理，得圓錐的母線，側(cè)面展開扇形的弧長l=2πr=6π，∴側(cè)面展開扇形的面積6π×5=15π，底面積S底=πr2=9π，∴該圓錐的全面積S全=15π+9π=24π.

例9 （2017·南充）如圖8，在Rt△ABC中，AC=5cm，BC=12cm，∠ACB=90°，把Rt△ABC繞BC所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則這個幾何體的側(cè)面積為（ ）.

圖8

A.60πcm2B.65πcm2

C.120πcm2D.130πcm2

【解析】由勾股定理可求得AB=13.這個幾何體是圓錐，圓錐的底面半徑AC=5，母線AB=13，圓錐的側(cè)面積=πAC·AB=π×5×13=65π.故選B.

三、疑難突破

1.巧作輔助線，化難為易.

運用垂徑定理時常常需過圓心作弦的垂線段，利用半徑、弦心距和弦的一半組成的直角三角形來求解.證明直線和圓相切，一般有兩種情形：（1）已知直線與圓有公共點時，連接圓心與公共點的半徑，證明該半徑與已知直線垂直；（2）當已知直線與圓公共點不明確時，那就過圓心作與已知直線的垂線段，證明垂線段和半徑相等.

2.關(guān)注圓中的兩解問題.

注意弦所對的弧有優(yōu)劣之分，因此弦所對的圓周角就有兩個，這兩個圓周角互補.

3.轉(zhuǎn)化思想在圓中的應用.

在圓中轉(zhuǎn)化思想多體現(xiàn)在把圓的問題轉(zhuǎn)化為直線型的問題，把弧的問題轉(zhuǎn)化為角或弦的問題等.