江蘇省如皋中學(xué)

孫心怡 范棟志 (郵編：226500)

1 試題呈現(xiàn) 答案比較

(2016-2017江蘇省蘇北四市高三聯(lián)考試卷第14題)已知函數(shù)f(x)=|x2-4|+a|x-2|x∈[-3,3].若f(x)的最大值是0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

參考答案1因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最大值為0，故函數(shù)f(x)≤0在[-3，3]上恒成立，從而f(3)≤0?a≤-5.

又f(x)=

參考答案2因?yàn)閒(x)=|x-2|(|x+2+a),|x-2|≥0,且函數(shù)f(x)的最大值為0，故|x+2|+a≤0在[-3，3]上恒成立，從而a≤-|x+2|在[-3，3]上恒成立.因?yàn)?|x+2|的最小值為-5，故a≤-5.

2 解法探究 尋根概念

顯然，參考答案2比參考答案1簡單，為什么函數(shù)的最大值可以轉(zhuǎn)化為恒成立問題？會(huì)不會(huì)出現(xiàn)范圍擴(kuò)大的問題？是不是所有的最值問題都可以轉(zhuǎn)化為恒成立問題？高興之余，還要尋找支撐這種方法的理論根據(jù)，只有有據(jù)可依，才能在解題時(shí)靈活應(yīng)用.俗話說：一切方法的源頭在于概念，理解概念的內(nèi)涵與外延是解題的基礎(chǔ).下面嘗試著從最值的概念上尋找答案(蘇教版必修1).

對(duì)最值概念理解如下：

(1) 函數(shù)的最大(最小)值就是函數(shù)值域中的最大(最小)的元素.(直觀感知)

(2) 從圖象上理解：函數(shù)的最大(最小)值就是函數(shù)圖象最高(最低)點(diǎn)的縱坐標(biāo).

(3)最值定義中的(1)是不等式恒成立，(2)說明最值是函數(shù)值，必須要有自變量與之對(duì)應(yīng)，這樣等號(hào)才能取到.

(4)函數(shù)y=f(x)取得最大值(最小值)m時(shí)，其圖象都不在直線y=m的上方(下方)，且與直線y=m有交點(diǎn).

上述試題中f(x)=|x2-4|+a|x-2|，x∈[-3,3]中f(2)=0一定成立，由上述最值概念理解(3)可知，已滿足第(2)個(gè)條件，只需要滿足第(1)個(gè)條件，即f(x)=|x2-4|+a|x-2|≤0在x∈[-3,3]上恒成立.

定義是充要條件，所以其逆命題也是正確的.設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，m是函數(shù)y=f(x)的最小值(最大值)，則(1)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥m(f(x)≤m)；(2)存在x0∈I，使得f(x0)=m.

據(jù)此可知參考答案2的解法不僅不會(huì)出現(xiàn)范圍擴(kuò)大，而且起到了化繁為簡的作用，的確是一種好方法.

興奮之余期待大展身手.翻開筆記一道試題映入眼簾.

回憶之前解決這道題的過程，利用圖象討論了二次函數(shù)對(duì)稱軸與區(qū)間的三種位置關(guān)系，還要研究在區(qū)間內(nèi)函數(shù)值的正負(fù)，層次多，分類雜.上述解法層次清楚，簡單明了，極大簡化了過程和運(yùn)算.

3 疑竇叢生 深度理解

驚嘆上述解法的同時(shí)，極力尋找更多的用武之地，期待得到再次證明.翻開筆記、錯(cuò)題集，試題集，發(fā)現(xiàn)函數(shù)最值的試題很多，但完全滿足上述條件的試題少之又少，難道這種方法不具有普遍性，不是通性通法？放棄研究還是繼續(xù)前行，我徘徊在十字路口.“最值概念由理解(3)中(1)(2)共同決定，只要保證同時(shí)滿足(1)(2)就行了”，老師的及時(shí)點(diǎn)撥撥開了思維的迷霧，讓我頓悟了一般試題與上述試題的本質(zhì)區(qū)別，上述兩道試題均已恒滿足條件(1)，但絕大多數(shù)試題兩個(gè)條件均不恒滿足.下面借助一道試題來小試牛刀.

分析由題意可知f(x)應(yīng)滿足條件(2)即f(x)≥3在[1,e]上恒成立，化簡可得2a≥3x-xlnx.因?yàn)?3x-xlnx)′=2-lnx>0，所以函數(shù)3x-xlnx在[1,e]上單調(diào)遞增，可得3x-xlnx的最大值為2e，推出a≥e.

要使得函數(shù)f(x)上的最小值為3，還必須滿足條件(1)，即等號(hào)能夠取到，有自變量與之對(duì)應(yīng).可轉(zhuǎn)化為不等式2a≥3x-xlnx中等號(hào)能夠取到，由于3x-xlnx≤e，當(dāng)a>e時(shí)，直線y=a與函數(shù)y=3x-xlnx無交點(diǎn)，不存在自變量與之對(duì)應(yīng).當(dāng)a=e時(shí)，直線y=a與函數(shù)y=3x-xlnx有唯一交點(diǎn)(e,e)，存在自變量x=e與之對(duì)應(yīng).

結(jié)合函數(shù)最值的定義，可知a=e.

類比上述解法發(fā)現(xiàn)“已知函數(shù)在某區(qū)間的最值，求參數(shù)的取值”此類問題可以先從條件(2)出發(fā)，將最值問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，通過分離參數(shù)的方法，計(jì)算出參數(shù)的取值范圍.再利用條件(1)去偽存真.類比上述發(fā)現(xiàn)其實(shí)參數(shù)的取值就是其范圍的邊界值.恒成立問題在高中數(shù)學(xué)中較為常見,其解決的途徑有很多.將最值問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題來處理，拓寬了最值問題解決的渠道.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)痛并快樂著，其中有驚喜，有煩惱，更有對(duì)意志力的考驗(yàn)，那種大徹大悟后的酣暢淋漓值得久久回味，我愿意在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上不斷前行，深度思考，享受數(shù)學(xué)的美與妙.