寧夏彭陽縣第三中學

王伯龍 (郵編：756500)

在函數(shù)求解中有一類問題，它們先增后減或先減后增，且在極值點兩側(cè)的增減速度不相同，一側(cè)快一側(cè)慢，因而極值點并不在定義域的中心位置，而是向一側(cè)偏移，對于這類函數(shù)，經(jīng)常會遇到“已知f(x1)=f(x2)，求證x1+x2>m，或x1+x2

極值點偏移問題是用導數(shù)解決函數(shù)問題中的一個難點，也是近年來全國各地市數(shù)學模擬訓練和高考的熱點問題.對于這類問題，文獻[1]、文獻[2]分別給出了兩種不同的處理策略.筆者用《幾何畫板》作出極值點偏移問題的函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)上是一條變形的拋物線，這就啟發(fā)我們考慮用二次函數(shù)逼近的思想方法來處理，我們可以構(gòu)造一個極值點與題中函數(shù)的極值點重合，且極值相等的二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的對稱性，利用它的函數(shù)在極值點兩側(cè)的位置關(guān)系，就可以解決極值點偏移問題.下面通過例題來展示.

例1(2016年全國高考新課標理數(shù)I卷試題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1) 求a的取值范圍；

(2) 設(shè)x1、x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.

解(1)a的取值范圍是(0,+∞)，過程略.

(2) 由(1)知，a>0，因為f′(x)=(x-2)ex+ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).

h′(x)=(x-2)ex+ex-e(x-1)

=(x-1)ex-e(x-1)=(x-1)(ex-e)，所以h(x)在R上單調(diào)遞增，又因為h(1)=0，所以，當x∈(-∞,1)時，h(x)<0，即f(x)0，即f(x)>g(x).由于f(x1)=f(x2)=0，如圖(圖中實線表示f(x)，虛線表示g(x))，因而必存在x3、x4，使得x2

例2(2010年天津高考理科數(shù)學21題)已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R).

(1) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；

(2) 略；

(3) 如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2>2.

解(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,1)，單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞)，f極大值(1)=e-1,過程略.

則h′(x)=(1-x)(e-x-e-1)，于是x∈R，h′(x)≥0，

所以函數(shù)h(x)在R上單調(diào)遞增，又h(1)=0，

因而當x∈(-∞,1)時，h(x)<0，所以f(x)

當x∈(1,+∞)時，h(x)>0，所以f(x)>g(x).由于

x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，如圖(圖中實線表示函數(shù)f(x)的圖象，虛線表示函數(shù)g(x)的圖象)因而必存在x3、x4，使得x2>x4>1>x1>x3，故x1+x2>x3+x4=2.

例3(2011年高考數(shù)學遼寧卷理數(shù)第21題)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.

(1) 討論f(x)的單調(diào)性；

(2) 略；

(3) 若函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于A、B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明：f′(x0)<0.

例4(2014年江蘇省南通市二摸第20題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax+a(a∈R)，其圖形與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點，且x1

(1) 求a的取值范圍；

(3) 略.

解(1)a>e2，過程略.

(2) 易知x=lna為函數(shù)f(x)的極小值點，且f(x)的極小值為2a-alna，且0

綜上所解，若設(shè)函數(shù)y=f(x)的極值點為

x=x0，那么構(gòu)造二次函數(shù)逼近極值點偏移問題的解題策略可程序化如下：

其實，極值點偏移問題的三種方法都是將兩個變元不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式.文獻[1]是構(gòu)造對稱函數(shù)，文獻[2]是捆綁構(gòu)造對數(shù)函數(shù)，利用對數(shù)平均不等式，構(gòu)造二次函數(shù)逼近的方法體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，更能貼近學生思維的最近發(fā)展區(qū)，但f″(x)計算較為復雜時，選擇構(gòu)造二次函數(shù)法就不得心應(yīng)手.至于何時用構(gòu)造對稱函數(shù)，何時用對數(shù)平均不等式，何時用構(gòu)造二次函數(shù)，值得我們?nèi)ド钏?

1 邢友寶.極值點偏移問題的處理策略[J].中學數(shù)學教學參考，上旬，2014(7)：19-22

2 賴淑明.極值點偏移問題的另一本質(zhì)回歸[J].中學數(shù)學教學參考，上旬，2015(4)：49-51