安徽省寧國(guó)中學(xué)

陳曉明 (郵編：242399)

在前不久的一次數(shù)學(xué)課堂上，筆者給出了一道貌似簡(jiǎn)單的探究題，沒想到“一石激起千層浪”，題目解法引起同學(xué)們激烈的爭(zhēng)論！課堂精彩紛呈，生成不斷，帶來很多意外發(fā)現(xiàn)，大家收獲頗多！課后我久久難忘，引起筆者對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的再次思考，一心想再次回味課堂，不斷反思，不斷提高……

為了保持課堂的原汁原味，還是先回到課堂．

1 課堂實(shí)錄

首先在黑板上展示題目：

探究題已知二次函數(shù)f(x)=x2+px+q在區(qū)間(2,3)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則p、q滿足什么關(guān)系？

接下來教師讓學(xué)生充分思考，動(dòng)筆去解，教師在學(xué)生中巡視……

還沒有等筆者開口說話，平時(shí)一向心直口快的小胖陳同學(xué)首當(dāng)其沖．

學(xué)生1：我覺得這個(gè)題目很簡(jiǎn)單．直接由零點(diǎn)存在性定理不就行了嗎？

由f(2)f(3)<0求得p，q滿足的關(guān)系是：(2p+q+4)(3p+q+9)<0．

教師：你反應(yīng)很快，就這么簡(jiǎn)單嗎？

教室此時(shí)變得有些安靜，同學(xué)們總覺得好像哪兒有點(diǎn)不對(duì)勁．

就在這時(shí)，數(shù)學(xué)課代表講話了．

教師：真厲害！想到了可能是不變號(hào)零點(diǎn)．

就在我準(zhǔn)備鳴鑼收兵時(shí)，一向比較喜歡動(dòng)腦的數(shù)學(xué)小王子舉手了．

學(xué)生3：答案還不對(duì)．這個(gè)答案只是二次函數(shù)f(x)=x2+px+q在區(qū)間(2,3)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件，而不是充要條件．學(xué)生2的答案還是漏解了．

他的一番話像平地驚雷，把大家都驚呆了，個(gè)個(gè)像丈二和尚摸不著頭腦！

教師：為什么？你快說說看．

教師：對(duì)呀！我還真沒想到．那答案應(yīng)是什么？

看到數(shù)學(xué)小王子發(fā)言了，數(shù)學(xué)大王子也不甘示弱．

學(xué)生4：只要把前面的f(2)f(3)<0改為f(2)f(3)≤0就可以了．

就在大家感到坦然時(shí)，一向比較內(nèi)斂的張同學(xué)仿佛也有了激情，她說話了．

學(xué)生5：答案還不對(duì)．若兩個(gè)零點(diǎn)是2、5 ，滿足條件f(2)f(3)≤0，但在區(qū)間(2,3)內(nèi)沒有零點(diǎn)，不滿足題意．

聽她講到這兒，大家有些“崩潰”了，真是防不勝防?。蛭?！

教師：大家太厲害了！善于動(dòng)腦，敢于嘗試，具有數(shù)學(xué)家般的發(fā)現(xiàn)精神，我都佩服你們了．看誰能最終解決這個(gè)問題？

這時(shí)課堂變得熱烈了，大家都積極行動(dòng)起來了！

不一會(huì)兒，有人舉手了．

圖1 圖2

教師：非常漂亮！數(shù)形結(jié)合，一目了然！

過了一會(huì)兒，又有人舉手了．

圖3 圖4

教師：真是“一波三折”！數(shù)學(xué)真得很有意思??！那大家看該再補(bǔ)什么條件？

很快有了結(jié)果．

教師：終于塵埃落定，大功告成，這個(gè)探究題真是不容易??！真像沿著一條陌生的河流探險(xiǎn)，隨時(shí)都可能激起美麗的浪花，見到岸邊奇特的風(fēng)景！

講到這兒，一向喜歡動(dòng)腦，比較大膽的李同學(xué)舉手了．

學(xué)生9：這兒零點(diǎn)個(gè)數(shù)若改變了怎么辦？

教師：這個(gè)問題問得很好，提出問題比解決問題更重要．

接下來教師給出：

變式1 已知二次函數(shù)f(x)=x2+px+q在區(qū)間(2,3)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則p、q滿足什么關(guān)系？

變式2 已知二次函數(shù)f(x)=x2+px+q在區(qū)間(2,3)內(nèi)沒有零點(diǎn)，則p、q滿足什么關(guān)系？

教師：下面大家仔細(xì)研究一下，看看誰能最先匯報(bào)研究成果？

接下來同學(xué)們爭(zhēng)先恐后地研究起來……

課堂充滿了濃厚的學(xué)習(xí)氛圍！

過了一會(huì)兒就有人匯報(bào)研究成果了，而且匯報(bào)過程中出現(xiàn)反復(fù)的爭(zhēng)論和矯正，同樣是“一波三折”，最后得出下列結(jié)論：

變式2答案

然后再代換成關(guān)于p、q的式子．

很快又有同學(xué)提問了．

學(xué)生10：這兒區(qū)間若改變了怎么辦？

教師給出又一個(gè)變式．

變式3：已知二次函數(shù)f(x)=x2+px+q在區(qū)間[2,3)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則p、q滿足什么關(guān)系？ [2,3)還可改為(2,3]，[2,3]．同樣零點(diǎn)個(gè)數(shù)可改變．

教師：變式3作為書面作業(yè)留給大家課后完成．

本題其實(shí)是二次函數(shù)零點(diǎn)的分布問題，對(duì)于一般的二次函數(shù)，它的零點(diǎn)分布有什么結(jié)論？

變式4：對(duì)于一般的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，分別在下列情況下求a、b、c滿足的關(guān)系式．

(1)有兩個(gè)正零點(diǎn)；(2)有兩個(gè)負(fù)零點(diǎn)；⑶有一正一負(fù)零點(diǎn)．

經(jīng)過學(xué)生討論，很快有了結(jié)論：

推廣兩個(gè)零點(diǎn)均比k大(兩個(gè)正零點(diǎn)其實(shí)就是兩個(gè)零點(diǎn)均比0大)：

(接下來將各式展開，重組，利用韋達(dá)定理可得到系數(shù)滿足的條件)

(2)有兩個(gè)負(fù)零點(diǎn)x1、x2：代數(shù)法

推廣兩個(gè)零點(diǎn)均比k小(兩個(gè)負(fù)零點(diǎn)其實(shí)就是兩個(gè)零點(diǎn)均比0小)：

(3)有一正一負(fù)兩個(gè)零點(diǎn)：代數(shù)法

推廣兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)比k大，一個(gè)比k小(一正一負(fù)兩個(gè)零點(diǎn)其實(shí)就是一個(gè)比0大，一個(gè)比0小)：

此時(shí)下課鈴聲響起！

我看到了學(xué)生臉上的表情：驚嘆之余，有些不舍和遺憾！

2 教學(xué)思考

看來，我們教師要充分相信學(xué)生，教學(xué)中要多給一點(diǎn)學(xué)生自由思考的時(shí)間，教師不能只按照自己事先想好的思路來教學(xué)，否則就會(huì)限制學(xué)生的思維，強(qiáng)扭學(xué)生的思維，題目剛出來就先進(jìn)行提示或分析，那樣做會(huì)扼殺學(xué)生的自主思維能力，剝奪學(xué)生的自由創(chuàng)造空間．在學(xué)生還沒來得及思考的時(shí)候，老師硬是用自己固定的思路框定他們的頭腦，使他們服從于已有的模式，這對(duì)他們思維能力的形成是個(gè)不小的打擊．

離開了學(xué)生的“自主活動(dòng)”、“智力參與”、“個(gè)人體驗(yàn)”就沒有真正的學(xué)習(xí)了．把課堂還給學(xué)生，引發(fā)學(xué)生積極思維，讓每位學(xué)生在數(shù)學(xué)思維的世界里自由地翱翔，向習(xí)題課教學(xué)要效益，通過問題解決，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，讓每位學(xué)生主動(dòng)、積極地參與教學(xué)．當(dāng)然，要做到這點(diǎn)，首先教師對(duì)習(xí)題的本身要有深入的研究；其次，對(duì)學(xué)生的課堂參與要給予足夠的激勵(lì)和引導(dǎo)．把課堂還給學(xué)生，注意傾聽他們的聲音，點(diǎn)燃他們思維之火．

到這里，我想起葉瀾教授曾說：“課堂是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的因素，而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情行程．”[1]

3 結(jié)束語

陶哲軒在《解題· 成長(zhǎng) ·快樂》序言中引用古希臘哲學(xué)家普羅克洛斯的話：“這，就是數(shù)學(xué)：她提醒你靈魂有不可見的形態(tài)；她賦予自己的發(fā)現(xiàn)以生命；她喚醒悟性,澄清思維；她照亮了我們內(nèi)心的思想；她滌盡我們有生以來的蒙昧與無知……”[2]．筆者以此與各位同仁共勉！在數(shù)學(xué)中讓我們永遠(yuǎn)帶著探尋的目光審視眼前的一切，一定會(huì)有驚喜出現(xiàn)！

1 陳曉明．我教書，我寫作，我快樂[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2016(5)：39

2 張曉東．說題與數(shù)學(xué)青年教師的專業(yè)成長(zhǎng)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015(3)：67