王世宇， 夏 營， 孫文嘉， 王堯堯

(1. 天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 天津 300072； 2. 天津市非線性動(dòng)力學(xué)與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津 300072；3. 上海航天控制技術(shù)研究所， 上海 201109)

外轉(zhuǎn)子異步電機(jī)以其結(jié)構(gòu)緊湊和功率損耗小等優(yōu)點(diǎn)廣泛應(yīng)用于冷卻風(fēng)機(jī)等領(lǐng)域。由于結(jié)構(gòu)的特殊性，尤其是可產(chǎn)生顯著彈性變形的外轉(zhuǎn)子的應(yīng)用，在旋轉(zhuǎn)磁載荷作用下，更容易產(chǎn)生彈性振動(dòng)和噪聲。

針對(duì)異步電機(jī)的彈性轉(zhuǎn)子振動(dòng)問題，國內(nèi)外學(xué)者已開展了深入研究。劉清等[1]建立了彈性轉(zhuǎn)子的非線性動(dòng)力學(xué)模型，探討了系統(tǒng)受不平衡磁拉力作用時(shí)的主共振響應(yīng)。Iwatsubo等[2]研究了三相異步電機(jī)轉(zhuǎn)子的參激振動(dòng)特性，并給出了振動(dòng)不穩(wěn)定判據(jù)。寧建榮等[3]采用解析法揭示了彈性轉(zhuǎn)子的徑向電磁力分布規(guī)律，并采用數(shù)值法給出了對(duì)比驗(yàn)證。Belmans等[4]利用Fourier級(jí)數(shù)建立了異步電機(jī)的彈性轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型。需要指出的是，現(xiàn)有研究均采用慣性坐標(biāo)系，通常采用多尺度法[5]、攝動(dòng)法[6]和Chebyshev多項(xiàng)式[7]等進(jìn)行近似求解。事實(shí)上，還可以在磁場同步坐標(biāo)系下研究彈性轉(zhuǎn)子的振動(dòng)穩(wěn)定性問題。Canchi等[8]運(yùn)用坐標(biāo)變換原理研究了彈性環(huán)狀結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)穩(wěn)定性。Singh等[9]在磁場同步坐標(biāo)系下求解了多相異步電機(jī)的力矩方程。Nelson等[10]在磁場隨動(dòng)坐標(biāo)系下建立了異步電機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型，并分析了低轉(zhuǎn)速下的穩(wěn)定性問題。本質(zhì)上，同步坐標(biāo)系可消除電機(jī)時(shí)變參數(shù)的影響，有利于解決由移動(dòng)載荷產(chǎn)生的動(dòng)力穩(wěn)定性問題。

采用Hamilton原理在磁場同步坐標(biāo)系下建立異步感應(yīng)電機(jī)的外轉(zhuǎn)子橫向振動(dòng)模型，通過經(jīng)典振動(dòng)理論分析基本機(jī)電參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力穩(wěn)定性的影響，并分別采用Floquét和Runge-Kutta方法計(jì)算不穩(wěn)定域和響應(yīng)，從而驗(yàn)證了解析結(jié)果的正確性。

1 動(dòng)力學(xué)建模

1.1 坐標(biāo)系建立

根據(jù)外轉(zhuǎn)子感應(yīng)電機(jī)的結(jié)構(gòu)特征，可將轉(zhuǎn)子簡化為旋轉(zhuǎn)薄殼狀彈性結(jié)構(gòu)。圖1為異步電機(jī)的彈性外轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型。圖1中，P(θ,t)為慣性坐標(biāo)系下作用于轉(zhuǎn)子表面的單位面積磁拉力，該磁拉力以磁場同步轉(zhuǎn)速Ω(Ω=ω/p；ω為相電流頻率；p為極對(duì)數(shù))勻速旋轉(zhuǎn)。o-rθ為慣性坐標(biāo)系；uθ和vr分別為轉(zhuǎn)子的切向和徑向位移，該位移與空間角度θ和時(shí)間t有關(guān)；o-ρφ為磁場同步坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系以磁場恒定轉(zhuǎn)速Ω同步旋轉(zhuǎn)，uφ和vρ分別為切向和徑向位移。轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速、軸向厚度、徑向?qū)挾?、中性圓半徑、材料密度、彈性模量、切向和徑向支撐剛度分別為Ωr、h、c、R、d、E、ku和kv。

圖1 外轉(zhuǎn)子異步感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系

Fig.1 Coordinates frame of external rotor of asynchronous induction motor

1.2 數(shù)學(xué)建模

依據(jù)Hamilton原理建立磁場同步坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)子的彈性動(dòng)力學(xué)方程。轉(zhuǎn)子的動(dòng)能為

(1)

式中：A(A=ch)為截面積，且

轉(zhuǎn)子的勢能為

φ

(2)

式中：I(I=ch3/12)為主慣性矩，且

支撐勢能為

φ

(3)

式中:ku和kv分別為切向和徑向支撐剛度。轉(zhuǎn)子截面上，單位面積的磁拉力為[11-12]

(4)

式中:μ0為真空磁導(dǎo)率;Fmax為最大磁動(dòng)勢，且

(5)

式中:N為線圈匝數(shù)；Im為相電流；m為相數(shù)；y1為定子節(jié)距；z為定子齒數(shù)；g為平均氣隙長度。磁拉力做功可表示為

(6)

將式(4)、式(5)代入式(6)，可得

(1+cos 2pφ)dφ

(7)

根據(jù)Hamilton原理，有

(8)

(9)

cos 2pφ),

2 磁場同步坐標(biāo)系分析

根據(jù)Galerkin方法，系統(tǒng)的一階響應(yīng)可表示為[13]

(10)

式中:n為波數(shù)；i為虛數(shù)單位，cc表示共軛。定義內(nèi)積

(11)

式中：“～”為復(fù)共軛。將式(10)代入式(9)，并與einφ作內(nèi)積可得

(12)

式中：

當(dāng)波數(shù)與極對(duì)數(shù)不等時(shí)，系統(tǒng)將產(chǎn)生自由振動(dòng)，可運(yùn)用線性振動(dòng)理論加以分析。本文重點(diǎn)研究波數(shù)與極對(duì)數(shù)相等時(shí)彈性轉(zhuǎn)子的振動(dòng)穩(wěn)定性問題。假設(shè)ηj(t)=xj+iyj(j=1，2)，式中xj和yj均為實(shí)變量，則式(12)可改寫為

(13)

式中:

×Y

(14)

式中:

(B-λI)Y=0

(15)

式中:λ為特征值。

當(dāng)特征值的實(shí)部大于零且虛部為零時(shí),系統(tǒng)將產(chǎn)生發(fā)散不穩(wěn)定；當(dāng)特征值的實(shí)部大于零且虛部互為相反數(shù)時(shí)，系統(tǒng)將處于顫振不穩(wěn)定狀態(tài)[14]。表1為感應(yīng)電機(jī)外轉(zhuǎn)子的基本參數(shù)。

表1 基本參數(shù)

根據(jù)式(15)可得旋轉(zhuǎn)磁場的無量綱轉(zhuǎn)速為2.0時(shí)特征值隨機(jī)電參數(shù)的變化規(guī)律，如圖2所示。圖2中實(shí)線和虛線表示特征值的實(shí)部和虛部。圖2(a)和圖2(c)分別表示波數(shù)為2和3時(shí)，節(jié)距對(duì)特征值實(shí)、虛部的影響。根據(jù)不穩(wěn)定性的判斷依據(jù)，節(jié)距可周期性地導(dǎo)致發(fā)散不穩(wěn)定。波數(shù)的改變可顯著影響節(jié)距周期和不穩(wěn)定區(qū)間。當(dāng)波數(shù)為2時(shí)，周期為36，不穩(wěn)定區(qū)間為(10.0，26.0)和(46.0，62.0)；當(dāng)波數(shù)為3時(shí)，周期為24，不穩(wěn)定區(qū)間為(5.0，19.0)、(29.0，43.0)和(53.0，67.0)。對(duì)于不同的振動(dòng)波數(shù)，相電流對(duì)振動(dòng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律，如圖2(b)和圖2(d)所示。波數(shù)不僅改變了不穩(wěn)定區(qū)間，還影響了不穩(wěn)定性質(zhì)。當(dāng)波數(shù)為2時(shí)，相電流可導(dǎo)致兩種不穩(wěn)定，其中發(fā)散不穩(wěn)定區(qū)間為(48.5，87.5)，顫振不穩(wěn)定區(qū)間為(136.0，200)；當(dāng)波數(shù)為3時(shí)，相電流僅導(dǎo)致發(fā)散不穩(wěn)定，不穩(wěn)定區(qū)間為(94.8，200)。

(a)(b)

(c)(d)

圖2 基本機(jī)電磁參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響

Fig.2 Influence of basic mechanical-electromagnetic parameters on stability

3 慣性坐標(biāo)系分析

引入坐標(biāo)變換θ=φ+Ωt，式(12)可改寫為

(16)

式中:

根據(jù)Floquét理論[15-16]，假設(shè)ξl=Al+iBl(l=1，2)，Al、Bl均為時(shí)間的實(shí)函數(shù)，式(16)可表示為

(17)

式中:

(18)

式中：

0和I分別為4×4階零矩陣和單位陣。

圖3描述了系統(tǒng)不穩(wěn)定域的分布規(guī)律，其中圖3(a)和圖3(c)分別表示磁場同步坐標(biāo)系下節(jié)距和相電流對(duì)不穩(wěn)定域的影響；圖3(b)和圖3(d)分別描述了慣性坐標(biāo)系下通過Floquét理論得到的不穩(wěn)定域的分布規(guī)律。忽略計(jì)算精度的影響，兩種坐標(biāo)系下的結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了磁場同步坐標(biāo)系的正確性。此外，圖3(a)和圖3(b)表明節(jié)距可周期性地影響不穩(wěn)定域的分布，該周期為36/n，當(dāng)節(jié)距為72Y/n(Y為整數(shù))時(shí)，系統(tǒng)處于恒穩(wěn)定狀態(tài)。圖3(c)和圖3(d)表明隨著相電流的增加，電磁剛度逐漸增大，不穩(wěn)定域逐漸變大，當(dāng)相電流位于區(qū)間(0，146 A)時(shí)，不穩(wěn)定域由兩個(gè)分支構(gòu)成，而當(dāng)相電流>146 A時(shí)，系統(tǒng)將完全失穩(wěn)。需要指出的是，當(dāng)磁場的無量綱轉(zhuǎn)速取值為2.0時(shí)(圖中虛線標(biāo)注位置)，不穩(wěn)定的變化規(guī)律與圖2一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了磁場同步坐標(biāo)系下解析結(jié)果的正確性。

(a)(b)

(c)(d)

圖3 基本機(jī)電磁參數(shù)對(duì)不穩(wěn)定性的影響

Fig.3 Effect of basic mechanical-electromagnetic parameters on instability behaviors

為驗(yàn)證圖2和3結(jié)果的正確性，本節(jié)求解了100 s內(nèi)切向響應(yīng)隨節(jié)距和相電流等機(jī)電參數(shù)的變化規(guī)律，如圖4所示。圖中實(shí)線為隨動(dòng)坐標(biāo)系下的解析響應(yīng)，虛線為基于Runge-Kutta方法的慣性坐標(biāo)系下的數(shù)值響應(yīng)，忽略計(jì)算誤差，兩種方法得到的結(jié)果基本一致。在穩(wěn)定區(qū)間，響應(yīng)為趨近于零的直線，而在不穩(wěn)定區(qū)間，響應(yīng)顯著大于零，與圖2和3的結(jié)果一致。由圖4(a)可知，節(jié)距周期性地影響切向響應(yīng)，當(dāng)節(jié)距為(36+72Y)/n(Y為整數(shù))時(shí)，切向響應(yīng)最大；由圖4(b)可知，當(dāng)相電流處于發(fā)散不穩(wěn)定區(qū)間(48.5 A，87.5 A)時(shí)，響應(yīng)的增長速度顯著小于顫振不穩(wěn)定區(qū)間(94.8 A，200 A)的響應(yīng)。圖4(c)和圖4(d)描述了波數(shù)為3時(shí)，節(jié)距和相電流對(duì)切向響應(yīng)的影響，經(jīng)分析可得相似結(jié)論。

(a)(b)

(c)(d)

圖4 切向響應(yīng)隨基本機(jī)電磁參數(shù)的變化規(guī)律

Fig.4 Tangential response versus basic mechanical-electromagnetic parameters

4 結(jié) 論

本文研究了異步感應(yīng)電機(jī)的外轉(zhuǎn)子彈性振動(dòng)穩(wěn)定性問題，揭示了基本機(jī)、電和磁參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響。主要工作和結(jié)論如下：

(1) 采用能量法建立了磁場同步坐標(biāo)系下異步感應(yīng)電機(jī)的外轉(zhuǎn)子彈性振動(dòng)模型，并采用經(jīng)典振動(dòng)理論分析了動(dòng)力穩(wěn)定性問題。

(2) 根據(jù)所建動(dòng)力學(xué)模型，計(jì)算了系統(tǒng)的特征值，揭示了動(dòng)力穩(wěn)定性與節(jié)距和相電流等基本機(jī)電參數(shù)的映射關(guān)系。

(3) 利用坐標(biāo)變換得到了慣性坐標(biāo)系下的參激振動(dòng)模型，采用Floquét方法計(jì)算了不穩(wěn)定域，該結(jié)果與解析結(jié)果一致。

(4) 采用Runge-Kutta方法計(jì)算了彈性外轉(zhuǎn)子的切向響應(yīng)，進(jìn)一步驗(yàn)證了磁場同步坐標(biāo)系下解析結(jié)果的正確性。

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