呂曉靜，趙向東

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

眾所周知，微分方程的學(xué)習(xí)與研究已進(jìn)入計(jì)算機(jī)時(shí)代，應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件中的符號(hào)計(jì)算功能可以幫助直接求解某些常微分方程，并且還可以通過計(jì)算機(jī)繪圖生動(dòng)形象地展示常微分方程解的幾何意義。Maple語言是目前數(shù)學(xué)界較為通用的數(shù)學(xué)軟件之一。在大多數(shù)的計(jì)算中，Maple不僅可以求出數(shù)值解，還可以求出解的符號(hào)式，繪出函數(shù)的二維或三維圖形。

法國(guó)數(shù)學(xué)家Clairaut在1734年得到了Clairaut方程的解法。在文獻(xiàn)[1]中將Clairaut方程作為一類一階隱方程進(jìn)行了闡述，并且引出方程奇解的定義，給出了求奇解的p-判別曲線和c-判別曲線方法。本文在此基礎(chǔ)上，對(duì)Clairaut方程進(jìn)行推廣，再運(yùn)用參數(shù)求解的技巧推導(dǎo)其通解的表達(dá)式，并且指出在推廣的Clairaut方程中，不一定都有奇解，如果有的話本文也給出了奇解的表達(dá)式，更重要的是，本文針對(duì)每一種類型的方程給出了一種簡(jiǎn)便的求解方法，通過Maple程序更全面地分析了方程及方程解的性質(zhì)。

1 第一類Clairaut型方程的Maple求解

在求解一階隱方程 F（x，y，y′）=0 中，變量 x 和 y如果僅僅以復(fù)合變量xy′-y的形式出現(xiàn)，則有如下的結(jié)論。

命題1假設(shè)二元函數(shù)f（u，v）對(duì)2個(gè)自變量u，v二階可導(dǎo)，如果一階微分方程形如

則方程（1）的通解可表示為：

并且方程有奇解，奇解為下列方程組的解（p為參數(shù)）。

證明利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，對(duì)方程（1）兩端關(guān)于x求導(dǎo)，令y′=p

結(jié)合通解（2）得方程組（3），此時(shí)將p看做參數(shù)，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，方程組（3）中的第2式恰好是第1式中對(duì)參數(shù)p的導(dǎo)數(shù)，因此此類推廣的Clairaut方程與標(biāo)準(zhǔn)的Clairaut方程相同，方程組（3）就是原微分方程（1）的p-判別式得到的奇解。

注1：此類Clairaut型方程在文獻(xiàn)[2]中，對(duì)照一階隱方程的類型進(jìn)行求解時(shí)，它既不屬于不顯含變量x或者變量y的類型，也不屬于那種能夠比較容易求解變量x或者變量y的類型。因此，應(yīng)用Maple的程序設(shè)計(jì)進(jìn)行計(jì)算很有優(yōu)勢(shì)，它很好地延續(xù)了Clairaut方程的求解思想，并且必有參數(shù)形式的奇解。

注 2：如果取 f（xy′-y，y′）=（x+a）y′-y+φ（y′）=（xy′-y）+ay′+ φ（y′）時(shí)，這里 a 為常數(shù)，φ（y′）是可微的，即為文獻(xiàn)[3]中的引理 1，因此本命題的結(jié)論是對(duì)文獻(xiàn)[3]中引理1的推廣。

例 1求解方程（x2-1）（y′）2-2xyy′+y2-1=0

解將原方程化簡(jiǎn)整理為：

（xy′-y）2-（y′）2-1=0

取f（xy′-y，y′）=（xy′+y）2-（y′）2-1，則根據(jù)公式（2）和（3）編寫求奇解和通解的程序如下：

解的圖像源程序：

例2求解方程

解將原方程化簡(jiǎn)整理為f（xy′-y，y′）=（xy′-y）2+y′-（y′）2，則根據(jù)公式（2）和（3）編寫求奇解和通解的程序如下：

解的圖像源程序?yàn)椋?/p>

例1和例2方程的通解和奇解的圖像分別如圖1和圖2所示。

圖1 例1方程的通解和奇解

圖2 例2方程的通解和奇解

2 第二類Clairaut型方程的Maple求解

命題2假設(shè)函數(shù)φ（u）對(duì)自變量u二階可導(dǎo)，a為非零的常數(shù)，如果一階微分方程形如

則關(guān)于方程的解有以下2種情況：

（1）當(dāng)a≠1時(shí)，有如下的參數(shù)式通解

這里（1-a）p-ab≠0，并且

式中：c為任意常數(shù)；p為參數(shù)。特別是當(dāng)（1-a）pab=0時(shí)方程有特解但非奇解，表達(dá)式為：

（2）當(dāng)a=1時(shí)，有如下的參數(shù)式通解

這里 b≠0，并且

式中：C為任意常數(shù)；p為參數(shù)。特別是當(dāng)b=0時(shí)方程可簡(jiǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的Clairaut方程。

證明利用微積分中復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，對(duì)方程（4）兩端關(guān)于 x求導(dǎo)，且令p=y′得

從上述表達(dá)式（8）可以看出

（1）當(dāng)a≠1且（1-a）p-ab≠0得到一個(gè)關(guān)于變量x、p的一階線性方程

因此，其通解為：

結(jié)合方程（4）得到方程組（5）；當(dāng)（1-a）p-ab=0時(shí)，意味著，且等式（8）是成立的，并且易驗(yàn)證函數(shù)

是原微分方程（4）的特解，依據(jù)文獻(xiàn)[2]的定理3.5.1，可驗(yàn)證特解（6）不滿足方程（4）的p-判別式。所以，此函數(shù)不是原微分方程（4）的奇解。

（2）在上述表達(dá)式（8）中，令a=1得到一個(gè)關(guān)于變量x、p的一階線性方程

因此，其通解為：

結(jié)合方程（4）得到方程組（7）。綜合以上論述，命題得證。此類Clairaut型方程無奇解。

例 3求解方程 y=2x（y′+1）+（y′）2

解根據(jù)式（5）編寫求奇解和通解的程序如下：

解的圖像的源程序：

當(dāng)參數(shù)p∈[-10 000，0]，任意常數(shù)C取值為-10到10之間的整數(shù)時(shí)，方程通解的圖像如圖3所示，當(dāng)參數(shù)p∈[-100 000，0]時(shí)，任意常數(shù)C取值為-10到10之間的整數(shù)時(shí)，方程通解的圖像如圖4所示。從圖3和圖4可以看出，隨著p的絕對(duì)值不斷減小，通解的圖像在y軸左側(cè)，從x軸上方不斷地靠近x軸，y軸右側(cè)的圖像從x軸下方不斷靠近x軸，最終形成直線簇。

當(dāng)參數(shù)p∈[0，10 000]和任意常數(shù)C取值為-10到10之間的整數(shù)時(shí)，方程通解的圖像如圖5所示，當(dāng)參數(shù)p∈[0，100 000]和任意常數(shù) C取值為-10到10之間的整數(shù)時(shí)，方程通解的圖像如圖6所示。同理，從圖5和圖6也可以看出，隨著p的絕對(duì)值不斷減小，通解的圖像在y軸左側(cè)，從x軸下方不斷地靠近x軸，y軸右側(cè)的圖像從 x軸上方不斷靠近 x軸，最終形成直線簇。

綜合以上情況可以看到，求解此類推廣的Clairaut型方程時(shí)，借助Maple可以很好地理解為何此類方程沒有奇解。

圖3 例3方程的通解（參數(shù)p∈[-10 000，0]）

圖4 例3方程的通解（參數(shù)p∈[-100 000，0]）

圖5 例3方程的通解（參數(shù)p∈[0，10 000]）

圖6 例3方程的通解（參數(shù)p∈[0，100 000]）

3 第三類Clairaut型方程的Maple求解

命題3假設(shè)一元函數(shù)φ（u）對(duì)自變量u二階可導(dǎo)，ab均為常數(shù)且a≠0，n為正整數(shù)且n≠0，1，如果一階微分方程形如

則方程有參數(shù)式通解：

c為任意常數(shù)；p為參數(shù)。

注3：此命題的證明方法與命題2相同，不同的是最后在n＝2時(shí)求解一個(gè)關(guān)于變量x、p一階線性方程；在n≠2時(shí)求解一個(gè)關(guān)于變量x、p的Bernoulli方程。

例 4求解方程 y=xy′+x2（2（y′）2+1）

解根據(jù)式（10）編寫與例1相同的程序，求奇解和通解的曲線如下，參數(shù)p∈[-10，10]，任意常數(shù)c取值為-10到10之間的整數(shù)時(shí)，方程通解的圖像如圖7所示。但是，同樣的題目?jī)H僅改變n=3時(shí)，發(fā)現(xiàn)此時(shí)通解的圖像已經(jīng)完全不一樣，如圖8所示?？梢姡@一項(xiàng)在方程中起著至關(guān)重要的作用，而且從圖形中也比較容易看出此類方程沒有奇解。

圖7 例4方程的通解圖像（參數(shù)n=2）

圖8 例4方程的通解（參數(shù)n=3）

4 結(jié)語

借助Maple軟件求解以上3類推廣的Clairaut型方程非常便捷，同時(shí)利用Maple軟件繪出方程通解（奇解）的圖像可以進(jìn)一步分析得出參數(shù)形式的通解（奇解）的特性。因此，可以看出Maple軟件在求解Clairaut型方程中的強(qiáng)大功能，這是單靠紙和筆求解方程所不能比擬的。

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