尹宸哲，禹奇才，劉愛榮，盧漢文，張駿峰

(廣州大學(xué)—淡江大學(xué)工程結(jié)構(gòu)災(zāi)害與控制聯(lián)合研究中心，廣東 廣州 510006)

由于實際加工和制造的誤差，任何具有確定幾何形狀的結(jié)構(gòu)都不可避免地具有缺陷。承受軸向壓力的拱也不例外，各種不同跨徑和結(jié)構(gòu)的拱均不同程度地存在著缺陷。拱結(jié)構(gòu)只要存在初始幾何缺陷，其穩(wěn)定性就不再是平衡分支問題，而是極值點(diǎn)失穩(wěn)問題。國內(nèi)外學(xué)者對拱的靜、動力穩(wěn)定性進(jìn)行了深入研究，但這些研究基本不考慮缺陷的影響[1-5]。個別學(xué)者利用有限元數(shù)值分析方法，通過引入整體一致的幾何缺陷和事先假定的局部缺陷，研究了相關(guān)缺陷對拱的穩(wěn)定性和極限承載能力的影響，例如：顏全勝等[6]針對考慮初始幾何缺陷影響的梁單元，兼顧拱的面內(nèi)初始變形的影響，把具有缺陷的拱當(dāng)作具有缺陷的直壓桿計算，并對鋼管混凝土拱橋進(jìn)行了非線性和穩(wěn)定分析，結(jié)果表明缺陷對拱肋內(nèi)力、應(yīng)力和位移的影響系數(shù)均小于10%；程進(jìn)等[7]編制了非線性程序，對考慮初始幾何缺陷的大跨度鋼管混凝土拱橋進(jìn)行了穩(wěn)定分析，驗證了拱肋面外的初始缺陷對大跨度拱橋面內(nèi)的極限承載力不會產(chǎn)生較大影響；謝旭等[8]采用彈塑性大變形計算方法，將幾何缺陷分為單元局部缺陷和整體一致缺陷，發(fā)現(xiàn)幾何缺陷使得大跨度拱橋的結(jié)構(gòu)承載力降低了8%左右；戴云峰[9]提出了利用樣條函數(shù)法分析理想拱的面內(nèi)、面外穩(wěn)定性，并建立了具有任意橫向初始幾何缺陷拱的彈性承載力評估方法；易壯鵬[10]將幾何缺陷拱的節(jié)點(diǎn)偏差視為隨機(jī)變量，通過條件隨機(jī)變量等方法得到了隨機(jī)幾何缺陷的分布方式和大小，同時從虛功原理和廣義變分原理出發(fā)，研究了幾何缺陷對拱的穩(wěn)定性能的影響；Zhao等[11]提出了考慮平面幾何缺陷的橫向支撐拱的平面內(nèi)彈性強(qiáng)度設(shè)計公式，證明了幾何缺陷的大小和分布可能會導(dǎo)致拱的平面外強(qiáng)度減少。以上研究表明：針對初始缺陷對拱穩(wěn)定性影響的研究，目前大多采用數(shù)值假設(shè)、人為施加缺陷的方式，與實際結(jié)構(gòu)缺陷存在一定的差異，且未通過實驗驗證。

關(guān)于考慮初始缺陷拱失穩(wěn)的實驗研究，國內(nèi)外學(xué)者鮮有所涉及。Papangelis等[12-13]建立了雙對稱截面圓拱的彎扭屈曲理論，導(dǎo)出了軸向和剪切應(yīng)變的非線性表達(dá)式，并將其代入總勢能的二階變化式，得到了拱屈曲方程。同時，進(jìn)行了拱頂集中力作用下的鋁合金工字型截面拱的面外彈性彎扭失穩(wěn)實驗，測試了集中荷載作用下簡支拱的彎扭失穩(wěn)行為。Guo等[14]通過彈塑性試驗研究發(fā)現(xiàn)固接鋼拱的非彈性失穩(wěn)承載能力受初始缺陷大小和分布的影響較大，但實驗未獲得不穩(wěn)定平衡路徑以及后屈曲失穩(wěn)行為。La Poutré D B等[15]對15組拱頂集中作用力下工字型截面圓弧鋼拱的面外彈塑性失穩(wěn)進(jìn)行了實驗研究，拱的圓心角從90°變化到180°。實驗表明，面外幾何缺陷對拱極限承載能力大小有一定的影響。本文自行設(shè)計了位移控制加載系統(tǒng)，利用光學(xué)動態(tài)位移三維測量系統(tǒng)測得拱的實際初始幾何缺陷，跟蹤了拱頂集中力加載全過程的結(jié)構(gòu)變形情況和失穩(wěn)模態(tài)，分析了初始缺陷對拱失穩(wěn)極值點(diǎn)和失穩(wěn)模態(tài)的影響。

1 試驗介紹

1.1 實驗試件

本文研究對象為圓弧拱，如圖1(a)所示。圓弧拱矢跨比為1/5、1/6、1/7和1/8，跨徑為173 cm，拱截面為矩形截面，寬度和高度分別為25和1.5 mm，材質(zhì)是牌號6 061的鋁合金。通過拉伸試驗測得鋁合金彈性模量為6.8×1010Pa，圓弧拱試件經(jīng)冷加工成形。為實現(xiàn)拱腳固接，本實驗將圓弧拱的拱腳伸入到特殊加工的夾具，如圖1(b)所示。固定和扭緊螺栓，確保拱腳與固定夾具無相對滑移。

圖1 圓弧拱試件及拱腳夾具Fig.1 Specimens of circular arch and support lofting

1.2 初始線形和缺陷測試

采用NDI Optotrak光學(xué)動態(tài)位移三維測量系統(tǒng)進(jìn)行實時位移測量。為精確獲得試驗拱的初始缺陷、線形、加載過程中的變形情況和初始屈曲、后屈曲失穩(wěn)模態(tài)，在試驗拱的拱腳、二分點(diǎn)、四分點(diǎn)、八分點(diǎn)和十六分點(diǎn)粘貼Markers反光標(biāo)識點(diǎn)，共設(shè)17個標(biāo)識點(diǎn)，如圖2所示。Markers點(diǎn)是光學(xué)動態(tài)位移測試儀的三維測量系統(tǒng)配套的紅外線發(fā)光標(biāo)識點(diǎn)，具有質(zhì)量輕、顯示位置準(zhǔn)確的特點(diǎn)。Markers點(diǎn)對圓弧拱變形的影響可忽略不計，NDI Optotrak光學(xué)動態(tài)位移三維測量系統(tǒng)的精度可達(dá)到0.1 mm，故實驗儀器精度完全可以滿足測量精度要求。

圖2 Markers(標(biāo)識點(diǎn))位置示意圖Fig.2 Marker points on the arch

實驗開始前先對矢跨比為1/5～1/8的圓弧拱的初始狀態(tài)進(jìn)行了測量，包括圓弧拱的弧長、跨徑、矢跨比和關(guān)鍵點(diǎn)三維空間坐標(biāo)，以獲得拱的初始線性以及初始缺陷，并與理想狀態(tài)拱的線形進(jìn)行比較。不同矢跨比的圓弧拱的實際拱與理想拱軸線，如圖3所示。

由圖3可知，由于加工、運(yùn)輸?shù)雀鞣N原因，導(dǎo)致圓弧拱的實際線形與理想線形有著細(xì)微的差別。當(dāng)矢跨比為1/5和1/6時，實際拱軸線比理論高出1.2%；當(dāng)矢跨比為1/7時，實際拱軸線與理想拱軸線誤差不到1%，伴隨明顯的正弦缺陷；當(dāng)矢跨比為1/8時實際拱軸線拱頂比理想拱低了1.3%。

1.3 加載過程測試

為了獲得整個實驗過程中力和位移的關(guān)系曲線、失穩(wěn)平衡路徑，以及拱失穩(wěn)的上下極值點(diǎn)，本文特別設(shè)計了一套位移控制加載裝置。加載裝置由力傳感器、加載端固定夾片、拉桿和豎向自由伸縮平臺組成。力傳感器焊接在加載端固定夾片下方，將其緊貼于圓弧拱的拱頂中心處，并與下端拉桿相連接，最后將拉桿固定在豎向自由伸縮平臺上，如圖4所示。

圖3 不同矢跨比圓弧拱實際拱軸線與理想拱軸線Fig.3 Practical axis and perfect axis of circular arches with different rise-span ratio

圖4 位移加載裝置Fig.4 Displacement loading device

在實驗過程中，通過旋動拉桿與豎向自由伸縮平臺間的螺栓，控制拱頂豎向位移值，并從力傳感器中讀出相應(yīng)的荷載大小，如圖5所示。實驗第一階段對圓弧拱采用位移控制的方式緩慢加載，記錄每一加載步對應(yīng)的力傳感器和NDI Optotrak光學(xué)動態(tài)位移三維測量系統(tǒng)的讀數(shù)，直到力傳感器讀數(shù)幾乎不再增加，此時力傳感器讀數(shù)為曲線的上極值點(diǎn)；第二階段繼續(xù)通過位移控制進(jìn)行加載，隨著位移的增加，力傳感器讀數(shù)隨之減少，直到力傳感器讀數(shù)幾乎不再變化，此時力傳感器讀數(shù)為曲線的下極值點(diǎn)；當(dāng)力傳感器讀數(shù)開始再次上升時，隨即進(jìn)入第三階段，繼續(xù)施加載荷，記錄相關(guān)的數(shù)據(jù)，即可獲得完整的荷載位移曲線。

圖5 試驗拱測試Fig.5 Arch in loading process

2 拱的有限元計算模型

為了驗證實驗結(jié)果的準(zhǔn)確性、分析初始缺陷對拱失穩(wěn)行為的影響，利用有限元軟件ANSYS對具有相同矢跨比、跨徑的理想狀態(tài)圓弧拱進(jìn)行數(shù)值模擬分析。采用平面梁單元beam3進(jìn)行模擬，共建立100個單元，拱兩端邊界條件為固接，如圖6所示。

圖6 拱有限元模型Fig.6 Finite element model of arch

3 討論與分析

3.1 荷載位移曲線

以1/5矢跨比的圓弧拱的荷載-位移曲線為例，說明兩端固接的圓弧拱的失穩(wěn)過程。如圖7所示，拱頂豎向集中力從零開始，拱頂豎向位移與荷載曲線沿著穩(wěn)定平衡路徑0A逐漸上升，到達(dá)上極值點(diǎn)A時，拱結(jié)構(gòu)發(fā)生前屈曲失穩(wěn)；若繼續(xù)施加拱頂豎向位移，拱頂集中力將沿著非穩(wěn)定平衡路徑AB逐漸減少，此時拱失去了承載能力；當(dāng)?shù)竭_(dá)下極值點(diǎn)B時，拱發(fā)生后屈曲失穩(wěn)；若繼續(xù)增加拱頂豎向位移，則拱頂集中力又繼續(xù)沿穩(wěn)定平衡路徑BC逐漸增大，拱重新恢復(fù)了承載能力。平衡曲線的上下兩個極值點(diǎn)A和B對應(yīng)的荷載即為前屈曲和后屈曲失穩(wěn)臨界荷載。

圖7 1/5矢跨比的圓弧拱拱頂荷載-位移曲線Fig.7 Loading-displacement curvels on the crown of circular arch with 1/5 rise-span ratio

圖8為1/5～1/8矢跨比的圓弧拱拱頂豎向位移-荷載曲線，涉及FEM計算值與實測數(shù)據(jù)兩組曲線。從圖8中的(a)～(d)可知， FEM數(shù)值模擬和實驗測試結(jié)果，拱的前屈曲和后屈曲失穩(wěn)極值點(diǎn)均是隨著矢跨比的減小而降低；同時，實測上極值點(diǎn)均位于理想FEM計算極值點(diǎn)下方。實測曲線的上極值點(diǎn)均略低于理想FEM數(shù)值模擬結(jié)果，說明初始幾何缺陷對拱的承載能力影響較大，降低了其承載能力。

圖8 不同矢跨比的圓弧拱拱頂荷-載位移曲線Fig.8 Loading-displacement curvels on the crown of circular arches with different rise-span ratio

圖9為不同矢跨比的圓弧拱的失穩(wěn)臨界荷載。由圖9可知，前屈曲失穩(wěn)極值點(diǎn)遠(yuǎn)大于后屈曲失穩(wěn)極值點(diǎn)，且前屈曲失穩(wěn)極值點(diǎn)為后屈曲極值點(diǎn)的2～2.5倍。

圖9 不同矢跨比的圓弧拱的失穩(wěn)臨界荷載Fig.9 Instability critical load of circular arch with different rise-span ratio

3.2 失穩(wěn)模態(tài)

通過對拱軸線17個Mark點(diǎn)的實時觀測，可跟蹤整個加載過程中拱的變形形態(tài)，準(zhǔn)確捕捉到拱的前屈曲和后屈曲失穩(wěn)模態(tài)。如圖10-13所示，經(jīng)過多組實驗對比發(fā)現(xiàn)，不同矢跨比、不同初始幾何缺陷拱的屈曲失穩(wěn)模態(tài)均有不同，但總體上均呈馬鞍形。

圖10 1/5矢跨比圓弧拱屈曲失穩(wěn)模態(tài)Fig.10 The buckling mode of circular arch with 1/5 rise-span ratio

圖11 1/6矢跨比圓弧拱屈曲失穩(wěn)模態(tài)Fig.11 The buckling mode of circular arch with 1/6 rise-span ratio

圖12 1/7矢跨比圓弧拱屈曲失穩(wěn)模態(tài)Fig.12 The buckling mode o of circular arch with 1/7 rise-span ratio

圖13 1/8矢跨比圓弧拱屈曲失穩(wěn)模態(tài)Fig.13 The buckling mode of circular arch with 1/8 rise-span ratio

對比實測數(shù)據(jù)和FEM數(shù)值計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，計算結(jié)果與實驗測試結(jié)果有一定差異。對于前屈曲失穩(wěn)模態(tài)，理想的FEM數(shù)值計算結(jié)果均為正對稱曲線，而實測結(jié)果并非嚴(yán)格對稱；特別地，1/6矢跨比的圓弧拱的實測失穩(wěn)模態(tài)呈現(xiàn)反對稱的趨勢。這主要是因為拱的初始幾何缺陷和拱頂集中力加載點(diǎn)與理論對稱點(diǎn)略有偏差所致。對于后屈曲失穩(wěn)模態(tài)，理想FEM數(shù)值計算結(jié)果與實測值基本吻合，曲線變化趨勢基本一致，均呈對稱變形狀態(tài)，說明拱的初始幾何缺陷對后屈曲失穩(wěn)模態(tài)的影響較小。

4 結(jié) 論

本文對圓弧拱加載全過程的力-位移曲線及失穩(wěn)模態(tài)進(jìn)行了實時測量，跟蹤了加載全過程中圓弧拱的變形情況和失穩(wěn)模態(tài)，獲得了拱的失穩(wěn)平衡路徑，獲得了缺陷圓弧拱的失穩(wěn)上極值點(diǎn)和下極值點(diǎn)，揭示了初始幾何缺陷對拱極值點(diǎn)以及屈曲失穩(wěn)模態(tài)的影響。主要結(jié)論如下：

1)本文自行設(shè)計的位移控制加載裝置，可實現(xiàn)圓弧拱由非線性平衡狀態(tài)到非平衡狀態(tài)的全過程加載。

2)拱結(jié)構(gòu)前屈曲和后屈曲極值點(diǎn)均是隨著矢跨比的減小而降低，并且前屈曲失穩(wěn)極值點(diǎn)遠(yuǎn)大于后屈曲失穩(wěn)極值點(diǎn)；前屈曲失穩(wěn)極值點(diǎn)對拱的初始幾何缺陷比較敏感，初始幾何缺陷會降低拱的承載能力。

3)初始幾何缺陷對拱的前屈曲失穩(wěn)模態(tài)的影響大于后屈曲失穩(wěn)模態(tài)。

參考文獻(xiàn)：

[1] BRADFORD M A, UY B, PI Y L. In-plane elastic stability of arches under a central concentrated load[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2002, 128(7):710-719.

[2] LIU A R，HUANG Y H，YU Q C，et al. An analytical solution for lateral buckling critical load calculation of leaning-type arch bridge[J]. Mathematical Problems in Engineering, 2015, 2014(3):1-14.

[3] LIU A R，HUANG Y H，F(xiàn)U J Y，et al. Experimental research on stable ultimate bearing capacity of learning-type arch rib systems[J]. Journal of Constructional Steel Research, 2015, 114: 281-292.

[4] LIU A R，LU H W，F(xiàn)U J Y，et al. Analytical and experimental studies on out-of-plane dynamic instability of shallow circular arch based on parametric resonance[J]. Nonlinear Dynamics, 2017, 87:677-694.

[5] 李康杰,劉愛榮,盧漢文,等.圓弧淺拱面外動力穩(wěn)定性實驗研究[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2015,54(3):30-35.

LI Kangjie, LIU Airong, LU Hanwen, et al. Experimental study on out-of-plane dynamic stability of circular shallow arch[J]. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni, 2016, 54(3):30-35.

[6] 顏全勝, 駱寧安, 韓大建,等. 大跨度拱橋的非線性與穩(wěn)定分析[J]. 華南理工大學(xué)學(xué)報, 2000, 28(6) : 64-68.

YAN Quansheng, LUO Ningan, HAN Dajian, et al. Nonlinearity and stability analysis for a long-span arch bridge [J]. Journal of South China University of Technology, 2000, 28(6) : 64-68.

[7] 程進(jìn),江見鯨,肖汝誠,等. 大跨度拱橋極限承載力的參數(shù)研究[J]. 中國公路學(xué)報,2003,16(2): 45-47.

CHEN Jin, JIANG Jianjing, XIAO Rucheng, et al. Parametric study of ultimate capacity of long-span arch bridges [J]. China Journal of Highway and Transport, 2003,16(2): 45-47.

[8] 謝旭,李輝,黃劍源. 大跨度兩鉸鋼拱橋面內(nèi)穩(wěn)定分析[J]. 土木工程學(xué)報,2004,37(8): 43-49.

XIE Xu, LI Hui, HUANG Jianyuan, Study on in-plane stability of long-span two-hinged steel arch bridges[J]. China Civil Engineering Journal, 2004,37(8): 43-49.

[9] 戴云峰. 具有任意初始幾何缺陷的圓弧拱彈性穩(wěn)定分析研究[D]. 哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2004:1-5.

DAI Yunfeng. Study on elastic stability analysis of circular arcs with arbitrary initial geometric imperfections[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2004:1-5.

[10] 易壯鵬. 幾何缺陷對拱結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響[D]. 長沙：湖南大學(xué), 2007.

YI Zhuangpeng. The effect of geometric defects on the mechanical properties of arch structures[D]. Changsha: Hunan University, 2007.

[11] ZHAO S Y，GUO Y L，DOU C. Geometric imperfection effects on out-of-plane inelastic buckling loads of lateral braced arches [C]//Pacific Structural Steel Conference Beijing: China Building Materials Press, 2013:181-186.

[12] PAPANGELIS J P，TRAHAIR N S. Flexural-torsional buckling of arches [J]. J Struct Eng, 1986, 112(11): 2494-2511.

[13] PAPANGELIS J P，TRAHAIR N S. Flexural-torsional buckling test on arches [J]. J of Struct Eng, 1987, 113(4): 889-906.

[14] GUO Y L，ZHAO S Y，PI Y L，et al. An experimental study on out-of-plane inelastic buckling strength of fixed steel arches[J]. Engineering Structures, 2015, 98:118-127.

[15] LA POUTRé D B，SPOORENBERG R C，SNIJDER H H，et al. Out-of-plane stability of roller bent steel arches-an experimental investigation[J]. Journal of Constructional Steel Research, 2013, 81:20-34.

[16] 劉愛榮,李晶,黃永輝. 拱的靜動力穩(wěn)定性研究進(jìn)展[J]. 廣州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2016,15(5):1-12.

LIU Airong, LI Jing, HUANG Yonghui. Research progress on static and dynamic stability of arches[J]. Journal of Guangzhou University(Natural Science Edition) , 2016,15(5):1-12.

[17] LIU A R，LU H W，F(xiàn)U J Y，et al. Lateral-torsional buckling of fixed circular arches having a thin-walled section under a central concentrated load[J]. Thin-Walled Structures, 2017, 118:46-55.