湯 偉，胡祥滿, b

(陜西科技大學(xué) a.工業(yè)自動(dòng)化研究所；b.機(jī)電工程學(xué)院，西安 710021)

0 引言

PID控制器因?yàn)槠浣Y(jié)構(gòu)簡單、易設(shè)計(jì)和操作、成本低、良好的性能和穩(wěn)定性[1-2]，控制規(guī)律簡單，魯棒性好，可靠性高，適用范圍廣等優(yōu)點(diǎn)[3]，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)自動(dòng)化領(lǐng)域，并成為工業(yè)過程控制中最廣泛的控制策略之一。PID控制器的設(shè)計(jì)和整定即確定其KP、Ti、Td三個(gè)參數(shù)，它直接影響控制效果的優(yōu)劣，以及系統(tǒng)運(yùn)行的安全性、經(jīng)濟(jì)性，故PID參數(shù)的優(yōu)化與整定至今仍是熱門話題。一些傳統(tǒng)常規(guī)的PID參數(shù)整定方法早已被提出[4]，最典型的如Ziegler-Nichols法和Cohen-Coon法，還有經(jīng)驗(yàn)整定法、臨界比例度法、衰減曲線法[5]、梯度法及單純形法[6]等。但這些傳統(tǒng)常規(guī)方法的局限性在于，通常很難確定PID控制器的最優(yōu)參數(shù)[7]，且整定過程繁瑣并帶有相當(dāng)?shù)慕?jīng)驗(yàn)因素，而運(yùn)用現(xiàn)代控制理論進(jìn)行分析、綜合需耗費(fèi)很大的代價(jià)進(jìn)行模型辨識(shí)[8]。因此隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和智能控制理論的發(fā)展，利用計(jì)算機(jī)技術(shù)和智能算法進(jìn)行PID參數(shù)的整定優(yōu)化是一種有效的新思想，例如遺傳算法(GA)、粒子群優(yōu)化(PSO)、蟻群優(yōu)化(ACO)[7]等。

模擬退火算法(Simulated Annealing Algorithm，SAA)是一種做隨機(jī)搜索的智能全局優(yōu)化算法，具有較強(qiáng)的收斂性和魯棒性及全局尋優(yōu)能力，特別適宜組合優(yōu)化問題的求解。本文提出基于SAA的PID優(yōu)化方法，針對(duì)工業(yè)過程中各類常見系統(tǒng)探討該方法的可行性，在各綜合性能指標(biāo)下分析了多個(gè)目標(biāo)優(yōu)化間的差異性，通過仿真比較驗(yàn)證該方法的優(yōu)越性，為PID整定提供一種新的優(yōu)化方法并為實(shí)踐應(yīng)用提供一定的參考和借鑒。

1 模擬退火算法

SA算法思想利用了實(shí)際物理退火的熱力學(xué)過程中熔融固體粒子的統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)規(guī)律與數(shù)學(xué)上求解復(fù)雜組合優(yōu)化問題的類似性[9]。其實(shí)現(xiàn)全局最優(yōu)化的關(guān)鍵是據(jù)金屬內(nèi)部粒子的狀態(tài)選擇規(guī)律提出的Metropolis準(zhǔn)則，將實(shí)際問題的目標(biāo)函數(shù)作為能量函數(shù)，解空間對(duì)應(yīng)于狀態(tài)空間，優(yōu)化時(shí)從隨機(jī)初始化解開始，在當(dāng)前解鄰域內(nèi)隨機(jī)搜索產(chǎn)生新解，并據(jù)Metropolis準(zhǔn)則接受更優(yōu)解[10]；沿優(yōu)化方向，以此反復(fù)更優(yōu)迭代，從而找到全局最優(yōu)解。算法以概率1接受優(yōu)解同時(shí)又以一定概率接受劣解，即可控概率突跳特性[11]，故跳出局部最優(yōu)的能力強(qiáng)，理論上算法能以概率1收斂到全局最優(yōu)解。其優(yōu)化過程描述如下：

Step1:初始化:給定初始溫度Tk(k=0)，隨機(jī)初始化解x0，退火系數(shù)λ，終止溫度等條件。

Step2:在溫度Tk下，在當(dāng)前優(yōu)解x的鄰域內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生新解x′；計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值f(x)、f(x′)及Δf，據(jù)Metropolis準(zhǔn)則判斷是否接受x′作為當(dāng)前優(yōu)解x。

Step3:判斷在溫度Tk下是否滿足平衡要求或到達(dá)規(guī)定迭代次數(shù)，若滿足要求轉(zhuǎn)到Step4，否則返回Step2。

Step4:退溫操作，令k=k+1，Tk+1=λTk。

Step5:判斷是否滿足終止條件，若滿足輸出優(yōu)化結(jié)果并結(jié)束算法，否則返回Step2。

2 基于模擬退火算法的PID參數(shù)優(yōu)化

2.1 選取目標(biāo)函數(shù)

運(yùn)用SAA優(yōu)化PID參數(shù)需要一個(gè)能攜帶控制器Kp、Ti、Td三個(gè)參數(shù)的優(yōu)劣信息的目標(biāo)函數(shù)，而PID參數(shù)直接影響控制系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)性能，則理想的目標(biāo)函數(shù)希望能夠反映控制系統(tǒng)性能或作為控制系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。但通?？刂葡到y(tǒng)響應(yīng)性能由多個(gè)指標(biāo)評(píng)價(jià)，故期望采用一個(gè)綜合性能指標(biāo)，常見的綜合性能指標(biāo)是基于系統(tǒng)輸出與參考輸入信號(hào)間的時(shí)域偏差積分性能指標(biāo)，如式(1)～(4)所示4種，能反映在當(dāng)前PID參數(shù)控制下，系統(tǒng)偏差e(t)與時(shí)間t之間的關(guān)系。

①時(shí)間絕對(duì)偏差乘積分(ITAE)

(1)

②時(shí)間偏差平方乘積分(ITSE)

(2)

③絕對(duì)偏差積分(IAE)

(3)

④平方偏差積分(ISE)

(4)

因此，分別選擇上述四種指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)，且為易于計(jì)算機(jī)程序的實(shí)現(xiàn)，將上述4個(gè)時(shí)域連續(xù)指標(biāo)分別進(jìn)行如式(5)～式(8)的離散化近似：

(5)

(6)

(7)

(8)

即，取足夠大的積分上限時(shí)間T，使得T=RΔt，R∈N+，得到離散時(shí)間數(shù)組t(i)，i=1，2，3…R；則每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)系統(tǒng)偏差e(i)，只要Δt取得足夠小，4種指標(biāo)就可分別近似為式(8)～式(11)。

2.2 優(yōu)化思想

PID參數(shù)優(yōu)化問題實(shí)際上是控制器的三個(gè)參數(shù)Kp、Ti、Td的一個(gè)組合優(yōu)化問題，運(yùn)用SAA優(yōu)化PID參數(shù)就是利用其做隨機(jī)搜索、強(qiáng)的全局優(yōu)化能力、較好的收斂性和魯棒性、適宜于組合優(yōu)化問題求解等特性在經(jīng)驗(yàn)范圍內(nèi)尋求一組使得控制系統(tǒng)性能最優(yōu)的Kp、Ti、Td參數(shù)。圖1為工業(yè)過程控制原理圖，優(yōu)化原理如圖2所示，先將算法產(chǎn)生的參數(shù)賦給控制器，對(duì)給定輸入的系統(tǒng)進(jìn)行控制，算法據(jù)系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)與設(shè)定值的偏差e(t)，按上述離散化近似對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行性能評(píng)價(jià)，則前述4種性能指標(biāo)實(shí)際上就是關(guān)于控制器參數(shù)Kp、Ti、Td的三元函數(shù)，作為目標(biāo)函數(shù)反映了當(dāng)前控制器參數(shù)的優(yōu)劣，算法據(jù)此接受更優(yōu)參數(shù)，不斷重復(fù)此工作，直到在給定的參數(shù)空間內(nèi)求得最優(yōu)的一組控制器參數(shù)。

圖1 工業(yè)過程控制系統(tǒng)框圖

圖2 SAA優(yōu)化PID參數(shù)原理

2.3 優(yōu)化流程

圖3是SAA優(yōu)化PID參數(shù)的流程框圖，簡單描述如下：

Step1:初始化:給定初始溫度Tk(k=0)，隨機(jī)初始化一組參數(shù)X0，確定退火系數(shù)λ，終止條件等。

Step2:在溫度Tk下，在當(dāng)前較優(yōu)的一組參數(shù)X的鄰域內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生新的一組參數(shù)X′；將參數(shù)賦給控制器并運(yùn)行控制系統(tǒng)，評(píng)價(jià)前后系統(tǒng)性能指標(biāo)，即計(jì)算前后目標(biāo)函數(shù)值f及Δf，據(jù)Metropolis準(zhǔn)則判斷是否接受X′作為當(dāng)前較優(yōu)的一組參數(shù)X。

Step3:判斷在溫度Tk下是否滿足平衡要求或到達(dá)規(guī)定迭代次數(shù)，若滿足要求轉(zhuǎn)到Step4，否則返回Step2。

Step4:退溫操作，令k=k+1，Tk+1=λTk。

Step5:判斷是否滿足終止條件，若滿足輸出最優(yōu)一組Kp、Ti、Td，并結(jié)束算法，否則返回Step2。

2.4 ISTE最優(yōu)化設(shè)定方法

為驗(yàn)證利用SAA優(yōu)化PID參數(shù)在理論上的有效性和優(yōu)越性，針對(duì)工業(yè)過程常見的廣義過程模型進(jìn)行仿真研究，并與常規(guī)整定方法如Z-N法、C-C法及ISTE最優(yōu)化設(shè)定方法進(jìn)行比較。現(xiàn)簡單介紹ISTE最優(yōu)化設(shè)定方法，對(duì)于Z-N法和C-C法最為熟悉和常見，此處不做介紹。

基于ISTE準(zhǔn)則的PID控制器參數(shù)最優(yōu)設(shè)定方法，是一種簡單實(shí)用，計(jì)算量小的PID參數(shù)整定方法，是由莊敏霞與Atherton針對(duì)各種指標(biāo)函數(shù)得出的最優(yōu)PID參數(shù)整定方法，給出了式(9)最優(yōu)指標(biāo)通式[12]：

(9)

其中，e(θ，t)為進(jìn)入PID控制器的誤差信號(hào)；θ為PID控制器三個(gè)參數(shù)構(gòu)成的集合。

根據(jù)設(shè)定點(diǎn)信號(hào)的最優(yōu)自整定算法，針對(duì)上述給出的最優(yōu)指標(biāo)通式，考慮以下三種情況：n= 0，簡記為ISE(Integral Squared Error)準(zhǔn)則；n= 1，簡記為ISTE準(zhǔn)則；n= 2，簡記為IST2E準(zhǔn)則。如果已知被控過程的系統(tǒng)模型為一節(jié)慣性和純滯后環(huán)節(jié)，即：

(10)

則這種整定方法，對(duì)典型PID結(jié)構(gòu)的控制參數(shù)可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式(11)最優(yōu)確定：

圖3 SAA優(yōu)化PID參數(shù)流程圖

(11)

式中的參數(shù)a1、a2、a3、b1、b2、b3可以根據(jù)L/T的范圍確定，對(duì)應(yīng)的參數(shù)規(guī)則表如表1所示。

表1 ISTE最優(yōu)設(shè)定點(diǎn)參數(shù)表

3 優(yōu)化結(jié)果與仿真分析

3.1 不同系統(tǒng)模型和指標(biāo)下的優(yōu)化結(jié)果分析

工業(yè)過程系統(tǒng)根據(jù)其廣義過程模型來看，常見的有無時(shí)過程滯系統(tǒng)、小時(shí)滯過程系統(tǒng)、大時(shí)滯過程系統(tǒng)及高階過程系統(tǒng)。本文選取無時(shí)滯過程模型(12)、小時(shí)滯過程模型(13)、大時(shí)滯過程模型(14)及高階系統(tǒng)模型(15)，運(yùn)用模擬退火算法分別在ITAE、ITSE、IAE、ISE四種系統(tǒng)綜合性能指標(biāo)下進(jìn)行了基于模型的PID參數(shù)優(yōu)化仿真。

(12)

(13)

(14)

(15)

優(yōu)化仿真中算法各參數(shù)設(shè)定：初始溫度T_start =100，退火系數(shù)λ=0.99，終止溫度T_end =0.01，溫度Tk下最大迭代次數(shù)M=1000。仿真基于MATLAB的.m文件和Simulink平臺(tái)進(jìn)行，由于SAA做隨機(jī)搜索，雖理論上以概率1收斂于全局最優(yōu)解，但實(shí)際上最終的優(yōu)化結(jié)果收斂于理論全局最優(yōu)解的鄰域內(nèi)，換言之多次重復(fù)操作優(yōu)化任務(wù)，其結(jié)果也存在一定的差異性。表2中給出的是各優(yōu)化對(duì)象在各指標(biāo)下分別進(jìn)行5次優(yōu)化操作后取其優(yōu)化結(jié)果的均值。

從表2可知，不同系統(tǒng)采用不同的性能指標(biāo)其優(yōu)化結(jié)果有差異，則控制系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)性能也有所差異，為能更清晰地看出各參數(shù)的優(yōu)化結(jié)果對(duì)系統(tǒng)的作用效果，圖4給出了同一對(duì)象分別采用不同指標(biāo)優(yōu)化后控制系統(tǒng)的階躍時(shí)域響應(yīng)曲線，圖5給出了在同一指標(biāo)下各系統(tǒng)的階躍時(shí)域響應(yīng)曲線。

表2 不同性能指標(biāo)下各優(yōu)化對(duì)象的優(yōu)化結(jié)果

續(xù)表

從圖4或圖5中各系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)效果來看，4種系統(tǒng)在不同的性能指標(biāo)下運(yùn)用SAA優(yōu)化PID參數(shù)，其可行性和有效性顯然。整體上看運(yùn)用SAA優(yōu)化，系統(tǒng)的響應(yīng)速度較快，尤其是無時(shí)滯過程和小時(shí)滯過程效果更為明顯，系統(tǒng)調(diào)整時(shí)間較短，基本上在25s內(nèi)系統(tǒng)可以穩(wěn)定，但會(huì)有一定的超調(diào)，采用IAE和ISE指標(biāo)其超調(diào)要稍稍偏大，對(duì)于高階系統(tǒng)稍大于20%，采用ITAE指標(biāo)效果明顯較好。而對(duì)于大時(shí)滯過程受干擾的影響要較明顯，這也是因?yàn)榇髸r(shí)滯過程運(yùn)用單純的PID控制效果本身不太理想，故在實(shí)踐上運(yùn)用SAA可結(jié)合Smith預(yù)估器和前饋反饋控制。

不同過程系統(tǒng)采用不同的性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化其控制效果有所差異，同理對(duì)于不同的性能指標(biāo)，對(duì)動(dòng)態(tài)過渡過程的要求側(cè)重點(diǎn)不同，所適宜的對(duì)象也就不同。IAE和ISE主要抑制過渡過程中的粗大誤差，而ITAE和ITSE則側(cè)重于抑制過渡過程過于漫長，且ITSE兼顧抑制過渡過程的粗大誤差，故ITAE和ITSE對(duì)系統(tǒng)的綜合性體現(xiàn)要較強(qiáng)。從圖5也可看出，就4個(gè)不同指標(biāo)而言運(yùn)用SAA優(yōu)化，ITAE對(duì)不同系統(tǒng)的適應(yīng)性要強(qiáng)，ITAE和ITSE的整體效果要較好，且各系統(tǒng)超調(diào)和調(diào)整時(shí)間明顯較?。粚?duì)于無時(shí)滯和小時(shí)滯過程各性能指標(biāo)均能有較好的效果；但對(duì)于大時(shí)滯和高階過程效果要較差些，系統(tǒng)超調(diào)和調(diào)整時(shí)間較大，尤其是采用IAE和ISE指標(biāo)。由此也可知，對(duì)于不同的過程系統(tǒng)，運(yùn)用智能算法優(yōu)化控制器參數(shù)，合理的選擇上述指標(biāo)或其他評(píng)價(jià)指標(biāo)作為算法目標(biāo)函數(shù)，對(duì)優(yōu)化效果也有直接的影響。圖6給出了優(yōu)化仿真中，各優(yōu)化對(duì)象分別在不同的性能指標(biāo)下，其參數(shù)Kp、Ti、Td隨退溫過程參數(shù)T的動(dòng)態(tài)變化過程。從圖6可知，優(yōu)化過程中各參數(shù)隨溫度T的動(dòng)態(tài)變化過程曲線成階梯型且不斷地突跳，說明優(yōu)化過程中各參數(shù)在不斷進(jìn)行優(yōu)劣更替，每個(gè)平臺(tái)對(duì)應(yīng)的參數(shù)表示在退溫過程中保持了當(dāng)前最優(yōu)，沿溫度負(fù)梯度方向，每一次突跳表示跳出當(dāng)前局部最優(yōu)，新平臺(tái)對(duì)應(yīng)的參數(shù)優(yōu)于前一個(gè)平臺(tái)，從而理論上在退溫結(jié)束時(shí)找到全局最優(yōu)參數(shù)。也如圖6所示，在高溫階段各參數(shù)動(dòng)態(tài)變化過程曲線變化頻繁，平臺(tái)跨域窄，突跳頻率高，沿溫降方向反向發(fā)展，這說明在優(yōu)化進(jìn)程中，前期算法做廣域搜索，搜索范圍大，參數(shù)優(yōu)劣更替快，后期逐漸接近最優(yōu)解的鄰域，搜索范圍小，突跳幅度小，參數(shù)的優(yōu)越性和精度高，最終收斂于最優(yōu)參數(shù)。三個(gè)參數(shù)的這一收斂特性完全與SAA理論思想契合，也從另一方面說明了運(yùn)用SAA優(yōu)化PID參數(shù)這一方法的可行性和有效性。

(a) Non-Time Delay System (b) Small-Time Delay System

(c) Long-Time Delay System (d) High-Order System圖4 各系統(tǒng)在不同性能指標(biāo)下的階躍響應(yīng)曲線

(a) ITAE (b) ITSE

(c) IAE (d) ISE圖5 各系統(tǒng)在同一性能指標(biāo)下的階躍響應(yīng)曲

3.2 不同方法比較分析

為驗(yàn)證本文方法在整體效果上的優(yōu)越性，依然以式(13)為研究對(duì)象，將本文方法在ITAE指標(biāo)下的優(yōu)化結(jié)果，與分別采用Z-N法、C-C法、ISTE最優(yōu)設(shè)定法這三種常規(guī)方法所得結(jié)果相比較。4種方法的控制器參數(shù)及系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能參數(shù)見表3，圖7是4種方法下系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線與隨機(jī)干擾仿真曲線。

結(jié)合圖7a和表3中系統(tǒng)超調(diào)量δ、調(diào)節(jié)時(shí)間ts、上升時(shí)間tr、振蕩次數(shù)N、擾動(dòng)調(diào)節(jié)時(shí)間tv等可看出，Z-N法和C-C雖響應(yīng)速度快和有相對(duì)較短的擾動(dòng)調(diào)節(jié)時(shí)間，但出現(xiàn)極大的超調(diào)和強(qiáng)烈波動(dòng)，系統(tǒng)過度不平穩(wěn)；ISTE最優(yōu)設(shè)定法控制效果雖明顯優(yōu)于Z-N及C-C法，但調(diào)節(jié)時(shí)間和擾動(dòng)調(diào)節(jié)時(shí)間卻最長且波動(dòng)；而SAA優(yōu)化方法基本上能夠兼顧三者的優(yōu)點(diǎn)，且系統(tǒng)超調(diào)量很小，響應(yīng)速度較快，調(diào)節(jié)時(shí)間較短，過度平穩(wěn)，具有較好的控制效果。從圖7b也可看出當(dāng)系統(tǒng)有隨機(jī)干擾時(shí)，采用SAA優(yōu)化的結(jié)果也明顯優(yōu)于其他三種方法，說明系統(tǒng)抗干擾的整體效果較好，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

再考慮系統(tǒng)模型失配的情形，現(xiàn)假設(shè)式(13)的模型參數(shù)有所攝動(dòng)，圖8是模型攝動(dòng)失配后4種方法的系統(tǒng)響應(yīng)曲線和隨機(jī)干擾曲線。圖8a說明在模型失配下，SAA優(yōu)化方法仍能保持較好的控制效果，雖出現(xiàn)小的波動(dòng)但過度依然較平穩(wěn)；效果次之的是ISTE最優(yōu)設(shè)定和Z-N法；效果最差的是C-C法，系統(tǒng)開始出現(xiàn)強(qiáng)烈衰減振蕩。圖8b顯示在模型失配時(shí)，系統(tǒng)在隨機(jī)干擾下的效果相對(duì)于未失配時(shí)明顯要差，但SAA優(yōu)化方法相對(duì)另三種方法而言效果依然較好。這說明采用SAA優(yōu)化方法相對(duì)于常規(guī)PID整定方法，使得系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)性能和較強(qiáng)的魯棒性。進(jìn)而也證明采用SAA優(yōu)化PID參數(shù)這一方法的可行性和有效性，且相對(duì)于常規(guī)方法具有顯著的優(yōu)越性。

(a) 無時(shí)滯系統(tǒng)ITAE (b) 無時(shí)滯系統(tǒng)ITSE

(c) 無時(shí)滯系統(tǒng)IAE (d) 無時(shí)滯系統(tǒng)ISE

(e) 小時(shí)滯系統(tǒng)ITAE (f) 小時(shí)滯系統(tǒng)ITSE

(g) 小時(shí)滯系統(tǒng)IAE (h) 小時(shí)滯系統(tǒng)ISE

(i) 大時(shí)滯系統(tǒng)ITAE (j) 大時(shí)滯系統(tǒng)ITSE

(k) 大時(shí)滯系統(tǒng)IAE (l) 大時(shí)滯系統(tǒng)ISE

(m) 高階系統(tǒng)ITAE (n) 高階系統(tǒng)ITSE

(o) 高階系統(tǒng)IAE (p) 高階系統(tǒng)ISE圖6 各系統(tǒng)在不同性能指標(biāo)下控制器參數(shù)隨溫度T的收斂趨勢(shì)

表3 4種方法系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能參數(shù)比較

(a) 系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線 (b) 隨機(jī)干擾仿真曲線圖7 系統(tǒng)階躍響應(yīng)與隨機(jī)干擾仿真曲線

(a) 系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線 (b) 隨機(jī)干擾仿真曲線圖8 模型失配下系統(tǒng)階躍響應(yīng)與隨機(jī)干擾仿真曲線

4 結(jié)論

本文利用模擬退火算法，在不同的綜合性能指標(biāo)下分別針對(duì)不同工業(yè)過程對(duì)PID參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，并與傳統(tǒng)常規(guī)的方法比較分析，結(jié)果表明該優(yōu)化方法的有效可行與優(yōu)越性。仿真過程也表明不同的性能指標(biāo)對(duì)優(yōu)化結(jié)果和系統(tǒng)性能會(huì)有一定的影響，故在實(shí)踐應(yīng)用中應(yīng)據(jù)實(shí)際要求合理選擇；也發(fā)現(xiàn)此方法存在計(jì)算量大的弱點(diǎn)，追求優(yōu)化精度和系統(tǒng)性能質(zhì)量會(huì)與算法的計(jì)算量和優(yōu)化效率存在矛盾，因此本方法有很大的改進(jìn)空間，與其他智能優(yōu)化算法結(jié)合并用于PID參數(shù)優(yōu)化是一個(gè)較好的思路。

[參考文獻(xiàn)]

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