張 馳，朱為國，洪榮晶，阮 瀟

(1.南京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與動力工程學(xué)院，南京 210009; 2.淮陰工學(xué)院 機(jī)械與材料工程學(xué)院，江蘇 淮安 223001)

0 引言

隨著機(jī)械加工向高速精密的方向發(fā)展，對機(jī)床的動力學(xué)特性有了越來越高的要求。尤其對于高速加工如果振動頻率與機(jī)床的固有頻率相近，將使機(jī)床發(fā)生共振嚴(yán)重影響加工的精度，甚至?xí)p壞加工的刀具。所以在實際生產(chǎn)中要避免這種情況的發(fā)生。在機(jī)床用于實際加工之前對機(jī)床進(jìn)行振動測試是了解機(jī)床動力學(xué)特性的重要一步。

對于并聯(lián)機(jī)床的動力學(xué)特性分析是眾多研究者研究的方向之一。韓清凱等[1]在論文“六桿并聯(lián)機(jī)器人模態(tài)實驗與動力學(xué)特性分析”中以并聯(lián)機(jī)床在低速小幅運(yùn)動到某位姿附近時可以以線性的方式處理。并以此進(jìn)行了并聯(lián)機(jī)床的模態(tài)分析，得到了較好的結(jié)果，但是僅僅做了試驗?zāi)B(tài)分析。試驗?zāi)B(tài)分析雖然可以準(zhǔn)確的反映并聯(lián)機(jī)床在典型位姿下的某些動態(tài)特性，但對于機(jī)床整體動態(tài)特性的反映不足。韓春勝等[2]在用有限元分析的方法對6-PUS并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行動態(tài)特性分析得到了機(jī)床的整機(jī)動態(tài)特性，但只是做了有限元分析，結(jié)果的精確度有待思考。范培卿等[3]使用試驗?zāi)B(tài)分析的方法對并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行了模態(tài)分析及靈敏度的分析，利用靈敏度分析的方法得到了固有頻率對節(jié)點質(zhì)量和節(jié)點剛度的值，并依據(jù)得到的數(shù)值給出了改善機(jī)床振型的方法，但對于這些方法并沒有經(jīng)過試驗的驗證。由于試驗的誤差在試驗得到結(jié)果之后應(yīng)該依據(jù)試驗的結(jié)果應(yīng)用有限元分析技術(shù)對提出的方案進(jìn)行模擬驗證，以增加方案的可信度。以前的研究者[4-9]主要使用試驗分析或有限元分析對機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，得到的數(shù)據(jù)雖然可以在一定程度上可以反映結(jié)構(gòu)的固有特性，但是反映的不夠全面。如果可以用有限元與試驗相結(jié)合的方法，則可反映并聯(lián)機(jī)床的整體振動特性。

本文是應(yīng)用試驗分析技術(shù)和有限元分析技術(shù)相結(jié)合的方法。首先對并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行試驗分析，應(yīng)用功率譜分析的方法對時域信號進(jìn)行分析，初步得到信號的頻率成分。再應(yīng)用試驗?zāi)B(tài)分析技術(shù)對并聯(lián)機(jī)床在典型位姿的模態(tài)進(jìn)行分析。最后應(yīng)用有限元分析技術(shù)對機(jī)床進(jìn)行仿真分析得到模態(tài)數(shù)據(jù)。結(jié)合有限元軟件中的響應(yīng)面分析方法，找到機(jī)床的固有頻率對哪些參數(shù)的靈敏度值較大，并依據(jù)這些靈敏度值得到有限元模型的修改方向，以使得有限元模型與實際的模型更加符合。用試驗分析與有限元分析結(jié)合的方法可以更好的實現(xiàn)對并聯(lián)機(jī)床整體特性的了解，并為并聯(lián)機(jī)床的動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計提供必要的數(shù)據(jù)支持。

1 并聯(lián)機(jī)床的振動測試分析

1.1 并聯(lián)機(jī)床振動信號的功率譜分析

根據(jù)謝里陽等[10]在書中提到信號的時域反映了信號幅值隨時間的變化特征。而頻域分析是把時間域的各種動態(tài)信號通過傅里葉變換轉(zhuǎn)換到頻域進(jìn)行分析，描述反映了信號的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值大小。時域與頻域所描述的信號是等價的。信號的自相關(guān)函數(shù)與信號的自功率譜在數(shù)值變換上是對應(yīng)的。根據(jù)石莉等[9]文章中提到的功率譜分析可以得到機(jī)械結(jié)構(gòu)的頻率構(gòu)成，做出功率譜分析。

隨機(jī)信號x(t)的自功率譜是該信號的自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)的傅里葉變換，記作Sx(f)。

(1)

其逆變換為：

(2)

根據(jù)Paseval定理：在時域信號中的總能量應(yīng)等于信號在頻域信號中的總能量，即：

(3)

所以在整個時間軸上信號的平均功率為：

(4)

通過比較式(3)與式(4)，可得出自功率譜函數(shù)與幅值譜的關(guān)系為[10]：

(5)

通過式(5)可以看出自功率譜Sx(f)與幅值譜X(f)是相似的。但是自功率譜反映的是信號幅值譜的平方。所以在數(shù)值上比幅值譜的值更高也就更加的明顯，本文通過對信號的功率譜分析得到信號在頻域上的特征將比直接對信號進(jìn)行傅里葉變換得到信號在頻域上的特征更加明顯，見圖1～圖3。

首先對機(jī)床進(jìn)行試激勵，得到機(jī)床在2000Hz之下有明顯的峰值，所以設(shè)置采樣頻率為5120Hz，分析頻率為2000Hz。對信號進(jìn)行加窗處理，然后對所有的測試點進(jìn)行激勵并采集信號。

圖1 部分測試點示意圖

圖2 第3測試點的激勵

圖3 第3測試點的響應(yīng)

圖4 第3測試點X方向的功率譜

圖5 第3測試點Y方向的功率譜

圖6 第3測試點Z方向的功率譜

從圖4～圖6中三個方向的功率譜曲線來看，三個方向的特征頻率都集中在50～500Hz之間，雖然Y方向和Z方向有超過500Hz的特征頻率但是對于機(jī)床來說影響它的性能的頻率主要集中在低頻段。所以高頻段可以不予考慮。在進(jìn)行并聯(lián)機(jī)床的模態(tài)測試是應(yīng)該將50～500Hz之間的特征頻率重點關(guān)注。

1.2 并聯(lián)機(jī)床的試驗?zāi)B(tài)測試

模態(tài)是對機(jī)械結(jié)構(gòu)固有振動特性的一種數(shù)學(xué)表達(dá)。試驗?zāi)B(tài)測試是基于激勵與響應(yīng)的動態(tài)測試方法，通過實驗?zāi)B(tài)分析可以很直觀的了解機(jī)床的動力學(xué)特性，并為機(jī)床的動力學(xué)優(yōu)化提供數(shù)據(jù)支持。

根據(jù)韓清凱[1]等在中得出的并聯(lián)機(jī)器人在以低速小幅方式運(yùn)動到某位姿附近時并聯(lián)機(jī)器人可近似為穩(wěn)態(tài)線性系統(tǒng)。其穩(wěn)態(tài)方程為：

(6)

M,C,K,Q分別為當(dāng)前位姿下機(jī)床結(jié)構(gòu)的集中質(zhì)量矩陣，阻尼系數(shù)矩陣，彈性剛度矩陣，廣義力矩陣。q為模態(tài)坐標(biāo)。根據(jù)實際機(jī)床的結(jié)構(gòu)可將方程(6)由模態(tài)坐標(biāo)變換到物理坐標(biāo)。

所以此模態(tài)實驗中將并聯(lián)機(jī)床看作為穩(wěn)態(tài)線性系統(tǒng)。

根據(jù)曹樹謙[11]提到的對于具有粘性阻尼的n自由度系統(tǒng)振動微分方程：

(7)

式中，x為振動位移矩陣，C為粘性阻尼矩陣。在試驗中將阻尼看作為Rayleigh阻尼。

設(shè)系統(tǒng)受到的激勵為簡諧激勵：

f(t)=Fejωt

(8)

則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：

x=Xejωt

(9)

將式(8)及式(9)代入式(7)可得頻響函數(shù)為：

(10)

將物理坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到模態(tài)坐標(biāo)系中，就可以使方程解耦。并得到頻響函數(shù)的模態(tài)展開式為：

(11)

式中，φi為第i階振型。

由式(11)可以寫成脈沖響應(yīng)函數(shù)的頻響函數(shù)展開式為：

(12)

式中，σi為第i階模態(tài)的衰減系數(shù)，ωdi為阻尼固有頻率。式(12)是識別系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的重要公式。

在試驗?zāi)B(tài)分析中測試出某一測試點上所施加的力及響應(yīng)，就可以利用式(11)或式(12)對機(jī)床進(jìn)行模態(tài)參數(shù)的識別。

在本次模態(tài)測試中是使用單點拾振，多點激勵的方式對并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行模態(tài)識別。拾振點設(shè)置在機(jī)床動桿的最低點，激勵位置設(shè)置在桿與動平臺的鉸接位置及各動桿上。在某固定位姿下分別記錄激勵點的值與響應(yīng)點的值。由機(jī)床的振動響應(yīng)信號通過式(12)擬合出機(jī)床的模態(tài)參數(shù)值。

依據(jù)對振動信號的功率譜分析可知信號在2000Hz以下有明顯的峰值，所以設(shè)置采樣頻率為5120Hz，分析頻率為2000Hz。對機(jī)床進(jìn)行力錘激勵，激勵的力要適當(dāng)，過大會激發(fā)出機(jī)床的非線性特性。對激勵進(jìn)行加力窗，對響應(yīng)信號加指數(shù)窗。每一個點平均四次，測試機(jī)床的三個平動方向的模態(tài)參數(shù)。

由于對機(jī)械結(jié)構(gòu)影響較大的固有頻率參數(shù)為低階頻率參數(shù)，所以在本次測試試驗中將僅擬合提取較低的頻率。頻率的提取如表1所示。

表1 試驗測試出的并聯(lián)機(jī)床頻率

通過表1可以看出，模態(tài)分析所得出的固有頻率值與通過功率譜得出的特征頻率值是接近的，所以模態(tài)測試的結(jié)果是可信的。

2 并聯(lián)機(jī)床的有限元分析

2.1 有限元分析過程

由于本次試驗的硬件條件所限制，所以很難測試出并聯(lián)機(jī)床的振動形式，對并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行有限元分析可以更加直觀的顯示對應(yīng)頻率的模態(tài)振型，為并聯(lián)機(jī)床的優(yōu)化提供數(shù)據(jù)支持。根據(jù)韓春勝，孫皆宜[2]提到的并聯(lián)機(jī)床關(guān)節(jié)設(shè)置方案，具體分析過程如下：

(1)對并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行簡化，先用Solid Works對機(jī)床進(jìn)行建模，將不必要的細(xì)節(jié)部位進(jìn)行忽略。

(2)定義材料屬性，本次定義的材料為結(jié)構(gòu)鋼，密度是7850kg/m3，楊氏模量為200GPa，泊松比為0.3。

(3)定義各關(guān)節(jié)，根據(jù)機(jī)床的實際結(jié)構(gòu)將動桿與靜平臺和動平臺的關(guān)節(jié)定義為轉(zhuǎn)動，由于在某一典型位姿下并聯(lián)機(jī)床的電機(jī)都是鎖死的，所以相應(yīng)的關(guān)節(jié)定義為綁定。

(4)利用ANSYS Workbench的自動劃分網(wǎng)格的功能設(shè)置網(wǎng)格的尺寸為40mm，計算并聯(lián)機(jī)床的模態(tài)參數(shù)。在試驗中不設(shè)阻尼，見圖7。由于對機(jī)床影響較大的頻率為機(jī)床的低階模態(tài)，所以在此次分析中將提取前8階模態(tài)。

圖7 有限元模型及劃分網(wǎng)格結(jié)果

2.2 模態(tài)分析結(jié)果

經(jīng)有限元分析之后，提取并聯(lián)機(jī)床前8階模態(tài)，并根據(jù)有效質(zhì)量對應(yīng)試驗?zāi)B(tài)與有限元分析的模態(tài)參數(shù)如表2所示。

表2 有限元分析及試驗分析的頻率

根據(jù)景銀萍[4]等提出的誤差不能超過5%可以發(fā)現(xiàn)，所做的有限元模態(tài)分析中有2階模態(tài)的誤差超過了5%，所以要對有限元模型進(jìn)行修正。

由于并聯(lián)機(jī)床的復(fù)雜性，盲目的修改會導(dǎo)致浪費大量的時間，本文結(jié)合景銀萍[4]等修改缸蓋所用的靈敏度的方法并假設(shè)結(jié)構(gòu)為無阻尼系統(tǒng)。所謂靈敏度就是結(jié)構(gòu)某些所關(guān)心的量對結(jié)構(gòu)參數(shù)的偏導(dǎo)。則式(7)所對應(yīng)的無阻尼自由振動方程為:

(13)

特征方程為：

(14)

對式(14)進(jìn)行求導(dǎo)并令模態(tài)質(zhì)量歸一化得：

(15)

通過靈敏度分析可找出對固有頻率影響較大的值。

對并聯(lián)機(jī)床而言，機(jī)床的尺寸和形狀與許多部位有配合。所以通過修改尺寸使有限元分析出的值與試驗相符合是不可取的。所以本文選取材料的密度、楊氏模量、泊松比為修改參數(shù)，并進(jìn)行各參數(shù)的靈敏度計算。

通過有限元分析可以得到修改參數(shù)對所選參數(shù)的靈敏度值。將第2階，第4階模態(tài)頻率，第5階模態(tài)頻率選定為因變量，并將模型導(dǎo)入分析軟件中，計算并聯(lián)機(jī)床的模態(tài)頻率對楊氏模量、泊松比、密度的靈敏度值分別為0.10013、0.0036、-0.10042，通過靈敏度值可以發(fā)現(xiàn)模態(tài)頻率對楊氏模量和密度的靈敏度值較高，可以作為自變量。

選取第2階、第4階、第5階模態(tài)頻率為因變量，楊氏模量和材料密度為自變量。利用有限元分析軟件中的優(yōu)化模塊對有限元模型進(jìn)行優(yōu)化。使因變量的誤差小于5%。優(yōu)化的結(jié)果是楊氏模量變?yōu)?98.82GPa，密度變?yōu)椋?224.60kg/m3，結(jié)果如表3所示。

表3 優(yōu)化結(jié)果

從表3中可以看出通過優(yōu)化使誤差控制在了工程可接受的范圍之內(nèi)。

此并聯(lián)機(jī)床的最大轉(zhuǎn)動速度為6000r/min，其轉(zhuǎn)動頻率為100Hz。并聯(lián)機(jī)床主要在4000r/min～6000r/min之間進(jìn)行零件的加工，其轉(zhuǎn)動頻率是在67～100Hz之間。

3 結(jié)論

(1)此并聯(lián)機(jī)床在低頻段有較為集中的特征頻率，振動時易產(chǎn)生頻率的耦合。所以應(yīng)對機(jī)床進(jìn)行優(yōu)化，使低頻段的耦合度降低。

(2)通過試驗分析和有限元優(yōu)化結(jié)果可以看出，第2、3、4階模態(tài)在工作頻率范圍的可能性是最大的。對于并聯(lián)機(jī)床就比較危險，因為如果轉(zhuǎn)動頻率與機(jī)床的固有頻率相近，就會產(chǎn)生共振。對于加工的影響就比較大，所以在機(jī)床優(yōu)化設(shè)計時要讓這些模態(tài)頻率遠(yuǎn)離工作頻率。

(3)根據(jù)有限元分析的結(jié)果可知，模態(tài)頻率對楊氏模量和密度的靈敏度值較高，所以在進(jìn)行有限元模型修改時以這兩個參數(shù)為修改變量，將節(jié)約修改時間與修改量。且對這兩個參數(shù)的靈敏度值為正負(fù)相反，說明修改增加楊氏模量將使模態(tài)頻率增加而增加材料密度將使模態(tài)頻率降低。通過有限元軟件的優(yōu)化使結(jié)果誤差在可接受的范圍之內(nèi)，為進(jìn)一步的分析并聯(lián)機(jī)床的動態(tài)特性提供了數(shù)據(jù)支持。

(4)通過試驗得到了并聯(lián)機(jī)床的振動特性，又通過初步有限元分析得到了并聯(lián)機(jī)床前8階的模態(tài)頻率。并提出了針對并聯(lián)機(jī)床模型修改的方向，對接下來的機(jī)床的優(yōu)化提供了數(shù)據(jù)的支持。

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