徐偉呈 李欣鵬

摘 要 建立了一個(gè)非對(duì)稱(chēng)信息下的重復(fù)博弈模型來(lái)刻畫(huà)股票市場(chǎng)中莊家和散戶的博弈行為，推導(dǎo)出股票價(jià)格的折現(xiàn)過(guò)程服從一個(gè)由布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的鞅過(guò)程，并給出股票價(jià)格隨機(jī)變動(dòng)的內(nèi)生性解釋?zhuān)涸诓┺倪^(guò)程中莊家為了隱藏散戶所不知道的信息采用隨機(jī)化策略來(lái)迷惑對(duì)手，從而導(dǎo)致股票價(jià)格的隨機(jī)變動(dòng).在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了相應(yīng)的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題并給出期權(quán)定價(jià)公式.

關(guān)鍵詞 期權(quán)定價(jià);重復(fù)博弈;鞅過(guò)程;非對(duì)稱(chēng)信息

中圖分類(lèi)號(hào) F224.32 ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Abstract The players behavior in the stock market can be characterized by the repeated game model with asymmetric information. The discount price process of stock is a martingale driven by Brownian motion， and an endogenous explanation for the random fluctuation of stock price is obtained： the randomizations in the market is due to the randomizations in the strategy of the informed player which hopes to avoid revealing ?his private information. Based on this price process， the related option pricing problems were also studied and the option formula was ?given.

Key words ?option pricing;repeated game; ?martingale; asymmetric information

1 引 言

2015年中國(guó)股市經(jīng)歷了又一輪的大起大落，股票價(jià)格的變動(dòng)之謎再一次引起了社會(huì)的關(guān)注.金融學(xué)中一個(gè)非常重要的問(wèn)題是如何來(lái)合理地刻畫(huà)股票價(jià)格的變動(dòng).以股票或股票指數(shù)為標(biāo)的的期權(quán)定價(jià)模型嚴(yán)重依賴(lài)于股票價(jià)格變動(dòng)過(guò)程的選擇，基于不同的股票價(jià)格變動(dòng)過(guò)程會(huì)得出不同的期權(quán)定價(jià)公式.2015年2月9日中國(guó)正式推出了金融市場(chǎng)上的首只期權(quán)——上證50ETF期權(quán).在此背景下，研究適合于中國(guó)股市的股票價(jià)格過(guò)程以及相應(yīng)的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值.

目前，常用的模擬股票價(jià)格變動(dòng)的模型有Black-Scholes模型[1]，擴(kuò)散模型（Merton（1971）[2]），隨機(jī)波動(dòng)率模型（Hull 和White（1988）[3]， Heston（1993） [4]），跳模型等等.值得注意的是，上述所有的模型都認(rèn)為股票價(jià)格變動(dòng)的隨機(jī)性來(lái)源于外部沖擊，比如有關(guān)上市公司的利好或利空信息的發(fā)布，國(guó)家宏觀經(jīng)濟(jì)政策的調(diào)整等等.關(guān)于股票價(jià)格或股票收益率的隨機(jī)性在理論上通常使用布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)刻畫(huà).例如，著名的Black-Scholes模型假設(shè)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其中布朗運(yùn)動(dòng)作為外生的隨機(jī)項(xiàng)給出.De Meyer 和Moussa-Saley（2003）[5]通過(guò)建立一個(gè)簡(jiǎn)單的非對(duì)稱(chēng)信息下的重復(fù)博弈模型給出股票價(jià)格變動(dòng)的一個(gè)內(nèi)生性解釋?zhuān)词袌?chǎng)上博弈雙方由于信息不對(duì)稱(chēng)而采取隨機(jī)化策略導(dǎo)致了股票價(jià)格的隨機(jī)變動(dòng).De Meyer（2010）[6]通過(guò)建立更一般的非對(duì)稱(chēng)信息下的重復(fù)博弈模型推導(dǎo)出由于博弈雙方的隨機(jī)化策略而導(dǎo)致股票價(jià)格服從一個(gè)由布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的鞅，稱(chēng)其為連續(xù)最大變差鞅.但是基于該過(guò)程的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題在文獻(xiàn)[6]中并沒(méi)有涉及.

本文將進(jìn)一步推廣文獻(xiàn)[6]中的非對(duì)稱(chēng)信息下的重復(fù)博弈模型，發(fā)現(xiàn)在更一般的條件下，股票價(jià)格的折現(xiàn)過(guò)程仍然為一個(gè)連續(xù)最大變差鞅.在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了在此過(guò)程下的歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.

2 金融交易博弈模型

2.1 金融交易博弈模型

金融交易博弈模型由De Meyer（2010）引入， 它可以視為是經(jīng)典的Aumann-Maschler博弈模型[7]的推廣.該模型為單邊不完全信息下的雙人零和重復(fù)博弈模型.本文將以股票市場(chǎng)為例給出博弈模型.

式（11）意味著通過(guò)交易無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)不會(huì)產(chǎn)生價(jià)值.但是在某些情形，例如，當(dāng)考慮到交易費(fèi)用時(shí)，式（10）不再成立.文獻(xiàn)[8]中給出一個(gè)帶有交易費(fèi)用的博弈模型，它不滿足文獻(xiàn)[6]中的自然交易機(jī)制，但是滿足本文中的假設(shè) （H1）～（H5）.

2）關(guān)于信息的不對(duì)稱(chēng)性，在第0回合，莊家已經(jīng)知道風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)L的確切取值，而散戶僅僅知道它的分布.這導(dǎo)致在各回合的雙方策略中，莊家的策略見(jiàn)式（2）可以依賴(lài)于L，而散戶的策略見(jiàn)式（3）獨(dú)立于L，但是散戶可以通過(guò)莊家的策略來(lái)推測(cè)L的具體取值，而莊家則有意通過(guò)隨機(jī)化策略來(lái)隱藏L的具體信息，在彼此的相互博弈過(guò)程中導(dǎo)致了股票價(jià)格的隨機(jī)變動(dòng).

3）關(guān)于假設(shè)（H1），與Aumann-Maschler模型不同，由于此時(shí)重復(fù)博弈模型中博弈雙方的策略集均不是有限集，最小和最大算子未必可以交換（Mertens等（2015）[9]），從而相應(yīng)的單期博弈的值未必存在.

4）定理1中的結(jié)論與風(fēng)險(xiǎn)中性理論的結(jié)論相一致.風(fēng)險(xiǎn)中性理論說(shuō)明在等價(jià)鞅測(cè)度下，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的折現(xiàn)過(guò)程為一個(gè)鞅（Harrison和Pliska（1981，1983）[10，11]）.在上述重復(fù)博弈模型中，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，并沒(méi)有考慮無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的折現(xiàn)問(wèn)題，從而定理1中的股票價(jià)格事實(shí)上是股票的折現(xiàn)價(jià)格.此時(shí)，股票價(jià)格的折現(xiàn)過(guò)程是一個(gè)在維納測(cè)度下由標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的鞅.

5）模型中其實(shí)暗含莊家和散戶在進(jìn)行高頻交易，即博弈回合數(shù)n充分大時(shí)，股票價(jià)格過(guò)程收斂于鞅模型（9）.但是中國(guó)股市實(shí)行T+1的交易規(guī)則，高頻交易似乎在此行不通.如果將莊家和散戶看成是兩個(gè)群體，這樣在短期內(nèi)會(huì)發(fā)生高頻交易，從而使得股票價(jià)格過(guò)程仍能收斂到鞅模型.

6）實(shí)際股票市場(chǎng)中莊家和散戶的博弈行為要復(fù)雜的多，遠(yuǎn)非通過(guò)理論模型可以刻畫(huà).但是本文所得的結(jié)果非常有趣：股票價(jià)格的折現(xiàn)過(guò)程是由布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的鞅.值得注意的是，與Black-Scholes模型不同，重復(fù)博弈模型中并沒(méi)有關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)的外生性假設(shè)，但是所得到的股票價(jià)格過(guò)程卻是由布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)驅(qū)動(dòng)，從而可以給出股票價(jià)格隨機(jī)變動(dòng)的一個(gè)內(nèi)生性解釋?zhuān)垂善眱r(jià)格的隨機(jī)變動(dòng)來(lái)源于莊家和散戶的隨機(jī)化交易策略，莊家采用隨機(jī)性策略來(lái)干擾散戶對(duì)其所知信息的判斷以獲得最大收益.當(dāng)然，外部沖擊對(duì)股票價(jià)格的影響在某些情形會(huì)起到關(guān)鍵性作用，但是考慮到模型的復(fù)雜性，本文在此處并沒(méi)有考慮到外部沖擊對(duì)股票價(jià)格的影響.

3 期權(quán)定價(jià)公式

4 結(jié) 論

本文通過(guò)建立一個(gè)非對(duì)稱(chēng)信息下的重復(fù)博弈模型對(duì)股票市場(chǎng)中莊家和散戶的博弈行為進(jìn)行了刻畫(huà)，推導(dǎo)出股票價(jià)格的折現(xiàn)過(guò)程服從一個(gè)鞅模型.通過(guò)該模型，本文給出了股票價(jià)格隨機(jī)變動(dòng)的一個(gè)內(nèi)生性解釋?zhuān)呵f家通過(guò)采取隨機(jī)化策略來(lái)隱藏自己所知道的信息從而導(dǎo)致了股票價(jià)格的隨機(jī)變動(dòng).在此基礎(chǔ)上，本文研究了基于鞅模型的歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，并給出相應(yīng)的期權(quán)定價(jià)公式以及未知函數(shù)的估計(jì)方法.

參考文獻(xiàn)

[1] BLACK F， SCHOLES M. The pricing of options and corporate liabilities [J]. Journal of Political Economy， 1973， 81（3）： 637-654.

[2]?MERTON R. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time mode [J]. Journal of Economic Theory， 1971， 3（4）： 373-413.

[3]?HULL ?J ，WHITE A. ?An analysis of the bias in option pricing caused by a stochastic volatility [J]. Advances in Futures and Options Research， 1988， 3： 27-61.

[4]?HESTON S. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options [J]. The Review of Financial Studies， 1993， 6（2）： 327-343.

[5]?DE MEYER ?B， MOUSSA-SALEY H. On the strategic origin of Brownian motion in finance [J]. International Journal of Game Theory， 2003， 31（2）：285-319.

[6]?DE MEYER B. Price dynamic on a stock market with asymmetric information [J]. Games and Economic Behavior， 2010， 69（1）： 42-71.

[7]?AUMANN ?R， MASCHLER M. Repeated Games with Incomplete Information [M]. Cambridge： MIT ?Press， 1995.

[8]?LI X. Sublinear expectations and their applications in game theory [D]. Paris： Sorbonne Economics Center， University of Paris 1， 2013.

[9]?MERTENS J F， SORIN S， ZAMIR S. Repeated Games [M]. Cambridge： Cambridge University Press， 2015.

[10]HARRISON ?M，PLISKA S. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading [J]. Stochastic Processes and their Applications， 1981， 11（3）： 215-260.

[11]HARRISON M， PLISKA S. A stochastic calculus model of continuous trading： complete markets [J]. Stochastic Processes and their Applications， 1983， 15（3）：313-316.

[12]BREEDEN D，LIZENBERGER R. Prices of state-contingent claims implicit in option prices [J]. The Journal of Business， 1978， 51（4）：621-65.