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        浙教版初中數(shù)學(xué)幾何例習(xí)題有效改編的探究

        2018-04-16 07:21:52曹益軍
        文化創(chuàng)新比較研究 2018年5期
        關(guān)鍵詞:矩形正方形線段

        曹益軍

        (浙江省杭州市蕭山區(qū)靖江初中,浙江杭州 311223)

        1 研究背景

        2014年,蕭山教育局出臺《蕭山區(qū)中小學(xué)教師教學(xué)規(guī)范(修訂稿)》,其中對教師“教學(xué)準(zhǔn)備”有如下要求:第2條深度研究教學(xué)材料。充分研讀教材,形成自己獨特的理解,同時學(xué)習(xí)參考其他教學(xué)資料,正確理解教學(xué)內(nèi)容,把握教學(xué)重點和難點。對用于教學(xué)的各種練習(xí),要采用“教師自己先做”的方式進(jìn)行研究,感悟解題的規(guī)律和思路,揣摩學(xué)生在解題過程中可能遇到的困難和障礙。

        第6條精心準(zhǔn)備各類作業(yè)。根據(jù)教學(xué)目標(biāo)與學(xué)生實際精心選用和編創(chuàng)作業(yè)。作業(yè)難度合理,數(shù)量適當(dāng)。關(guān)注學(xué)生的個體差異,增強作業(yè)的層次性和可選擇性,滿足不同學(xué)生的需求。根據(jù)學(xué)科特點豐富作業(yè)的形式,增加觀察積累、動手操作、搜集整理、發(fā)現(xiàn)探究、勞動服務(wù)等作業(yè)形式。積極探索以引領(lǐng)學(xué)生全程學(xué)習(xí)為目的的導(dǎo)學(xué)新作業(yè)模式。

        現(xiàn)實教學(xué)過程中,教師很多是拿來主義,對已有的教材例題、習(xí)題改編的意識不強,在備課中不能對例題、習(xí)題進(jìn)行深層次的挖掘、拓展、再創(chuàng)造,在授課時也往往出現(xiàn)一筆帶過、草草了事的教學(xué)現(xiàn)狀,根本沒有很好的利用例題、習(xí)題的所潛在的價值,而教材例題、習(xí)題的“二次開發(fā)”能促使學(xué)生的學(xué)習(xí)方式由“重結(jié)論輕過程”向“過程與結(jié)果”并重的方向發(fā)展,使學(xué)生挖掘隱含問題的本質(zhì)屬性,從而達(dá)到“做一題,通一類,會一片”的解題境界,擺脫題海,實現(xiàn)“輕負(fù)高效”。

        筆者的研究,是結(jié)合本學(xué)校的自主教學(xué)的實際情況,探討如何更有效地對例題與習(xí)題進(jìn)行合理的選擇、獨特的設(shè)計、有效的教學(xué),力求進(jìn)一步提高我校自編導(dǎo)學(xué)案的質(zhì)量,并以此為契機,提高本學(xué)科教學(xué)質(zhì)量,提升學(xué)校辦學(xué)品質(zhì)。

        2 實踐探微

        2.1 改編策略實施

        數(shù)學(xué)問題改編是對已有數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論部分的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、情境等進(jìn)行改造,得出新題的一種命題設(shè)計方法。改編題較之原本習(xí)題不僅承載了知識內(nèi)容,蘊含了數(shù)學(xué)思想方法,還被賦予了新的問題情境,傳導(dǎo)了改編者的設(shè)計意圖,并以此通過鞏固和變式訓(xùn)練來實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。

        改編問題的具體方法有:轉(zhuǎn)換條件與結(jié)論、否定條件、題組整合等。

        2.1.1 轉(zhuǎn)換條件與結(jié)論

        轉(zhuǎn)換條件與結(jié)論,即把原題中的結(jié)論與部分條件互換,使之產(chǎn)生新的問題。如下例:

        原題呈現(xiàn):教科書九上4.5節(jié)《相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用》習(xí)題 A3(P142)。

        已知:如圖1,在△ABC中,AD是角平分線,∠ADE=∠B。

        圖1 

        求證:AD2=AE·AB

        其中, 條件有:(1)AD 是角平分線,(2)∠ADE=∠B,結(jié)論有:AD2=AE·AB。

        轉(zhuǎn)換其中的條件和結(jié)論,可得:

        改編一,已知:如圖1,在△ABC中,AD是角平分線,AD2=AE·AB。

        求證:∠ADE=∠B。

        改編二,已知:如圖 1,在△ABC 中,AD2=AE·AB,∠ADE=∠B。

        判斷AD是否為△ABC的角平分線,并說明理由。

        改編一,是對三角形相似判定的復(fù)習(xí),改編二,是不能判定它為角平分線的,這也是學(xué)生在相似判定中的一個易錯點。

        轉(zhuǎn)換條件與結(jié)論的方法,適合大多數(shù)例題和習(xí)題,也是最常用的改編方法。

        2.1.2 否定條件法

        否定條件法的策略實施,大致可分為四個步驟:

        步驟1,選擇習(xí)題。

        步驟2,列出各個條件。

        步驟3,否定各個條件,列出相應(yīng)的新條件。

        步驟4,根據(jù)新條件,提出新問題。

        下面結(jié)合一道平行四邊形(三角形的中位線)中的課后作業(yè)題,具體說明否定條件策略在習(xí)題改編中的應(yīng)用。

        原題呈現(xiàn):如圖2,C、D是線段AB上兩點,且AC=BD=AB=1,點P是線段CD上一個動點,在AB同側(cè)分別作等邊△PAE和等邊△PBF,M為線段EF的中點,在點P從點C移動到點D時,點M運動的路徑長度為多少?

        圖2 

        第一步,我們首先在步驟1上列出問題中的各個條件:

        條件1:C、D是線段AB上兩點;

        條件3:在AB同側(cè);

        條件4:等邊△PAE和等邊△PBF;

        條件5:M為線段EF的中點;

        條件6:點P從點C移動到點D;

        條件7:點M運動的路徑長度。

        第二步,在步驟2上,我們可依次對所列條件進(jìn)行否定,并列出新的條件:

        條件1否定:“C、D不是線段AB上兩點”,如:點C在線段AB延長線上,情況將如何?

        條件 2 否定:“AC≠BD”或“AC=BD≠1”,如:AB=m,AC+BD=n等。

        條件3否定:“在AB異側(cè)”,則情況將如何?

        條件4否定:“△PAE和△PBF不是等邊三角形”,如:兩個三角形都為等腰三角形,或為正方形,或為其他特殊多邊形。

        條件5否定:“M不是EF的中點”,如:M是EF的三等分點。

        條件6否定:“點P不是線段CD上一個動點”,如:點P在線段AB上運動。

        條件7否定:“不求點M運動的路徑長度”,如:求PM的長度范圍,等等。

        第三步,在步驟3上,我們利用一個或若干個新條件提出新問題。

        改編一,利用新條件2和4,我們可以得到如下新的問題:

        如圖3,線段AB=m,C、D是AB上兩點,且AC+BD=n,點P是線段CD上一個動點,在AB同側(cè)分別作等腰Rt△PAE和等腰Rt△PBF,M為線段EF的中點。在點P從點C移動到點D時,點M運動的路徑長度為多少?

        圖3 

        改編二,利用新條件6和7,我們可以得到如下新的問題:

        如圖4,已知AB=6,點P是線段AB上一個動點,在AB同側(cè)分別作等邊△PAC和等邊△PBD,M為線段CD的中點,連接PM。在點P從點A移動到點B的過程中,求線段PM的最小值。

        圖4 

        改編三,利用新條件4和7,我們可以得到如下新的問題:

        圖5 

        通過以上案例,我們可以看到,從一個給定的數(shù)學(xué)問題出發(fā),利用否定條件的策略,以一生十,可以提出豐富多彩的問題。當(dāng)然,在利用新條件提出問題時,會遇到新條件和其他未被否定的原條件之間不相容的情形,此時提出的問題將是無效的。眾所周知,提出問題比解決問題更重要,我們積極利用否定條件策略,研究問題,這將會編擬出更精彩的數(shù)學(xué)問題。教師積極引導(dǎo)學(xué)生利用否定條件策略提出問題,這將更能考查一個學(xué)生對知識的理解和掌握情況,必將收到事半功倍的效果。

        2.1.3 題組整合

        重組整合,顧名思義,借助一定的素材,將彼此聯(lián)系緊密的一些例題、習(xí)題,串聯(lián)或并聯(lián)起來,可以構(gòu)造出一系列的新問題。如下例:

        原題呈現(xiàn):教科書八上2.1節(jié)《圖形的軸對稱》例2(P50),如圖6,L表示草原上的一條河。一少年從A地出發(fā),騎著馬去河邊,讓馬飲水,然后回位于B地的家中。他沿怎樣的路線行走,能使路程最短?做出這條最短路線。

        圖6 

        本題是利用軸對稱性質(zhì)(PA=PA’)和三角形三邊關(guān)系(或兩點間線段最短),解決最值問題。此類問題和解題方法在各種資料中出現(xiàn)頗多,收集并重組整合后,可以得到不少新問題。

        改編一,增加一條線(作業(yè)本中練習(xí)題):

        如圖7,點P在銳角∠AOB內(nèi),M、N分別為邊OA、OB上任意一點,連結(jié)PM、PN、MN,當(dāng)△PMN周長最小時,請在圖上確定M、N的位置。若OP=3,∠AOB=30°,則最小周長為多少。

        圖7 

        圖8 

        圖9 

        改編二,增加一個點(導(dǎo)學(xué)作業(yè)本習(xí)題):

        如圖8,點P、Q在銳角∠AOB內(nèi),M、N分別為邊OA、OB 上任意一點,連結(jié) PQ、PM、QN、MN,當(dāng)四邊形PMNQ周長最小時,請在圖上確定M、N的位置。

        改編三,把銳角變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)系(中考題):

        如圖 9,在直角坐標(biāo)系中有四個點 A(-3,3),B(-2,5),C、D分別在y軸和x軸上,當(dāng)四邊形ABCD周長最短時,求C、D的坐標(biāo)。

        改編四,與平移變換結(jié)合(中考題改編):

        如圖10,在直角坐標(biāo)系中有線段AB=2,CD=1,A(1,2)、B(3,2),C、D 為 x 軸上任意點,當(dāng)四邊形 ABCD周長最短時,求C的位置。

        圖10 

        圖11 

        圖12 

        改編五,與旋轉(zhuǎn)變換結(jié)合(中考題改編):

        如圖 11,在△ABC 中,AC=3,BC=4,AB=5,頂點 A、B分別y軸和x軸上,當(dāng)A在y軸上運動時,B隨之在x軸上運動。求運動過程中,點C到點O的最大距離。

        改編六,與旋轉(zhuǎn)變換結(jié)合(中考題改編),提升難度:

        在改編四基礎(chǔ)上,如圖12,△ABC中,AC=a,BC=b,AB不定,即∠ACB任意,以AB為邊作等腰直角△ABD。當(dāng)∠ACB變化,且點D與點C位于直線AB的兩側(cè),求CD的最大值。

        此組例題的改編組合,不僅拓展了軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用,而且配以平移、旋轉(zhuǎn)的改編題,讓學(xué)生意識到學(xué)習(xí)圖形變換的真諦:在改變圖形位置、方向后不改變其大小和形狀,圖形變換是分析問題的一種工具。

        通過重組整合,改編習(xí)題,在強大的網(wǎng)絡(luò)資源面前,會非常快捷有效,尤其是在中考復(fù)習(xí)階段,被大多數(shù)老師所采用,可以快速地形成知識體系。

        2.2 經(jīng)典案例分析

        原題呈現(xiàn):教科書九上4.5節(jié)《相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用(3)》作業(yè)題 B5(P149),有一塊三角形余料 ABC見圖13,它的邊BC=120mm,高線AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一邊在BC上,其余兩個頂點分別在AB,AC上。求加工成的正方形零件的邊長。

        圖13 

        本題考查:(1)正方形的性質(zhì),(2)直角三角形的性質(zhì),(3)相似三角形的判定和性質(zhì),(4)方程,(5)基本的幾何分析推理能力。潛在價值:滲透了數(shù)形結(jié)合和建模的思想,應(yīng)用知識的能力要求較高,能拓展學(xué)生的思維空間,提高知識的遷移能力和學(xué)生的創(chuàng)新能力。

        改編策略一:否定一個條件,如改變其中一個圖形的形狀。

        例1:內(nèi)部四邊形改為矩形,如圖14,有一塊三角形余料ABC,它的邊BC=120mm,高線AD長80mm,四邊形PQRS是三角形的內(nèi)接矩形。

        圖14 

        圖15 

        (1)當(dāng)矩形PQRS與△ABC的面積之比為3∶8時,求矩形PQRS的周長;

        (2)設(shè)PQ長為xmm,求矩形面積S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并說明點P在何處時矩形的面積最大?

        例2:外部三角形改為半圓,如圖15,半圓的直徑AB=10,C、D為直徑上的點,E、F為半圓弧上的點。若四邊形CDEF為正方形,求正方形邊長。

        改編策略二:同時否定多個條件,如改變圖形的形狀,或改變圖形的數(shù)量等。

        例 3:在△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=3。

        圖16 

        圖17 

        圖18 

        (1)如圖16,在△ABC內(nèi)部,并排兩個相同的正方形,它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC,求正方形的邊長;(2)如圖17,在△ABC內(nèi)部,并排三個相同的正方形,它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC,求正方形的邊長;(3)如圖18,在△ABC內(nèi)部,并排n個相同的正方形,它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC,求正方形的邊長。

        例 4:如圖 19,在 Rt△ABC 中有邊長分別為 a,b,c的三個正方形,∠C為直角,求a,b,c滿足的關(guān)系。(煙臺中考)

        圖19 

        例 5:已知 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8。

        如圖20,若半徑為r的⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓,求r。

        圖20 

        例6:一張等腰三角形紙片,底邊長13cm,底邊上的高為32.5cm,現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為5cm的矩形紙條,如圖21所示。已知剪得的紙條中有一張是正方形,則這張正方形紙條是第幾張?(溫州中考)

        圖21 

        改編策略三:整合多個例題。

        例 7:整合例 1和例 5,如圖 22,四邊形 PQRS為Rt△ABC 的內(nèi)接矩形,∠ACB=90°,三個內(nèi)切圓的半徑從小到大依次為r1,r2和r3。當(dāng)內(nèi)接矩形的面積達(dá)到最大時,求r1,r2,r3滿足的數(shù)量關(guān)系。

        圖22 

        例8:整合例2和例5,如圖23,AB為半圓的直徑,C是半圓弧上一點,正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上,另一邊DE過ΔABC的內(nèi)切圓圓心O,且點E在半圓弧上。(1)若正方形的頂點F也在半圓弧上,則半圓的半徑與正方形邊長的比是______;(2)若正方形DEFG的面積為100,且ΔABC的內(nèi)切圓半徑r=4,則半圓的直徑AB=______。(杭州中考)

        圖23 

        一道練習(xí)通過否定條件、題組整合等多種形式的改編,運用在課堂教學(xué)中,促使學(xué)生對初中數(shù)學(xué)知識的融會貫通,創(chuàng)建學(xué)生自主建模的能力,培養(yǎng)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想與方法,培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)造性,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),增強學(xué)生解題技巧。

        3成效與反思

        自從開展本課題研究以來,我們都積極嘗試著自己編出幾道題,很高興、很管用。至今,已編出一套非常適用本校教學(xué)的習(xí)題集,所編的題在多種重大考試中使用,命題質(zhì)量受到同行好評。

        那么,怎樣才能改編出好題呢?筆者認(rèn)為還需要做到以下三點:(1)加強對題目的記憶,好題可以收集,它是編題的素材;(2)多解題,多思考,提高敏銳性,關(guān)注各種題目之間的聯(lián)系;(3)關(guān)注學(xué)生的錯誤,難題、易錯題改編價值更高。

        通過例習(xí)題改編,對現(xiàn)行教材進(jìn)行大膽處理,真正開辟了一條輕負(fù)高效的好路子。我校是自主學(xué)習(xí)的特色學(xué)校,近年來積極參與新課程改革,推行先學(xué)后教的教學(xué)新范式,本課題的研究,也符合數(shù)學(xué)學(xué)科在課程改革中的要求,堅持了一年多的團隊實踐,不僅改變了我們課題組老師的教學(xué)方式,而且還收集整理了一份以教材改編為主的學(xué)案集,極大地提高了我們的教學(xué)質(zhì)量。我們?nèi)谓痰哪昙墸诟骷壐黝惐荣惪荚囍?,各項指?biāo)都遠(yuǎn)超片常模。

        數(shù)學(xué)新課程改革是一個在探索中發(fā)展的過程,需要所有數(shù)學(xué)教育工作者的共同努力。今后,在課堂新范式的推進(jìn)、數(shù)學(xué)教材的處理、數(shù)學(xué)試題的改編過程中,我們將繼續(xù)和其他同行一起,深入研究教學(xué)問題,擴大實驗成果。本課題的研究與實施,已經(jīng)變革了我們課題組老師的的教學(xué)方式,并且我們也從中獲益不少,值得我們繼續(xù)為之努力。

        [1]李志敏.如何設(shè)計新題[J].?dāng)?shù)學(xué)通報,2010(8):37-40.

        [2]潘超.變有限意無窮——談基于“幾何畫板”的變式探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:初中版,2012(11):47-49.

        [3]沈雪明.用課本例題解競賽題例說[J].中等數(shù)學(xué),2005(10):13-14.

        [4]黎奇.新課程背景下的有效課堂教學(xué)策略[M].北京:首都師范大學(xué)出版社,2010.

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