楊雯雯

鄭州外國(guó)語(yǔ)新楓楊學(xué)校 河南鄭州 450001

數(shù)列一直以來(lái)都是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，其中，在數(shù)列知識(shí)體系中，等比數(shù)列的難度較大，其可通過(guò)不同類型的變式對(duì)高中數(shù)學(xué)的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行全面考察，因此，我們高中生需要針對(duì)等比數(shù)列的題目加強(qiáng)鍛煉。對(duì)于等比數(shù)列題目中關(guān)于前n項(xiàng)和的求解，其難度主要在兩個(gè)方面，其一是對(duì)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解；其二是如何根據(jù)已經(jīng)求得的通項(xiàng)公式計(jì)算其前n項(xiàng)和[1]。

1 利用前n項(xiàng)和求解等比數(shù)列參數(shù)

在一些簡(jiǎn)單的等比數(shù)列題目中，其考察點(diǎn)多在于對(duì)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，為增加難度，則可以在給出前n項(xiàng)和的基礎(chǔ)上，對(duì)等比數(shù)列中的參數(shù)進(jìn)行討論。

例1 正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式 an=a1qn-1，其中，q∈（0，+∞），已知Sn=80，且其中的最大項(xiàng)為54，同時(shí)S2n=6560，求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解析：由題目我們可以得出，該題的重點(diǎn)在于對(duì)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，通過(guò)分別計(jì)算等比數(shù)列前n項(xiàng)和與前2n項(xiàng)和聯(lián)立方程組，繼而可以求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=a1qn-1中的a1和q。

解：已知數(shù)列前n項(xiàng)和為80，前2n項(xiàng)和為6560，由此可以判定，q＞0且q≠1

根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，聯(lián)立方程組可得：

由此可得：qn=81，即等比數(shù)列為單增等比數(shù)列，q＞1，所以，最大項(xiàng)應(yīng)當(dāng)為 an=a1qn-1=54。

得a1=q-1①

且 qn/(a1qn-1)=3/2，即 3a1=2q ②

由①、②可得數(shù)列的通項(xiàng)公式an=2*3n-1

2 基于等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的證明題型

與等比數(shù)列相關(guān)的證明題較少，在部分證明題中，解題關(guān)鍵在于對(duì)前n項(xiàng)公式能否掌握熟練，通過(guò)對(duì)n的放大，從而選擇與之相適應(yīng)的求證策略。

例2 對(duì)于等比數(shù)列{an}，其前n、2n、3n項(xiàng)和分別為 Sn、S2n、S3n，試證 Sn2+S2n2=Sn（S2n+S3n）。

解析：從已知條件我們可以看出，我們需要對(duì)等比數(shù)列{an}的前n、2n、3n項(xiàng)和之間的關(guān)系進(jìn)行證明，如此必將使用到等比數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算公式，由于相關(guān)的解題步驟較為復(fù)雜，計(jì)算量較大，所以我們需要對(duì)其中的每一個(gè)步驟進(jìn)行認(rèn)真分析，從而避免失誤[2]。

證明：根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算公式，設(shè)等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=aqn-1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn。

同時(shí)，數(shù)列{an} 的前2n項(xiàng)和S2n=Sn+a1qn+···+a1q2n-1=Sn+qn(a1+···+a1qn-1)

由此可以得出：S2n=Sn（qn+1）

所以，S3n=S2n+a1q2n+···+a1q3n-1=S2n+Snq2n=Sn（1+qn+q2n）

因?yàn)镾n2+S2n2=Sn2（2+2qn+q2n）；Sn（S2n+S3n）=Sn2（2+2qn+q2n）

即：Sn2+S2n2=Sn（S2n+S3n）。

然而，這里需要注意的是，在對(duì)S3n進(jìn)行分析的過(guò)程中，很多同學(xué)會(huì)將其誤認(rèn)為S3n=S2n+S2nq2n，這是由于中間步驟省略所導(dǎo)致的，因此，對(duì)于等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，我們需要盡量保證計(jì)算過(guò)程的完整性，以避免解題失誤。

3 利用錯(cuò)位相減法求等比數(shù)列前n項(xiàng)和

錯(cuò)位相減法在等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求解中的使用較為普遍，對(duì)于等比數(shù)列來(lái)說(shuō)，該解題方法也能夠在一定程度上降低題目的難度，提高解題效率。

例3已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其中，關(guān)于數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和 S_n滿足以下函數(shù)：Sn=bn+r，且b∈[（0，1）∪（1，+∞） ]，當(dāng)b=2時(shí)，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=(n+1)/(4an)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和。

解析：在解該題目時(shí)，首先需要計(jì)算出r的值，求出bn與an之間的關(guān)系；其次，利用已經(jīng)給出的已知條件，聯(lián)立方程，求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和。

解：由于關(guān)于數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=bn+r，且b∈[（0，1）∪（1，+∞）]

所以，當(dāng)n=1時(shí)，存在S1=a1=b+r

當(dāng)n≥2時(shí)，則根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得：

an=Sn-Sn-1

=（b-1）bn-1

a1=(b-1)b0+（1+r），a2=S2-S1=(b-1)b，因?yàn)?a2/a1為非 0 常數(shù)，所以r=-1，且等比數(shù)列{an}的公比為b。

將b=2帶入數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式后可得：an=2n-1

bn=(n+1)/2n+1，n∈N*

由此可以得出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和公式如下：

Sbn=3/22+4/23+···+(n+1)/2n+1①

方程兩邊同除以2，可得：

1/2Sbn=3/23+4/24+···+(n+1)/2n+2②

①-②得：

1/2Sbn=3/22+1/23+1/24+···+1/2n+1-(n+1)/2n+2

由此可得：Sbn=(3×2n-1-2（n+3）)/2。

4 結(jié)語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)等比數(shù)列的學(xué)習(xí)過(guò)程中，其難點(diǎn)在于等比數(shù)列的變式較多，在實(shí)際解題時(shí)，只有選擇與之相適應(yīng)的解題方法，才能夠有效地降低題目難度，提高解題效率。因此，我們高中生不僅要全面掌握有關(guān)于等比數(shù)列題目的基礎(chǔ)知識(shí)，而且還需要熟練應(yīng)用各種類型的解題技巧，提高個(gè)人對(duì)等比數(shù)列前n項(xiàng)和求解的適應(yīng)性。