☉廣東省珠海市第一中學(xué) 江云富

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（H.Freudenthal）曾說：“在認(rèn)識現(xiàn)實世界與聯(lián)系實際、使現(xiàn)實數(shù)學(xué)化方面，幾何的作用是無法被替代的……借助眼睛、手等各種感觀來接觸空間形狀，是一種最好的引導(dǎo)機會，它更有利于發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造……”現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)雖然沒有單純的平面幾何內(nèi)容，但很多章節(jié)里都有著平面幾何的背景，滲透著平面幾何知識，在強調(diào)能力立意的高考數(shù)學(xué)試卷中，也有不少對幾何直觀能力考查的試題，在大力倡導(dǎo)培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的今天，我們在教學(xué)中應(yīng)該充分挖掘這類含平面幾何背景的素材，著力引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文就這一問題從以下幾個方面進行探究.

一、平面幾何在立體幾何中的運用

立體幾何與平面幾何有著天然的聯(lián)系，在立體幾何教學(xué)中應(yīng)充分地利用平面幾何性質(zhì)來幫助研究圖形的結(jié)構(gòu)和位置關(guān)系，如果回避難點，一味地依賴空間坐標(biāo)系和空間向量，會影響學(xué)生空間認(rèn)知和直觀想象能力，與課程目標(biāo)相背離.事實上，很多時候結(jié)合平面幾何知識，傳統(tǒng)的幾何法更簡潔.

例1（2017年全國卷Ⅰ理科第18題）如圖1，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角APB-C的余弦值.

圖1

圖2

分析：在第（2）問中，很多學(xué)生根據(jù)第（1）問的結(jié)論和第（2）問的條件，會以AD的中點O為原點，OA為x軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系來計算二面角，但平面幾何知識告訴我們，△PAB是以PB為斜邊的等腰直角三角形，△PBC是等邊三角形（如圖2），記PB中點為E，連接AE、CE，AE⊥PB，CE⊥PB，則∠AEC即為所求的二面角的平面角，并且易知△AEC的三邊長，用余弦定理就會很快求解其值，比起用空間坐標(biāo)系，顯然要簡潔很多.

二、平面幾何在解析幾何中的運用

解析幾何的坐標(biāo)法，借助坐標(biāo)系，把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過代數(shù)運算研究圖形性質(zhì)，在算法上是巨大的進步.然而學(xué)習(xí)解析幾何最大的困難是計算量大而且非常復(fù)雜，學(xué)生常見的現(xiàn)象是算到一半就“望而卻步”，或是算錯.對于有些解析幾何問題，如果先對圖形作一些平面幾何上的探究和處理，往往會找到簡潔而明快的解題方法.

例2（2005年天津卷理科第20題）某人在一山坡P處觀看對面山頂上的一座鐵塔，如圖3所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），圖中所示的山坡可視為直線l且點P在直線l上，l與水平地面的夾角為α，tanα=.試問：此人距水平地面多高時，觀看塔的視角∠BPC最大（不計此人的身高）.

圖3

圖4

分析與解：此題常規(guī)的方法是建立坐標(biāo)系，寫出點B、C的坐標(biāo)和直線AP的方程，設(shè)出點P的坐標(biāo)，借助斜率來計算∠BPC的正切值，再求此正切值的最大值，無疑計算量很大，最后正切值式子的最大值也不容易求.用平面幾何中圓方法求解則很簡單：以O(shè)A為x軸，OB為y軸，建立如圖4所示的直角坐標(biāo)系，則B（0，220），C（0，300），A（200，0），AP的方程為y=x-100，AP與y軸交于點D（0，-100），作圓經(jīng)過點B、C且與直線AP相切，切點為P，此時除P點外直線AP上所有點都在圓外，用同弧上的圓周角相等的性質(zhì)，可以證明圓外的點對弦BC的張角都小于∠BPC，所以切點P即為所求的點，根據(jù)切割線定理，DP2=DB·DC得DP=160，P點的縱坐標(biāo)為60.

評注：解析幾何問題中常見的距離和角度等幾何元素，是容易用平面幾何方法來處理的.

三、平面幾何在解三角形中的運用

三角形是基本的幾何圖形，也是眾多平面幾何定理和性質(zhì)的常用載體，很多解三角形的問題可以將平面幾何知識和正弦定理、余弦定理等三角函數(shù)知識綜合運用來求解.

例3（2015年新課標(biāo)卷Ⅱ文科第17題）在△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，BD=2DC.

（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B.

分析與解：（Ⅰ）如圖5，根據(jù)角平分線的幾何性質(zhì)，有再由正弦定理得

圖5

（Ⅱ）因為BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cos∠BAC=3AC2，所以BC=AC＜AB?∠B＜∠C.于是∠B為銳角，所以∠B=30°.

評注：如第（Ⅰ）問中不用角平分線定理，則要在△ABD和△ACD中用正弦定理，顯然要麻煩很多.

例4（2015年新課標(biāo)卷Ⅰ理科第16題）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是______.

分析與解：由平面幾何知識知，四邊形ABCD四個內(nèi)角和為360°，∠A=∠B=∠C=75°，則∠D=135°，四邊形ABCD的四個內(nèi)角都為定值，BC邊為定長，在這個前提下，只有AD邊可以平行移動，如圖6，延長CD與BA交于點E，考慮AD移動的兩個極端位置，即D點與C點重合（此時A在G處），A點與E點重合，分別求出此時BG、BE的長，即可得到AB的取值范圍

圖6

評注：此題的得分率很低，部分原因就是思維局限于“解三角形”，而沒有用平面幾何知識去考慮問題.

四、平面幾何在向量中的運用

平面向量有著深厚的平面幾何背景，向量加法、減法和數(shù)量積運算本身就有幾何意義的解釋，尤其是三角形中的向量問題，和坐標(biāo)法一樣，幾何法也是處理向量問題的常用方法.

例5 （2017年浙江卷第10題）如圖7，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC與BD交于點O，記I1=O—→A·O—→B，I2=O—→B·，則（ ）.

圖7

（A）I1＜I2＜I3（B）I1＜I3＜I2

（C）I3＜I1＜I2（D）I2＜I1＜I3

分析與解：本題如果用解三角形知識去嚴(yán)密求解，要先后輾轉(zhuǎn)△ABC、△ACD、△BCD、△OCD等四個三角形，才能求出OB、OC、OD的長和∠COD的值，得到

但作為選擇題，這樣做太費時費力，根據(jù)圖形進行直觀想象，設(shè)四邊形ABCD開始為邊長為2的正方形，在∠ABC=90°和其他邊長不變的前提下，慢慢伸長CD，這樣即可看出∠AOB=∠COD＞90°，OA＜OC，OB＜OD，同樣能得到結(jié)論，且直觀簡潔.

例6（2017年全國卷Ⅱ理科第12題）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則的最小值是（ ）.

分析與解：如圖8，設(shè)BC的中點為D，由向量加法的幾何意義和平行四邊形知識可知于是轉(zhuǎn)而求的最小值，再設(shè)AD的中點為O，為定值，于是當(dāng)時，P—最小，從而最小.用這種幾何法顯然比答案中建坐標(biāo)系去計算要快很多.

→最小.用這種幾何法顯然比答案中建坐標(biāo)系去計算要快很多.

圖8

五、平面幾何在數(shù)列中的運用

當(dāng)數(shù)列中的項涉及幾何圖形中相關(guān)的量時，幾何性質(zhì)能幫助我們很好地厘清這些量之間的關(guān)系.

例7 （2016年浙江卷理科第6題）如圖9，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+2，n∈N*（P≠Q(mào)表示點P與點Q不重合）. 若dn=|AnBn|，Sn為△AnBnBn+1的面積，則（ ）.

圖9

分析與解：設(shè)這個銳角的頂點為O，從解三角形的角度發(fā)現(xiàn)，△OAnBn的兩邊|OAn|，|OBn|均勻地遞增，但兩個內(nèi)角∠OAnBn，∠OBnAn不斷地改變，很難找到|AnBn|的變化規(guī)律，應(yīng)該先考慮面積Sn，在△AnBnBn+1中，邊|BnBn+1|為定值，高為|OAn|sin∠AnOBn，Sn=|OAn||BnBn+1|sin∠AnOBn，|BnBn+1|sin∠AnOBn為定值，|OAn|等差，所以{Sn}是等差數(shù)列.

六、平面幾何在概率中的運用

概率中的幾何概型常常要用到平面幾何知識，也有些非幾何概型但涉及幾何圖形，也考查了平面幾何的基礎(chǔ)知識.

例8 （2013年江西卷理科第18題）小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團還是參加學(xué)校排球隊.游戲規(guī)則為：以O(shè)為起

點，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如圖10）這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X.若X=0就參加學(xué)校合唱團，否則就參加學(xué)校排球隊.

圖10

（1）求小波參加學(xué)校合唱團的概率；

（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

分析與解：本題利用幾何圖形對向量的數(shù)量積的幾何意義作了細(xì)致的考查，從8個點中任意取兩點為向量終點的不同取法共有=28種，由圖形分析可知，兩向量數(shù)量積X的所有可能取值為-2，-1，0，1.

（1）X=0時，兩向量垂直，共有8種情形，所以小波參加學(xué)校合唱團的概率為P（X=0）

（2）X=-2時，只有兩向量均在對角線上且方向相反，共2種情形，-1時，有兩類：兩向量夾角為135°共有8種情形，兩向量夾角為180°共有2種情形，P（X=-1）=；X=1時，兩向量夾角為45°共有8種情形，P（X=1）=所以X的分布如下表：

X -2 -1 0 1 P 1 14 22 5 1 477

評注：此題兩問都是向量數(shù)量積與平面幾何知識的綜合運用，尤其是第（2）問，要有很好的圖形直觀能力，只有對幾何圖形細(xì)致的觀察，才能準(zhǔn)確地計算各種情形的種數(shù).

在培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密邏輯推理、直觀想象等能力方面，平面幾何有著獨特的、不可替代的作用.錢學(xué)森先生就認(rèn)為，他嚴(yán)密的思想方法得益于中學(xué)階段對平面幾何的學(xué)習(xí).上述例子表明，高中數(shù)學(xué)很多問題都涉及幾何圖形和幾何方法，教學(xué)中我們應(yīng)充分地挖掘數(shù)學(xué)問題中平面幾何的育人價值，實實在在地在課堂教學(xué)中落實發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻：

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2.陳婷，田麗娜，詹紫浪，傅種孫.《高中平面幾何講義》之考察［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2012（8）.

3.中華人民共和國教育部.關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見［M］.教基二［2014］4號.F