☉西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué) 周書(shū)琴

構(gòu)建高效課堂這一數(shù)學(xué)教學(xué)改革最熱門的話題說(shuō)起來(lái)簡(jiǎn)單，但想真正實(shí)現(xiàn)高效課堂這一目標(biāo)卻是相當(dāng)有難度的，高三復(fù)習(xí)迎考階段的課堂教學(xué)起點(diǎn)高、容量大、節(jié)奏快，達(dá)成高效課堂的目標(biāo)自然也就更加有難度了，很多教師在復(fù)習(xí)迎考的課堂教學(xué)中花費(fèi)的精力很多，學(xué)生也竭盡全力了，但獲得的成效卻往往不能盡如人意，有的甚至適得其反了，難道就沒(méi)有不過(guò)分加重學(xué)生負(fù)擔(dān)但又能取得高效教學(xué)的方法了嗎？

筆者根據(jù)高三復(fù)習(xí)迎考階段課堂教學(xué)的特點(diǎn)在某些典型例題的教學(xué)上進(jìn)行了深入的思考，基于經(jīng)典例題的解析并進(jìn)行拓展延伸對(duì)于高效課堂的建構(gòu)來(lái)說(shuō)應(yīng)該是極有價(jià)值的，事實(shí)上，幾年來(lái)的實(shí)踐也確實(shí)令筆者的課堂教學(xué)獲得了大面積的豐收.

一、延伸問(wèn)題串

切入題：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn=1-5+9-13+…+（4n-3）·（-1）n-1，則S15+S22-S31=______.

這道看似不起眼的填空題往往運(yùn)用特殊化法很快能夠解決，但筆者仔細(xì)審視該題卻發(fā)現(xiàn)此題蘊(yùn)含著可以利用的豐富知識(shí)、技能與思想，此題經(jīng)過(guò)一定的延伸與拓展一定能夠?yàn)閷W(xué)生思維與能力的發(fā)展創(chuàng)造出更大的價(jià)值.

學(xué)生一般運(yùn)用特殊值的試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律得到S15=29，S22=-44，S31=61，因此最終答案是-76.

如果能夠不滿足于個(gè)別特殊結(jié)論的得出并對(duì)一般結(jié)論進(jìn)行由此及彼、由表及里的擴(kuò)散式深入研究，這說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)具備了良好的數(shù)學(xué)思維慣性.

延伸1：研究一般規(guī)律，求Sn=？

延伸2：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，將每相鄰兩項(xiàng)結(jié)合可得Sn=-4-4-4-…-4=（-4）

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=-4-4-4-…-4+（4n-3）=（-4）·+（4n-3）=2n-1.

延伸3：結(jié)合上述兩個(gè)結(jié)果.

方法小結(jié)：符號(hào)因子（-1）n得到了很好的應(yīng)用，此處表現(xiàn)為（-1）n-1，前者為偶正奇負(fù)，后者則為奇正偶負(fù)，筆者給這個(gè)以前多次應(yīng)用過(guò)的方法起了一個(gè)自動(dòng)控制符號(hào)的小“杠杠”這一有趣的名字.

延伸4：可否有什么辦法能夠一次性地得到公式①呢？

通過(guò)錯(cuò)項(xiàng)加減法可一次性地得到公式①.

延伸5：構(gòu)造新數(shù)列{Sn}并求其前n項(xiàng)的和Tn.

則Pn=3-7+11-15+…+（-1）n-2·［4（n-1）-1］+（-1）n-1·（4n-1）.

又Pn=3-7+11-…+（-1）n-3·［4 （n-2）-1］+（-1）n-2·［4（n-1）-1］+（-1）n-1·（4n-1）.

兩式錯(cuò)項(xiàng)相加，得2Pn=3-4+4-4+…+（-1）n-·24+（-1）n-·14+（-1）n-·1（4n-1）=3-4 ［1-1+1-1+…-（-1）n-1］+（-1）n-1·

延伸6：數(shù)列{Sn}的各項(xiàng)依次為1，-4，5，-8，13，-8，9，-12，…，則數(shù)列{Tn}的各項(xiàng)依次為1，-3，2，-6，3，-9，4，能與上述Sn的表達(dá)式一樣，根據(jù)n的奇偶性將兩個(gè)結(jié)果合并嗎？

延伸6的難度與延伸3相比難度更大，但其中巧妙運(yùn)用自動(dòng)控制符號(hào)的小“杠杠”原理卻是一樣的，兩個(gè)表達(dá)式經(jīng)過(guò)加工變形在+1與-1上有區(qū)別之外，剩余部分都是一樣的，小“杠杠”安裝進(jìn)去即可得到：

分子中括號(hào)里4的系數(shù)分別是+1與-1，后面也分別為+1與-1，所以，當(dāng)n是一切正整數(shù)時(shí)，有統(tǒng)一公式Tn=這從實(shí)質(zhì)上來(lái)說(shuō)是與之前公式②完全相同的.

可以用兩種方法解決.

解法1：先求數(shù)列（{-1）n-1}的前n項(xiàng)和Qn.

解法2：再由n的奇偶性分別求和.

兩式合并起來(lái)又會(huì)怎樣呢？

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

所以，當(dāng)n為所有正整數(shù)時(shí)有統(tǒng)一公式：

壓軸問(wèn)題：③、④兩式具備怎樣的一致性呢？

方法1：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，③、④兩式都可以化為Rn=

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，③、④兩式都可以化為：

方法2：③、④兩式都可以化為：

二、反思評(píng)議

（1）具備節(jié)時(shí)高效的優(yōu)點(diǎn).時(shí)間緊是高三數(shù)學(xué)迎考復(fù)習(xí)階段最為突出的問(wèn)題，如果不任意用題海卷山來(lái)增加學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，那么時(shí)間對(duì)于高三所有的數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)其實(shí)都是一樣的，因此，如何在這樣一個(gè)恒定的時(shí)間段內(nèi)發(fā)揮課堂教學(xué)的高質(zhì)量、高效益就成為了所有高三數(shù)學(xué)教師必須認(rèn)真考慮的問(wèn)題.本文列舉的一系列延伸題組是建立在一個(gè)看似特別微小的填空題上的，這么多問(wèn)題的延伸在有限的時(shí)間內(nèi)對(duì)于學(xué)生思維的拓展與靈感的觸動(dòng)無(wú)法估量，高三數(shù)學(xué)教師如果能有如此變式延伸練習(xí)的教學(xué)意識(shí)，必然會(huì)在有限的時(shí)間內(nèi)獲得令人驚喜的巨大收獲.

（2）應(yīng)遵循科學(xué)發(fā)展的規(guī)律.數(shù)學(xué)課堂與國(guó)家發(fā)展一樣都應(yīng)講究科學(xué)的發(fā)展，蠻干、折騰都是一些沒(méi)有意義的無(wú)效勞動(dòng)，因此，教師在教學(xué)中應(yīng)遵循學(xué)生認(rèn)知與能力的發(fā)展規(guī)律層層遞進(jìn)、步步深入地落實(shí)教學(xué)，使學(xué)生能夠在教師的針對(duì)性引導(dǎo)中一步一個(gè)臺(tái)階地踏實(shí)提升，環(huán)環(huán)相扣且踏實(shí)科學(xué)的數(shù)學(xué)研究必然能對(duì)學(xué)生科學(xué)精神的樹(shù)立與科學(xué)態(tài)度的培養(yǎng)起到積極的作用.

（3）延伸拓展的覆蓋面得到擴(kuò)充.本文中從微小填空題所延伸出的諸多問(wèn)題都具備了“小”、“巧”、“活”、“寬”的特點(diǎn)，但回頭對(duì)這些小題進(jìn)行審視，我們不難發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含了非常豐富的知識(shí)、技能與思想，特殊數(shù)列、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和、錯(cuò)位相減法、符號(hào)因子的運(yùn)用等知識(shí)與方法以及所隱含的數(shù)學(xué)思想得到了“拆”、“湊”、“配”、“添”、“變”、“換”等小技巧的應(yīng)用，這在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中可以說(shuō)是重點(diǎn)中的重點(diǎn).

（4）理悟結(jié)合.邏輯思維與直覺(jué)思維的融合發(fā)展才是完整數(shù)學(xué)思維的表現(xiàn)，因此，教師在教學(xué)中應(yīng)對(duì)學(xué)生的悟性猜想、類比聯(lián)想、靈感頓悟等諸多方面的表現(xiàn)進(jìn)行隨時(shí)的觀察，并注重其這些方面能力的鍛煉與培養(yǎng).

（5）同樣應(yīng)注意分層.事物發(fā)展的不平衡性對(duì)課堂教學(xué)也提出了分層教學(xué)的要求，針對(duì)不同水平與能力的學(xué)生提出不同的要求并落實(shí)教學(xué)對(duì)于所有學(xué)生的發(fā)展來(lái)說(shuō)是必須的，基于典型例題并找準(zhǔn)研究的切入點(diǎn)所進(jìn)行的變式或延伸對(duì)于各水平層次的學(xué)生來(lái)說(shuō)都創(chuàng)造了廣闊的思維發(fā)展空間.

（6）同樣應(yīng)重視學(xué)生這一主體.教師在典型例題的延伸教學(xué)中應(yīng)盡量引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題，并想盡辦法讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題展開(kāi)研究，當(dāng)然，教師放手于學(xué)生不顧的行為也是錯(cuò)誤的，教師應(yīng)隨時(shí)關(guān)注學(xué)生在認(rèn)知、思維、探究上的諸多表現(xiàn)并在關(guān)鍵之處及時(shí)點(diǎn)撥，適當(dāng)?shù)亍包c(diǎn)一點(diǎn)”、“促一促”、“幫一幫”、“扶一扶”、“托一托”對(duì)于學(xué)生的困惑就是極有價(jià)值的“及時(shí)雨”.

（7）學(xué)習(xí)情趣高昂.興趣可以說(shuō)是鉆研探索與潛藏智慧的發(fā)動(dòng)機(jī)與挖掘機(jī)，很多創(chuàng)造靈感的形成都需要興趣的引爆.教師在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)迎考階段也不能一味用升學(xué)來(lái)催使學(xué)生拼搏努力，而應(yīng)該將新穎別致但又符合考試要求與學(xué)生認(rèn)知的題目提供給學(xué)生研究，學(xué)生在自己的研究中獲得一個(gè)個(gè)意想不到的結(jié)論、一個(gè)個(gè)跌宕起伏的探索歷程，必然能夠創(chuàng)造出更多的靈感、笑聲與掌聲.

（8）充滿勵(lì)志教育.數(shù)學(xué)解題的過(guò)程其實(shí)也蘊(yùn)含著豐富的情感與意志表現(xiàn).教師應(yīng)不斷引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生在解題探究中樹(shù)立起數(shù)學(xué)真理的執(zhí)著追求，使學(xué)生面對(duì)困難時(shí)不會(huì)輕易產(chǎn)生退縮、畏懼、動(dòng)搖的負(fù)面情緒，在一定的勝利中也不會(huì)輕易產(chǎn)生驕傲自滿的情感，使學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)探究的歷程中因?yàn)樽陨淼奶岣叨鸩綐?shù)立更高的要求，引導(dǎo)學(xué)生將升學(xué)看成個(gè)人成長(zhǎng)道路上的一個(gè)微小目標(biāo)并使其逐步培養(yǎng)起為祖國(guó)、民族發(fā)展而努力的遠(yuǎn)大理想.F