☉江蘇省張家港市沙洲中學(xué) 袁 霞

眾所周知，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)是整個中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).從復(fù)習(xí)教學(xué)的方式和難度來看，教師往往找不到合適的方法、典型的手段、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的試題，這導(dǎo)致數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)效率較低.從復(fù)習(xí)教學(xué)的現(xiàn)狀來看，其效率不高的主要因素有三：第一，復(fù)習(xí)教學(xué)沒有針對性，往往泛泛而教，不少復(fù)習(xí)教學(xué)就是不斷地用一張一張的訓(xùn)練卷替代了復(fù)習(xí)，低效而辛苦；第二，復(fù)習(xí)教學(xué)沒有層次性，缺乏思考，為了講題而講題，沒有區(qū)分度，也沒有目的性；第三，復(fù)習(xí)教學(xué)需要整合性，缺乏整合性的、零散的復(fù)習(xí)教學(xué)自然是低效的.鑒于這些因素，筆者以往后續(xù)復(fù)習(xí)教學(xué)需要做出符合學(xué)情的設(shè)計、試題的挖掘、改編，做出合理的、有層次的、有針對性的復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計，為學(xué)生提供高效的教學(xué)效果.

一、復(fù)習(xí)教學(xué)整合設(shè)計

整合是復(fù)習(xí)教學(xué)的第一原則.從復(fù)習(xí)教學(xué)的設(shè)計來看，我們不能將知識割裂復(fù)習(xí)，這樣會導(dǎo)致復(fù)習(xí)的零散、知識點(diǎn)的孤立和單一，因此，筆者以往的復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計都關(guān)注知識的連貫性和整合性，這樣才能讓學(xué)生從整體的視角審視所復(fù)習(xí)的知識的重要性和整體理解.比如以《曲線和方程》一節(jié)為例，不難發(fā)現(xiàn)大多數(shù)教師對其的復(fù)習(xí)沒有整體性的掌握，只是將概念羅列一下，給出幾個沒有相關(guān)性的問題讓學(xué)生做一做，這樣的教學(xué)是浮于表面，沒有深刻性的.筆者是這樣理解曲線和方程復(fù)習(xí)的整體性掌握的，給出復(fù)習(xí)教學(xué)整體性的設(shè)計思路，如下：

設(shè)計1：橢圓中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)是F（-1，0），求這一類橢圓中與直線l：2x-y+3=0有公共點(diǎn)且離心率最大的橢圓方程.

設(shè)計2：圓方程x2+y2=10，若弦BC的中點(diǎn)求該弦所在直線方程.

設(shè)計3： 求橢圓2x2+y2=1上的點(diǎn)到直線距離的最值.

設(shè)計4：設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，若則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____________.

設(shè)計說明：曲線和方程對于學(xué)生而言是什么？其實(shí)，教師都知道，學(xué)生根本對其不甚理解.原因很簡單，這一概念在考查中并不是以概念的形態(tài)考查進(jìn)行，而是更多地融入在其他知識中整合性的考查，導(dǎo)致教師本身也對其了解不多，不夠重視.筆者給出了四個問題的設(shè)計，對本課進(jìn)行了復(fù)習(xí)，來看一看這四個問題設(shè)計有什么作用：

設(shè)計1的作用：何為曲線的方程？方程的曲線？這是這一知識的基本概念.可以這么說，學(xué)生對這一概念本身就是茫然的，通過設(shè)計1，旨在暗示學(xué)生，公共點(diǎn)在曲線上，公共點(diǎn)自然滿足曲線橢圓的概念，即兩段焦半徑之和為定值.這恰是曲線的方程復(fù)習(xí)的第一要素：從代數(shù)上理解了第一層面，即曲線上的點(diǎn)是方程的解，從幾何上理解了第二層面，即曲線上的點(diǎn)需要滿足曲線定義，思考視角——曲線橢圓的定義.給出部分簡解：記右焦點(diǎn)Q（1，0），本題只要解決F（-1，0）關(guān)于直線l：2x-y+3=0的對稱點(diǎn)P，從而最小的2a=|PQ|.

設(shè)計2的作用：以圓為背景設(shè)計的本題，很自然地將問題解決的方式融入其中，學(xué)生思考方程的曲線有沒有特殊性？是圓還是橢圓？還是雙曲線？本題是圓，如何用特殊曲線的角度思考——自然是圓的幾何性質(zhì)，從初中到高中，圓是學(xué)生接觸的最早的圓錐曲線，自然對其的幾何性質(zhì)了解更多，利用垂徑定理、弦心距三角形獲得幾何方式的解決方案；從一般性的角度來說，曲線形態(tài)更為一般化是否具備解決途徑？比如，橢圓、雙曲線，還能這樣處理嗎？例如，橢圓方程2x2+y2=1，若弦BC的中點(diǎn)），求該弦所在直線方程.顯然不行，利用點(diǎn)差法是可行的.因此曲線和方程復(fù)習(xí)的第二要素：關(guān)注曲線形態(tài)，利用曲線性質(zhì)，思考視角——不同曲線上點(diǎn)的處理方式.

設(shè)計3的作用：本題對于學(xué)生而言，思路較為直觀，其很自然能體會到相切位置的狀態(tài).這樣的解決方式回到了曲線上切點(diǎn)的代數(shù)處理方式——判別式等于零，思維含量低、運(yùn)算量大；曲線上的點(diǎn)滿足曲線方程，也可以有別樣的運(yùn)用方式，這里考慮點(diǎn)的不同坐標(biāo)形態(tài)——三角形態(tài)，令，利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合三角知識可求得.因此曲線和方程復(fù)習(xí)的第三要素：關(guān)注曲線上的點(diǎn)坐標(biāo)形態(tài)的多樣性，滿足方程的解都在曲線上，思考視角——滿足曲線上的點(diǎn)的不同坐標(biāo)形態(tài).

圖1

設(shè)計4的作用：本題是高考真題，觀察圖1，我們發(fā)現(xiàn)最大的困難是如何解決點(diǎn)的運(yùn)用方式？這里提出了對曲線上點(diǎn)的運(yùn)用新的思考.回想向量們就不難想到橢圓的對稱性，以保障在同一直線狀態(tài)下運(yùn)用韋達(dá)定理，從而獲得解決.因此曲線和方程復(fù)習(xí)的第四要素：關(guān)注曲線的幾何性質(zhì)，如對稱性等，使得點(diǎn)的問題解決獲得更簡潔的處理，思考視角——滿足方程的點(diǎn)在曲線上的對稱性.給出簡解：設(shè)直線AF1與橢圓的另一個交點(diǎn)為B1，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（x2，y2），由圓對稱性，可得|F1A|=5|F1B1|，得y1=-5y2.設(shè)直線AF1為x=y-1=0，由所以（故點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，±1）.

說明：本案例描述的是對于某一知識點(diǎn)進(jìn)行的整合性復(fù)習(xí)教學(xué)，其完全屬于教師自主開發(fā)的復(fù)習(xí)教學(xué)專題，這樣專題的開發(fā)，大大濃縮了教學(xué)的精華，將復(fù)習(xí)教學(xué)不再是就題論題式的訓(xùn)練，而是完全融入了知識點(diǎn)和更高層次的設(shè)計，既有點(diǎn)在曲線上最基本的理解——定義運(yùn)用，也有點(diǎn)在曲線上的變化——性質(zhì)的使用，更有曲線形態(tài)的思考——對稱性等，這都是曲線和方程的深度復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計，將知識的整合性完美融合，體現(xiàn)了復(fù)習(xí)教學(xué)的高效.

二、復(fù)習(xí)教學(xué)解法設(shè)計

復(fù)習(xí)教學(xué)離不開解題，更要從問題的解決中收獲知識運(yùn)用的方方面面，體會方法運(yùn)用的合理性，這都需要教師對于解法的特別關(guān)注.如何在解題中也體現(xiàn)整體性的層次設(shè)計呢？這里首先需要選擇合適的數(shù)學(xué)問題，一個優(yōu)秀的問題，自然有不同的解法，不同的解法反映了學(xué)生不同的解決能力，體現(xiàn)了解決問題的整體性層次，有助于學(xué)生開拓解決問題的思路，獲得更多的解題經(jīng)驗.

例題：在平面直角坐標(biāo)系中，A、B分別是x軸和y軸上的動點(diǎn)，若AB為直徑的圓C與直線2x+y=0相切，則圓C面積的最小值為____________.

分析：本題改編自高考真題江西卷，解決本題的方式方法多種多樣，但是不同的學(xué)生能體會的是不同的解法，教師的作用在于層層遞進(jìn)式的引導(dǎo)學(xué)生思考問題解決的層次性，體會多角度思考、多角度知識的運(yùn)用、發(fā)散思維的培養(yǎng)，獲得知識的整體性.

解法1：從到定直線距離等同于到定點(diǎn)距離這一視角出發(fā)，我們自然發(fā)現(xiàn)這里考查的是拋物線的定義，這是每一個學(xué)生都應(yīng)該思考的點(diǎn)，因此問題可以這樣解決：由已知得點(diǎn)C的軌跡為以O(shè)為焦點(diǎn)，直線2x+y-4=0為準(zhǔn)線的拋物線，所以將問題轉(zhuǎn)化為求拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值.如圖2，設(shè)原點(diǎn)O到直線2x+y-4=0的距離為d，則d，點(diǎn)C到直線2x+y-4=0的距離是圓的.對定義的理解，是問題解決的第一種正規(guī)思維，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性.

圖2

圖3

解法2：不少學(xué)生對于定義的理解是標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)下的，其沒有深刻理解到定義的博大精深，其運(yùn)用代數(shù)化的方式求解軌跡，因此教師從整體性的角度給予指導(dǎo)：由已知得點(diǎn)C（x，y）的軌跡方程是化簡整理得x2+4y2-4xy+16x+8y-16=0，所求的問題，將轉(zhuǎn)化為求曲線E上的一點(diǎn)到直線2x+y-4=0的距離最小值，此時只須將直線2x+y-4=0向曲線E平移，當(dāng)與曲線E相切時，切點(diǎn)P（x0，y0）到直線2x+y-4=0的距離就是半徑r的最小值.如圖3，設(shè)切線方程為2x+y+t=0，由消去y0得28t-16=0，由于相切，所以Δ=（20t）2-4×25×（4t2-8t-16）=0，解得t=-2，此時從而得到等式r=min

解法3：對于圓來說，代數(shù)化的方式并非是最完美的解決方式，其有更為高效的方式——幾何.從初中到高中，圓是研究的最多的圓錐曲線，因此我們從整體性理解的角度設(shè)計解法3，讓學(xué)生站在更高的視角思考問題的解決.設(shè)圓C與直線2x+y-4=0相切于點(diǎn)P，則由已知得圓C過點(diǎn)A、B、O、P，且有CP垂直于直線2x+y-4=0，如圖4，顯然當(dāng)O、C、P三點(diǎn)共線時圓C半徑取最小值，此時點(diǎn)O到直線2x+y-4=0的距離是圓C的直徑.

圖4

說明：本題還有其他兩種的解法，限于篇幅，筆者不再贅述了.從這里常規(guī)的三種解法來思考，不同層次的學(xué)生有不同的思考，但是教師在教學(xué)中要考慮到學(xué)生知識的整體建構(gòu)，因此一題多思是必要的，幫助學(xué)生整體的把握問題解決的方式方法，這種復(fù)習(xí)教學(xué)解題方面的典型設(shè)計必不可少.

本文從復(fù)習(xí)教學(xué)最典型的兩個角度，結(jié)合案例談了自身的一些設(shè)計和想法，考慮到解題的整體性注重的是一題多思、多解，教學(xué)的整體性設(shè)計注重的是問題選擇后帶給學(xué)生知識的層次性、啟發(fā)性，久而久之，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力會有質(zhì)的飛躍，限于才疏學(xué)淺，更多的設(shè)計請讀者批評指正.

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