☉江蘇省常熟市梅李高級(jí)中學(xué) 馬俊華

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的質(zhì)量如何提升？筆者認(rèn)為我們要通過(guò)高三復(fù)習(xí)提升學(xué)生的綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，其中問(wèn)題轉(zhuǎn)化的能力最為關(guān)鍵，能夠直接影響解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的效果與質(zhì)量，數(shù)學(xué)問(wèn)題在一步步的轉(zhuǎn)化中歸結(jié)為熟悉而簡(jiǎn)單的問(wèn)題意味著問(wèn)題的解決，因此，我們的復(fù)習(xí)課教學(xué)要有意識(shí)地教給學(xué)生如何進(jìn)行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，下面就該話題談幾點(diǎn)筆者的思考.

一、回歸定義，捋清問(wèn)題含義

很多數(shù)學(xué)題目中都會(huì)包含“焦點(diǎn)”、“準(zhǔn)線”、“漸近線”等專業(yè)術(shù)語(yǔ)，因此，回歸定義并理解專業(yè)術(shù)語(yǔ)成為解決這部分題目最為重要的首要任務(wù).因此，教師在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生對(duì)這些隱藏于專業(yè)術(shù)語(yǔ)背后的緊密關(guān)聯(lián)進(jìn)行梳理，學(xué)生只有在弄清問(wèn)題的條件下才能繼續(xù)沿著正確的思維方向進(jìn)行解題.

例1 一股水流注入一正圓錐形容器時(shí)的速率為v，該容器底面水平且頂點(diǎn)向下，已知其底面半徑與錐高分別為a和b，則水深為y時(shí)，水面上升的速率應(yīng)該是多少呢？

此題的審題環(huán)節(jié)首先應(yīng)弄清楚水面上升的速率與水流入容器的速率這兩個(gè)關(guān)鍵的概念，回歸定義則很快能理解水面上升的速率即為水的深度增加的速率，簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)也就是水深的變化率.那么，什么又是變化率呢？再次回歸定義可知，導(dǎo)數(shù)為一個(gè)函數(shù)的變化率，梳理至此我們便可以將水面上升的速率用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為理，水流入容器時(shí)的速率也可以表示為.此時(shí)再結(jié)合題中其他的條件，題意的理解也就不難了.

關(guān)鍵概念的梳理與理解在有些題目中起的作用還要直接，有的甚至能夠直接得出答案.

二、變更問(wèn)題，深化理解規(guī)律

波利亞主張解題中應(yīng)不斷變換問(wèn)題直至最后尋得有用的東西.因此，教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)不斷引導(dǎo)學(xué)生將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化成自己所熟悉或易于理解的問(wèn)題.

例2 求證：對(duì)任意n≥6都會(huì)存在一個(gè)能夠剪成n個(gè)全等三角形的凸六邊形.

這一問(wèn)題如果換成下面這種說(shuō)法就會(huì)更加簡(jiǎn)單：n個(gè)全等三角形能拼成一個(gè)凸六邊形嗎？為什么？

例3 證明存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù).

“無(wú)窮”這一概念對(duì)于剛剛接觸的學(xué)生來(lái)說(shuō)是較為抽象且不易理解的，因此，此題可以變化為：證明不存在最后一個(gè)素?cái)?shù)P.這兩種等價(jià)的敘述往往能令有經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生很快聯(lián)想到反證法.

這道“證明題”甚至還可以變換成“求解題”來(lái)解決：給定了素?cái)?shù)2，3，5，…，P，跟這些給定的素?cái)?shù)都不同的新素?cái)?shù)N還存在嗎？

由此看來(lái)，題目所要表達(dá)的意思從不同的角度進(jìn)行變更也會(huì)產(chǎn)生不同的解題方法.

事實(shí)上，此題的變化如果本著更加迎合“數(shù)學(xué)思維”的原則進(jìn)行改變，還能這樣呈現(xiàn)：

例4 任意六人中肯定有三人互不認(rèn)識(shí)或者相互認(rèn)識(shí)的說(shuō)法成立嗎？請(qǐng)證明.

如果將題中的六人用六個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，此題即可變?yōu)椋簯?yīng)該如何證明6個(gè)點(diǎn)的圖中必然會(huì)有3個(gè)點(diǎn)互不相連或兩兩相連？

例5 甲、乙、丙三人手中都有標(biāo)記著不超過(guò)100的撲克，同一個(gè)人手上的撲克所標(biāo)記的自然數(shù)各不相同，如果從甲、乙手上任意抽取一張撲克所得的數(shù)字之和與丙手中任意撲克上的數(shù)字都不相同，那么，三人手中一共最多有多少?gòu)垞淇四兀?/p>

此題的敘述更換成集合語(yǔ)言也就更加清楚了：設(shè)集合{1，2，3，…，100}的三個(gè)子集為A、B、C，若?a∈A，b∈B，均有a+b?C，則|A|+|B|+|C|的最大值是多少？如此變更使得題中的文字干擾大大減少，解答時(shí)的書(shū)寫也會(huì)更加簡(jiǎn)便而清晰.

三、習(xí)題歸納，類化思想方法

教師在復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)還應(yīng)該幫助學(xué)生學(xué)會(huì)將題目歸納成類，學(xué)生一旦能夠總結(jié)某類問(wèn)題的方法與規(guī)律，以此為契機(jī)建構(gòu)單元知識(shí)體系也就不難了.一般來(lái)說(shuō)，歸類時(shí)可以從形式不同但具相似之處的習(xí)題或者類型不同但本質(zhì)可以整合的習(xí)題著手進(jìn)行歸納.

例6 題組：

（2）設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n+1）·an+1an=0（n=1，2，3，…），它的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____；

（3）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）·an-（1n≥2），則{an}的通項(xiàng)an=______.

學(xué)生在觀察、分析和比較中很快發(fā)現(xiàn)了它們雖然在形式上各有不同，但其實(shí)質(zhì)相同.教師如果能在這一方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)訓(xùn)練，學(xué)生在長(zhǎng)期的訓(xùn)練與積累中必然會(huì)不斷提升自己的知識(shí)遷移能力.

習(xí)題的本質(zhì)規(guī)律得到歸納的同時(shí)，學(xué)生的抽象概括能力也在習(xí)題的不斷開(kāi)發(fā)與整合中得到了很好的培養(yǎng).

四、適度開(kāi)放，增強(qiáng)思維與能力

綜合性開(kāi)放題在高三數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)教學(xué)中也是必不可少的，學(xué)生在問(wèn)題的積極探索中往往能夠培養(yǎng)自己靈活解題的綜合能力.

例8 如圖1，已知A（0，2）、B（1，0）、C（-1，0）是平面直角坐標(biāo)系xOy中的三個(gè)點(diǎn)，你能構(gòu)造出一些函數(shù)關(guān)系式并使

其圖像經(jīng)過(guò)A、B、C這三個(gè)點(diǎn)嗎？或者你覺(jué)得可有曲線方程的曲線能夠經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)？

練習(xí)：

1.運(yùn)用二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等已學(xué)函數(shù)的知識(shí)構(gòu)造常見(jiàn)函數(shù)如下：

圖1

2.運(yùn)用曲線方程知識(shí)構(gòu)造常見(jiàn)曲線方程如下：

學(xué)生在無(wú)窮的解答中不斷發(fā)揮想象力，常見(jiàn)的函數(shù)與曲線方程也在學(xué)生不斷的交流與探索中得到了全面的復(fù)習(xí).

五、強(qiáng)調(diào)規(guī)范，避免反復(fù)出錯(cuò)

解決“會(huì)”和“對(duì)”之間的矛盾是永遠(yuǎn)值得數(shù)學(xué)教師與學(xué)生關(guān)注的，但仍有不少學(xué)生在“會(huì)”和“對(duì)”之間難以統(tǒng)一，很多學(xué)生在會(huì)做的題上還是會(huì)出現(xiàn)算錯(cuò)、看錯(cuò)、抄錯(cuò)等錯(cuò)誤，這些錯(cuò)誤應(yīng)該如何避免呢？教師在日常教學(xué)中應(yīng)對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行關(guān)注并及時(shí)幫助學(xué)生矯正，以下這些改正錯(cuò)誤時(shí)的思想是教師應(yīng)該著重灌輸?shù)模?/p>

（1）考試時(shí)應(yīng)做到操作規(guī)范、計(jì)算錯(cuò)誤并保持精力集中.精力集中這一優(yōu)秀的品質(zhì)是學(xué)生解答數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)最為重要的，學(xué)生應(yīng)該在平日的練習(xí)中注重養(yǎng)成.

（2）出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)不應(yīng)逃避，應(yīng)仔細(xì)排查原因并及時(shí)做好錯(cuò)題的記載.

（3）解題快要結(jié)束時(shí)應(yīng)避免由于粗心而導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤.比如：①不能將函數(shù)y=1的單調(diào)區(qū)間（-∞，0），（0，∞）x寫成（-∞，0）∪（0，+∞），或“x＜0或x＞0”，或{x|x＜0或x＞0}.②求函數(shù)y=（fx）的定義域與值域時(shí)，不能僅僅求出x和y的取值范圍卻不將其寫成集合的形式.③區(qū)間的開(kāi)閉這一問(wèn)題需要警惕.如：函數(shù)的定義域?yàn)镽，求k的取值范圍.正確答案是）顯然就錯(cuò)了.④解決應(yīng)用題時(shí)結(jié)果應(yīng)帶上單位.⑤注意角的范圍，正確書(shū)寫結(jié)論.⑥審題應(yīng)細(xì)心，盡量能劃關(guān)鍵詞.有的填空題或選擇題要求的是錯(cuò)誤命題的數(shù)量，但因?yàn)槠綍r(shí)做題時(shí)關(guān)注的大多是正確命題的數(shù)量，很多學(xué)生就會(huì)先入為主地將正確命題的數(shù)量填寫上去導(dǎo)致此題錯(cuò)誤.F