☉首都師范大學數(shù)學科學學院 覃 淋

近年來，中小學數(shù)學教材的比較研究已成為一個研究熱點.數(shù)學教材是由正文、例題、習題三部分有機組成的，習題的設置在一定程度上反映了教材的特征.因此，對數(shù)學教材習題的研究是教材研究的一個重要方面.就目前教材研究情況來看，大都集中在代數(shù)、幾何、三角、向量和微積分等方面，很少有研究者涉及“統(tǒng)計”部分的比較研究.少數(shù)一些文獻，也主要是集中在“概率”部分的比較研究，或是將“統(tǒng)計”與“概率”放在一起進行比較研究.此外，也有部分學者對初中數(shù)學教材的“統(tǒng)計”內容進行了比較研究，但很少有學者對高中數(shù)學教材中的“統(tǒng)計”內容進行比較研究.

現(xiàn)代社會是一個信息化的社會，大多數(shù)信息都以量化的形式傳播，統(tǒng)計學正是收集和分析帶隨機性誤差的數(shù)據(jù)的科學.隨著新課程改革的持續(xù)深入進行，統(tǒng)計的教學也越來越受到重視.《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》將發(fā)展學生的“數(shù)據(jù)分析觀念”作為數(shù)學課程的重要目的之一.在《普通高級中學數(shù)學課程標準（實驗）》進一步提出了發(fā)展學生的“數(shù)據(jù)處理”的基本能力，再到如今數(shù)學課程標準修訂，高中數(shù)學課程標準修訂組的專家提出了“六大數(shù)學核心素養(yǎng)”：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析，這里的“數(shù)據(jù)分析”能力顯然是針對“統(tǒng)計”內容的.基于此，本研究選擇了高中數(shù)學教材中“統(tǒng)計”內容作為研究主題.同時考慮到東亞地區(qū)都深受儒家文化的影響，和我國在許多方面都有共同之處.在一定程度上，他們的數(shù)學教育改革經(jīng)驗能給我國的數(shù)學教育改革提供更多的參考.選擇了中國大陸、日本、中國臺灣地區(qū)現(xiàn)行的高中數(shù)學教材，通過構造統(tǒng)計習題難度測量模型，對這三個地區(qū)的三套高中數(shù)學教材“統(tǒng)計”部分習題的難度進行比較，希望能為我國高中數(shù)學教材統(tǒng)計部分習題的設置、編寫的完善提供一些建議.

一、研究對象及研究工具

（一）教材樣本

由于在許多國家教材的出版是一種商業(yè)行為，對于學校選擇教材，也缺乏國家層面上的指導.考慮教材的使用范圍及教材是否能體現(xiàn)所在地區(qū)課程標準的理念，再結合教材的出版時間，最后確定了表1中所列的數(shù)學教材.

表1 教材樣本及基本信息

研究中，統(tǒng)計的習題包括：教材中正文的練習，每一節(jié)結束后的習題，每一章的章末復習題，中國臺灣教材中的練習包括課堂討論、隨堂練習、課堂活動三類.1個題目如果有多個小題，按題目中小題個數(shù)計算；一個題目有連續(xù)幾個問，但這些問題沒有分成（1）、（2）、（3）……這樣的，仍當作一個題目計算.如中國大陸教材必修3P74的練習.考慮到中國臺灣、日本數(shù)學教材都將正態(tài)分布放在統(tǒng)計內容中的，而中國大陸教材中則是放在選修部分的概率內容中的，因此這里統(tǒng)計的習題數(shù)目也包括了正態(tài)分布內容中的習題.

（二）統(tǒng)計習題難度測量模型

在參考已有研究的基礎上，并結合“標準”中對統(tǒng)計內容的要求、統(tǒng)計習題的特征以及所研究教材的編排特點，構建了一個六因素多水平的統(tǒng)計習題難度測量模型，如表2：

表2 統(tǒng)計習題難度測量模型

賦值：比如一道題在“背景”難度影響因素是“公共常識”水平、在“運算”難度影響因素處于“簡單運算”水平，“認知要求”難度影響因素屬于“遷移性理解”水平，并且是探索性題，與例題無關，包含2個知識點.則在以上六個習題難度影響因素中分別賦值：3，2，3，3，3，2.

計算：根據(jù)上述等級制，分因素統(tǒng)計樣本教材中各水平的題目數(shù)量，并采用如下計算公式計算各習題難度因素的加權平均值：

其中，i表示第i個習題難度影響因素，j表示某一個難度影響因素所處的水平；Ai表示第i個習題難度影響因素的加權平均值；Bij表示第i個習題難度影響因素在第j個水平上的權重，我們依水平分別取1，2，3，…，即Bij=j.如B32表示“習題認知要求”中“概念性理解”水平的權重B32=2.nij表示所選教材習題中屬于第i個習題難度影響因素，在第j個水平上的題目的個數(shù)，n表示所選教材習題的總數(shù).如n12表示第1個難度影響因素（習題背景）中處于第2水平（個人生活）的題目的個數(shù).

二、統(tǒng)計結果與分析

（一）統(tǒng)計結果

依照表2給出的統(tǒng)計習題難度測量模型，統(tǒng)計各難度因素中處于各水平的習題的數(shù)量，得到如表3的結果.

表3 三套高中數(shù)學教材難度因素的比較

難度因素 水平中國大陸 日本 中國臺灣題量百分比題量百分比題量百分比關聯(lián)程度高度相關 4 3.17% 28 44.45% 18 15.52%一般相關 75 59.53% 21 33.33% 56 48.27%無關 47 37.30% 14 22.22% 42 36.21%知識綜合1個 6249.21% 2133.34% 54 46.55%2個 4535.71% 2133.33% 38 32.76%3個及以上 19 15.08% 21 33.33% 24 20.69%

（二）結果分析

這里先從每一個習題難度影響因素進行分析，然后再綜合的進行分析.

（1）在習題背景因素上的差異.

三套教材中不涉及實際背景的習題分別占17.46%、46.03%、26.73%，與個人生活有關的習題分別占16.67%、28.57%、32.76%，屬于“公共常識”的習題分別占49.20%、20.64%、38.79%，屬于“科學情境”的習題分別占16.67%、4.76%、1.72%.在背景因素上統(tǒng)計結果如圖1所示.

圖1 三套教材在習題背景因素上的比較

從圖1可以發(fā)現(xiàn)，在“無背景”水平上，日本數(shù)研版教材所占比例是最大的，幾乎一半都是這種題目，遠高于人教A版和臺灣南一版教材.在“個人生活”水平上，人教A版相對于原人教版變化不大，都不到17%，遠低于數(shù)研版教材和南一版教材所占比例.在“公共常識”水平上，人教A版差不多達到了一半，數(shù)研版則只有不到21%.在“科學情境”水平上，人教A版教材是最多的，達到了17%，遠遠高于數(shù)研版和南一版教材.整體來看，三套教材在習題背景的四個水平上都不是很均勻.

（2）在運算因素上的比較.

人教A版教材中不涉及運算、簡單運算、復雜運算的習題所占比例分別為63.49%、26.99%、9.52%；數(shù)研版教材中三種水平的習題所占比例分別為17.46%、41.27%、41.27%；南一版教材三類習題所占比例分別為18.10%、29.31%、52.59%.在運算因素上的統(tǒng)計結果如圖2所示.

圖2 三套教材在運算因素上的比較

從圖2可以看到三套教材在“運算”因素上的差異主要表現(xiàn)在“無運算”水平和“復雜運算”水平，在“簡單運算”水平上相差不大.人教A版統(tǒng)計部分的習題中無運算占比高達63%，而在屬于復雜運算的習題不到10%，這似乎與中國以“雙基”為特點的數(shù)學教育不符，但從“標準”中我們可以找到答案.在統(tǒng)計部分，“標準”強調的是對統(tǒng)計思想的理解.

而南一版教材恰好相反，無運算的習題不到20%，復雜運算的習題超過了50%.從圖中還可以看到一個有趣的“聚類”現(xiàn)象，在“無運算”水平，人教A版教材遠高于另外2種教材；而在“復雜運算”水平，卻又遠低于數(shù)研版和南一版教材.這不得不讓我們深思，在統(tǒng)計與概率的教學中，是否過多地把計算機作為一種計算工具，而忽略了其他更重要的功能，如計算機模擬試驗.雖然現(xiàn)代信息技術給我們的數(shù)學教學帶來了極大的便利，但以計算器和計算機為代表的現(xiàn)代信息技術只是作為一種教學的輔助手段.

（3）在認知要求上的差異.

三套教材中概念性記憶水平習題分別占0%、17.46%、9.48%，處于概念性理解水平的習題所占比例分別為55.56%、46.03%、55.17%，屬于遷移性理解水平的題目分別占34.92%、36.51%、33.62%，屬于綜合性探究水平的習題分別占9.52%、0%、1.73%.在認知要求因素上的統(tǒng)計結果如圖3所示.

圖3 在認知要求因素上的比較

在“認知要求”因素上，可以看到三套教材是比較一致的，習題最多的都是處于“概念性理解”水平，這一水平的習題強調對概念、公式、法則等的理解，而不僅僅是簡單的記憶.其次，在“遷移性理解”水平上，三套教材差異也不大.這說明了教材習題是要求能運用所學知識去解決一些相關的問題.這種一致性在某種程度上說明了國際數(shù)學教育改革的趨勢是大致相同的——強調數(shù)學的應用性，讓學生通過所學數(shù)學知識去解決實際問題.

就統(tǒng)計與概率而言，它們本身就具有較強的應用性，和實際生活聯(lián)系緊密.生活中，電視、報紙、網(wǎng)絡上經(jīng)常提到平均數(shù)，天氣預報也會經(jīng)常提到明天某地區(qū)降雨概率是多少，彩票中獎的概率等.因此，“統(tǒng)計與概率”的學習應與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，學生才可能用概率或統(tǒng)計的觀點和思維去分析和解決實際問題.

（4）在習題類型上的不同.

在習題類型因素上的統(tǒng)計結果如圖4所示.

圖4 在習題類型因素上的比較

在“習題類型”因素上，同樣可以發(fā)現(xiàn)三套教材是比較一致的，都集中在訓練性題目上.數(shù)研版教材全都是訓練性題目，說明了在儒家文化影響下的東亞國家里，相對而言都強調對“雙基”的掌握，在某種程度上解釋了為什么亞洲學生總能在一些國際性測試（TIMSS、PISA）中拿高分.但這并不能說明我們學生問題解決的能力強于歐美國家，如相關研究表明：中國學生在計算題、常規(guī)問題和條件受限問題解決上遠高于美國學生，但在解決開放問題時卻弱于美國學生.

（5）在“與例題關聯(lián)程度”因素上的比較.

三套教材中與例題高度相關的習題分別占3.17%、44.45%、15.52%，與例題一般相關的習題所占比例分別為59.53%、33.33%、48.27%，與例題無關的習題分別占37.30%、22.22%、36.21%.在“與例題的關聯(lián)程度”難度因素上的統(tǒng)計結果如圖5所示.

圖5 在“與例題關聯(lián)程度”因素上的比較

從圖中可以看出，除數(shù)研版教材外，另外兩套教材的題目大都是和教材例題一般相關.三套高中數(shù)學教材中只有日本教材的加權平均值低于2.這其實和日本教材習題的編排方式有很大關系，日本數(shù)研版教材一般會在講解一個知識點后，給出一個例題，例題后會給出1～2個“練習”.這種練習一般都和例題有很高的相似度，甚至很多“練習”只是把例題的數(shù)據(jù)更改了一下.這種練習題學生直接用例題給出的方法就可以輕松的解決，幾乎沒有難度.

以數(shù)研版教材中的題目為例，在數(shù)學B中的P103有這樣一個練習：“一個袋中有白球3個，紅球2個.現(xiàn)從袋中同時取出兩個球，記其中白球個數(shù)為X，求X的期望值.”

而在此練習題之前，有類似的一個例題：“一個袋中有白球4個，黑球3個.現(xiàn)從袋中同時取出兩個球，記其中白球個數(shù)為X，求X的期望值.”

很顯然，練習題的解題思路和例題是完全一樣的，只有在求取出的白球個數(shù)不同時的概率，在數(shù)字上和例題不一樣.實際上，在臺灣南一版教材中，某些地方練習題的編寫也采取了這種方式.應注意的是，這樣的安排對具體知識點而言，有較強的針對性，有助于學生對知識的掌握.在“無關”水平上，人教A版和南一版教材所占比重相近.

（6）在知識綜合因素上的比較.

人教A版教材的126個習題中單個知識點的習題占49.21%，2個知識點的習題占35.71%，3個及以上知識點的習題占15.08%；數(shù)研版教材中單個知識點的習題占33.34%，2個知識點的習題占33.33%，3個及以上知識點的習題占33.33%；南一版教材中三種水平的習題所占比例分別為46.55%、32.76%、20.69%.在知識綜合因素上的統(tǒng)計結果如圖6所示.

圖6 在知識綜合因素上的比較

由圖可知，人教A版和臺灣南一版教材的習題都是隨著知識點數(shù)量的增加而減少，即都是一個知識點的習題數(shù)量最多，2個知識點的習題數(shù)量次之，3個及以上知識點的習題數(shù)量最少.從總體上來看，人教A版的知識綜合程度是最低的，日本數(shù)研版教材的知識綜合程度最高.實際上，這和日本高中數(shù)學教學的總目標的要求是一致的，在其“課程標準”中教學總目標第一條就明確指出：通過數(shù)學活動，加深對數(shù)學基本概念、原理和法則體系的理解.

（三）綜合難度的比較

前面，根據(jù)6個統(tǒng)計習題的難度影響因素對三套教材統(tǒng)計部分的習題分別進行了比較，為進一步考查三套教材統(tǒng)計部分習題的綜合難度水平，利用前面提到的加權平均值計算公式，計算了各難度因素的加權平均值.結果如表4.

表4 三套教材統(tǒng)計習題各難度影響因素的加權平均值

為了更加直觀，我們作出如圖7所示的雷達圖：

圖7 三套教材統(tǒng)計習題綜合難度的比較

這個六邊形圖直觀地反映出：在習題背景、關聯(lián)程度、習題類型和認知要求四個難度因素上，人教A版教材習題的難度都高于數(shù)研版教材和南一版教材；而在知識綜合因素上，數(shù)研版教材高于人教A版和南一版教材.分別從三套教材的加權平均值來看，教材在“習題背景”、“運算”和“關聯(lián)程度”三個因素上差別較大.此外，還可以發(fā)現(xiàn)，人教A版在6個難度因素上很不平衡，相差達到了1.19，數(shù)研版教材和南一版教材分別為0.46，0.60.相較而言，在6個難度因素上比較平衡.

人教A版在“習題背景”和“認知要求”兩個因素上要遠高于其他教材.尤其是在“背景”因素上，人教A版中大部分習題都是“公共常識”和“科學情境”兩種水平，離學生個人生活實際較遠.在“運算”因素上，人教A版教材是最低的.在“習題類型”因素上，最高的是人教A版，數(shù)研版和南一版教材相差不大.在“知識綜合”因素上，數(shù)研版教材最高，平均每題包含2個知識點，其次是南一版教材，人教A版的知識綜合程度最低.

三、結論

通過對人教A版、日本數(shù)研版和臺灣南一版三套高中數(shù)學教材中“統(tǒng)計”部分習題難度的比較研究，得出了以下結論：

（1）從習題背景上看，人教A版教材屬于公共常識背景的習題最多，相比原人教版教材，無背景的習題少了很多，但數(shù)學來源于現(xiàn)實，存在于現(xiàn)實，“公共常識”和“科學情境”背景都是學生平時較少接觸的，離學生的實際生活情境較遠，這類習題過多可能會讓學生覺得這些問題是為了強調所謂的數(shù)學應用而“編造”的題目，不利于培養(yǎng)學生的應有意識.因此，人教A版教材可以借鑒數(shù)研版和南一版教材，在習題中適當增加貼近學生個人生活背景的習題.

（2）在“運算”因素上，人教A版教材是最低的，這似乎和印象中的我國教材有些不相符合.這可能和“標準”中非常強調對統(tǒng)計概率思想的體會有關，但是強調對數(shù)學思想方法的體會并不意味著要降低對學生計算能力的要求，而應該在二者之間找到一個平衡點.

（3）在“認知要求”和“習題類型”因素上，三套教材比較一致，教材的習題最多的都是“概念性理解”水平，習題也大都是訓練性題目.這可能和東亞地區(qū)都深受儒家文化的影響有一定的關系.

（4）在“與例題的關聯(lián)程度”因素上，人教A版教材與例題高度相關的習題僅有3.17%，只有4道，遠低于數(shù)研版和南一版教材.從習題的知識綜合來看，人教A版教材大部分題目都僅含有1～2個知識點，含3個及以上的知識點的習題僅有15%.

四、啟示

1.習題的安排，應考慮各難度因素之間的平衡

研究表明，三套教材都沒有保持6個習題難度因素之間的平衡，知識綜合因素的加權均值相比其他5個因素要小很多，在“認知要求”上要求都比較高.在人教A版中，背景和運算兩個難度因素之間的加權均值相差達到了1.19.因此，任何一套教材中習題的選擇和編寫都應該與數(shù)學內容緊密結合，充分考慮其特殊性，同時注重各個難度因素之間的平衡.在習題的編寫和設置中，如何保持各個難度因素之間的平衡是一個值得深入研究的課題，而各個習題難度因素應該達到怎樣的一個平衡狀態(tài)，也是一個需要深入研究的課題.

2.習題的安排可以更具針對性

這一點日本數(shù)研版教材做得比較好，教材一般在講解一個知識點后，會馬上給出一個例題，對介紹的知識點進行運用，去解決問題.然后在例題后面一般是1～2個“練習”，對所學知識進行進一步的強化練習.反觀我國高中數(shù)學教材，一般是在一小節(jié)內容結束后，才設置練習題目，這樣做的話，針對性就不是那么強.日本數(shù)學教材的這種做法值得借鑒.

3.要注重數(shù)學知識之間的聯(lián)系

研究表明，在習題的知識綜合因素上，人教A版教材的加權均值是最低的，大部分題目都僅含1～2個知識點，含有3個及以上知識點的題目所占比例僅為15.08%.數(shù)研版教材含有3個及以上知識點的題目所占比例達到了33.33%，比A版教材的2倍還多.因此，可以借鑒日本教材，在教材中安排一些知識綜合程度較高的題目.這樣可以幫助學生對數(shù)學產(chǎn)生一個整體的認識，幫助學生形成“數(shù)學是一個不可分割的有機整體”的正確觀念.

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