☉江蘇省江陰市第二中學(xué) 張志剛

數(shù)學(xué)公式是揭示和反映數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性及屬性間的聯(lián)系的一種重要形式，其產(chǎn)生、發(fā)展的過程蘊(yùn)藏著極其豐富的數(shù)學(xué)思想方法，這些數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的形成與提升具有重要價(jià)值.因此，如何開展好公式課教學(xué)是廣大一線教師不得不面對(duì)的問題.最近，縣里舉行了教壇新秀課堂教學(xué)評(píng)比，上課的主題是“余弦的兩角差公式”，筆者觀摩了8位老師的教學(xué)過程，發(fā)現(xiàn)存在著不少的問題.下面筆者就結(jié)合課例，談?wù)剶?shù)學(xué)公式課教學(xué)的注意事項(xiàng).

秘訣一、情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)簡潔明了

教學(xué)情境就是以直觀方式再現(xiàn)書本知識(shí)所表征的實(shí)際事物或者實(shí)際事物的相關(guān)背景，顯然，教學(xué)情境解決的是學(xué)生認(rèn)識(shí)過程中的形象與抽象、實(shí)際與理論、感性與理性、舊知與新知的關(guān)系和矛盾，科學(xué)合理的情境有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，明確學(xué)習(xí)任務(wù)，降低數(shù)學(xué)理解的門檻.

教材情境：某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上，如圖1所示，小山高BC約為30米，在地平面上有一點(diǎn)A測得A、C兩點(diǎn)間距離約為67米，從點(diǎn)A觀測電視發(fā)射塔的視角約為45度.求這座電視發(fā)射塔的高度.

圖1

更一般地說，當(dāng)α，β是任意角時(shí)，能不能用α，β的三角函數(shù)值把α+β或α+β的三角函數(shù)值表示出來呢？

點(diǎn)評(píng)：通過實(shí)際問題引發(fā)對(duì)三角函數(shù)求值問題的思考，進(jìn)而為兩角差的余弦公式的引入做好思維鋪墊.本情境中的問題貼近學(xué)生實(shí)際，容易入手，唯一遺憾的是本問題指向的是“tan（45°+α）”而不是“cos（α-β）”，開門見山的效果不理想.

很多教師不滿意教材提供的情境，開始另辟蹊徑.

情境1：點(diǎn)Q繞點(diǎn)P在半徑為1的圓P上運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P又繞點(diǎn)O在另一個(gè)半徑也為1的圓O上運(yùn)動(dòng).O為定點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)的初始位置如圖2所示，其中OP⊥QP，且P、Q兩點(diǎn)以相同的角速度逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，這時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)如何刻畫.

圖2

點(diǎn)評(píng)：本問題情境雖然比較新穎，但內(nèi)部運(yùn)動(dòng)關(guān)系比較復(fù)雜，不僅需要花費(fèi)比較多的時(shí)間進(jìn)行梳理，而且超出了很多學(xué)生的理解水平，僅僅為了得到 “cos（α-45°）”如此大費(fèi)周章，顯然是得不償失.

其實(shí)，把教材中的情境改進(jìn)一下，就可以獲得“開門見山”的效果.

某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上.小山高BC約為30米，在地平面上有一點(diǎn)A，測得A、C兩點(diǎn)間距離約為60米，從A觀測電視發(fā)射塔的視角（∠CAD）約為45°，∠CAB=15°.求這座電視發(fā)射塔的高度.

CD=BD-BC，BD=ABtan60°.

AB=60cos15°，BC=60sin15°.

于是問題歸結(jié)為求cos15°與sin15°的值，自然引出對(duì)公式cos（α-β）的思考.

情境的創(chuàng)設(shè)不求多么新穎，而是要力求簡潔明了.即教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)要立足教學(xué)目標(biāo)，提出問題的難易程度要適合全班同學(xué)的實(shí)際水平，以保證使大多數(shù)學(xué)生在課堂上都處于思維狀態(tài).這樣的問題才會(huì)成為感知的思維的對(duì)象，從而在學(xué)生心里造成一種懸而未決但又必須解決的求知狀態(tài)，實(shí)際上也就是使學(xué)生產(chǎn)生問題意識(shí).

秘訣二、公式猜想應(yīng)適可而止

在公式課教學(xué)中，不能直接把公式拋給學(xué)生，而是要立足認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生經(jīng)歷公式的發(fā)現(xiàn)與猜想的過程，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的自主構(gòu)建.

教學(xué)片斷：余弦的兩角差公式的猜想.

問題1：如何求cos15°？cos15°=cos（45°-30°）=cos45°-cos30°成立嗎？

顯然，猜想不成立，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)猜想：

cos15°=cos45°+cos30°？

cos15°=sin45°-sin30°？

cos15°=sin45°+sin30°？

發(fā)現(xiàn)都不成立.

問題2：以前有沒有學(xué)過類似的公式？

誘導(dǎo)公式與cos（α-β）比較接近，cos（π-β）=-cosβ，，類比猜想，cos（α-β）展開應(yīng)該與cosα，cosβ，sinα，sinβ都有關(guān)系.

問題3：借助下面表格，完成對(duì)cos（α-β）展開式的猜想.

α β α-β cosα cosβ sinα sinβ cos（α-β）120° 30° 90° -11■3 2■3 222 60° 30° 30° 11■3■3■3 22222

根據(jù)cos（120°-30°）=cos90°=0，發(fā)現(xiàn)cos（α-β）具有以下幾種可能組合：

cos（α-β）=cosα+sinβ+cosβ-sinα；

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；

點(diǎn)評(píng)：類比誘導(dǎo)公式，初步猜想公式可能的結(jié)構(gòu)；通過特殊值的驗(yàn)證，縮小猜想的范圍，最終獲得令人滿意的結(jié)果，上述設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是呈現(xiàn)了一個(gè)比較完整的猜想過程.cos（α-β）的公式并不容易猜想，教學(xué)實(shí)踐表明多數(shù)學(xué)生只能停留在“cos（α-β）=cosα-cosβ”的層次，根本不可能把cos（α-β）與cosα，cosβ，sinα，sinβ的線性組合聯(lián)系起來.雖然，上述設(shè)計(jì)中提供了一定的思維鋪墊，但教師“強(qiáng)制牽引”的跡象明顯.不僅如此，耗費(fèi)了過多的時(shí)間在公式的猜想上，從而影響教學(xué)的正常進(jìn)行.

眾所周知，猜想不是最終的目的，而是初步獲得公式的一種手段，公式的正確與否還要經(jīng)過嚴(yán)格的論證.因此，公式的猜想要適可而止，切勿超出學(xué)生的實(shí)際水平，偏離教學(xué)的目標(biāo).

秘訣三、公式的證明應(yīng)揭示本質(zhì)

公式的推導(dǎo)與證明是公式課的核心.經(jīng)歷證明的過程不僅可以揭示公式的來龍去脈，更為重要的是可以通過這一過程滲透數(shù)學(xué)思想方法，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.在證明公式中，往往有多種方法可供選擇，那么具體采用什么方法呢？還是方法越多越好，這些問題值得深思.

在本課中，教材提供了兩種方法.

幾何法：引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造如圖3中的直角三角形，圖中的圓為單位圓，并用割、補(bǔ)的方法得到OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα.

點(diǎn)評(píng)：此法構(gòu)造巧妙，學(xué)生很難想到，并且用此法得到的是銳角形式的兩角差的余弦公式，推廣到任意角比較麻煩.

圖3

向量法：觀察公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的結(jié)構(gòu)要素，分析其與哪個(gè)公式比較相似.

聯(lián)想到α，β終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A（cosα，sinα），B （cosβ，sinβ），同時(shí)發(fā)現(xiàn)cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的右邊與向量數(shù)量積公式的坐標(biāo)表示a·b=x1x2+y1y2相近，進(jìn)而聯(lián)想到O—→A·O—→B=cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.于是建立直角坐標(biāo)系，借助單位圓，利用向量數(shù)量積推導(dǎo)余弦的兩角差公式自然水到渠成.

點(diǎn)評(píng)：體現(xiàn)了向量的工具作用，學(xué)生容易想到，但向量沖淡了三角函數(shù)原本的味道，并且還需要推廣到任意角.

在8位老師的教學(xué)中，多數(shù)老師拋棄了煩瑣的“幾何法”，直接采用快捷的“向量法”.還有一位老師“利用兩點(diǎn)間距離公式”來獲得公式的證明.具體過程如下：

如圖4所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓與角α，β，終邊分別與單位圓交于點(diǎn)P、Q，則|PQ|2=（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2.若要得到cos（α-β）的表達(dá)式，必須在單位圓中找到與弦PQ等長的弦.以角α的終邊OP旋轉(zhuǎn)-β到OQ1處，則射線OQ1即為角α-β的終邊，且∠POQ=∠P1OQ1，故△POQ △P1OQ1，所以有|PQ|=|P1Q1|.因?yàn)閨P1Q1|2=［1-cos（α-β）］2+sin2（α-β）=2-2cos（α-β），所以有（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2=2-2cos（α-β），即cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

圖4

點(diǎn)評(píng)：此法對(duì)任意角都適用，但方法比較巧妙，學(xué)生想不到.

這就引發(fā)了一個(gè)思考，在cos（α-β）公式的推導(dǎo)中，究竟采用哪種方法？教材提供了兩種方法，是否都有必要采用？或者另辟蹊徑，尋找其他更加巧妙的方法？其實(shí)，采用什么方法，幾種方法并不是思考的重點(diǎn)，我們應(yīng)該關(guān)注哪種方法更能夠體現(xiàn)公式的本質(zhì)屬性.那么cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的本質(zhì)是什么？我們知道，三角函數(shù)又稱為“圓函數(shù)”，很多三角函數(shù)公式都是圓性質(zhì)的體現(xiàn).比如，誘導(dǎo)公式，它就是圓對(duì)稱性的三角表示，作為比誘導(dǎo)公式更具一般化的cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，也是圓對(duì)稱性的體現(xiàn).因此，回歸到三角函數(shù)的定義，借助單位圓的對(duì)稱性，才是cos（α-β）公式證明的正確方向.

如圖5所示，P1，P2分別是α，β終邊與單位圓的交點(diǎn).所以α-β的終邊與β的終邊關(guān)稱，借助對(duì)稱性，作出α-β，它的終邊與單位圓交于P3.設(shè)單位圓與x軸的交點(diǎn)為P0，則P0（1，0），P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），P3（cos（α -β），sin（α -β））.接 下去，利用圓的對(duì)稱性，構(gòu)造四個(gè)點(diǎn)之間的等量關(guān)系.容易發(fā)現(xiàn)，代入坐標(biāo)即可獲得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

圖5

點(diǎn)評(píng)：上述方法巧妙地把教材中的幾何法與向量法融合在一起，而且體現(xiàn)了公式的本質(zhì)屬性.

公式的證明方法不求多，也不求巧，而是要從公式的本質(zhì)屬性出發(fā)，借助合理的數(shù)學(xué)模型，采用適度的方法技巧，構(gòu)建易于學(xué)生理解的證明過程.

盡管公式課教學(xué)一般遵循“公式的發(fā)現(xiàn)——公式的猜想——公式的證明——公式的應(yīng)用”的設(shè)計(jì)思路，但要關(guān)注每個(gè)環(huán)節(jié)的細(xì)節(jié)處理，要凸顯數(shù)學(xué)的本質(zhì).F