張?zhí)焓妗⊥酢〕桑?　官　威　王建英　劉　艷　謝曉東

(1.華僑大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 廈門(mén), 361021;2.西安交通大學(xué)機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安, 710049)

引　　言

模態(tài)參數(shù)是決定結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的重要參數(shù)，如模態(tài)固有頻率、模態(tài)阻尼比及主振型等，是結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性研究的一個(gè)重要的逆問(wèn)題。此外，當(dāng)系統(tǒng)振動(dòng)處于固有頻率時(shí)，模態(tài)振型為振動(dòng)狀態(tài)提供了數(shù)學(xué)描述。因此，模態(tài)參數(shù)識(shí)別在結(jié)構(gòu)建模與模型修正、靈敏度分析、振動(dòng)主被動(dòng)控制、損傷識(shí)別和結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域起著至關(guān)重要的作用[1-3]。不同于傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析(Experimental modal analysis,EMA)，工作模態(tài)分析(Operational modal analysis, OMA)可以?xún)H從測(cè)得的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)中識(shí)別出模態(tài)參數(shù)。近幾年，OMA是機(jī)械振動(dòng)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)，并得到了廣泛的應(yīng)用[4-6]。

主成分分析(Principal component analysis, PCA)算法作為一種重要的線(xiàn)性降維方法，最早于1901年被Pearson提出[7]?，F(xiàn)在PCA算法已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別領(lǐng)域[8，9]。傳統(tǒng)的批處理主成分分析算法通過(guò)奇異值分解(Singular value decomposition, SVD)或者特征值分解(Eigenvalue decomposition,EVD)[10]來(lái)獲得線(xiàn)性變換矩陣和主成分。然而，在SVD和EVD方法中分別存在矩陣分解的奇異值問(wèn)題和病態(tài)問(wèn)題。由于這些缺陷，傳統(tǒng)的批處理主成分分析算法可能不能夠準(zhǔn)確地識(shí)別出結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型和固有頻率[11]。

針對(duì)矩陣分解的奇異值問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家學(xué)者提出了不同的解決方案[12,13]，而對(duì)于矩陣分解的病態(tài)問(wèn)題，則可以通過(guò)正則化方法[14]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[15]和主元加權(quán)迭代法[16]等方法來(lái)解決。為了克服在工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別中可能存在的矩陣分解的奇異值問(wèn)題和病態(tài)問(wèn)題，本文提出了一種自迭代主元抽取算法。該算法通過(guò)迭代計(jì)算主成分，避免了矩陣分解所帶來(lái)的缺陷，實(shí)現(xiàn)了根據(jù)需求進(jìn)行主元抽取，具有更小的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度。此外，算法精度可控，可以通過(guò)調(diào)節(jié)閾值來(lái)滿(mǎn)足不同的實(shí)際需求。

1　基于傳統(tǒng)批處理主成分分析的工作模態(tài)分析

1.1PCA的數(shù)學(xué)模型

已知空間Rm上有m個(gè)觀測(cè)信號(hào)X(t)=[x1(t),x2(t),…,xm(t)]T∈Rm×T，該信號(hào)是由空間Rn上的n個(gè)不相關(guān)變量Y(t)=[y1(t),y2(t),…,yn(t)]T∈Rn×T通過(guò)線(xiàn)性變換矩陣W∈Rm×n混疊得到,即

X(t)=WY(t)t=1,2,…,T

(1)

且W滿(mǎn)足

WTW=In×n

(2)

PCA算法的目標(biāo)是僅通過(guò)觀測(cè)信號(hào)X(t)得到線(xiàn)性變換矩陣W和n個(gè)不相關(guān)特征變量Y(t)=[y1(t),y2(t),…,yn(t)]T。這n個(gè)不相關(guān)特征變量Y(t)=[y1(t),y2(t),…,yn(t)]T被稱(chēng)作觀測(cè)信號(hào)X(t)的主成分。

1.2　基于PCA的工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別

對(duì)于m自由度的小阻尼線(xiàn)性時(shí)不變結(jié)構(gòu)，其位移響應(yīng)可以用模態(tài)坐標(biāo)表示為

(3)

式中：矩陣X(t)=[x1(t),x2(t),…,xm(t)]T∈Rm×T是由位移向量xi(t)∈R1×T組成的位移矩陣,ψ=[ψ1,ψ2,…,ψm]∈Rm×m是由模態(tài)振型向量ψi∈Rm×1組成的模態(tài)振型矩陣,Q(t)=[q1(t),q2(t),…,qm(t)]T∈Rm×T是由模態(tài)響應(yīng)向量qk(t)∈R1×T組成的模態(tài)響應(yīng)矩陣。只要結(jié)構(gòu)各階模態(tài)固有頻率不相等，則模態(tài)振型向量ψi滿(mǎn)足

(4)

式中各階模態(tài)響應(yīng)向量qk(t)之間相互獨(dú)立，且Q(t)滿(mǎn)足

E[Q(t)QT(t)]=Λm×m

(5)

固有頻率fi和阻尼系數(shù)ξi可以通過(guò)類(lèi)似于FFT的單自由度(Single degree of freedom,SDOF)擬合技術(shù)從模態(tài)響應(yīng)向量qk(t)中得到。如果模態(tài)響應(yīng)向量qk(t)為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，那么經(jīng)FFT變換后其峰值處對(duì)應(yīng)的頻率即為模態(tài)固有頻率。圖1為基于PCA的OMA流程圖。

圖1　基于PCA的OMA流程圖　Fig.1　Flowchart of OMA based on traditional PCA procedure

1.3　矩陣分解的奇異值問(wèn)題和病態(tài)問(wèn)題

定義1對(duì)于A∈Rm×n，ATA的非負(fù)平方根是矩陣A∈Rm×n的奇異值。

定理1對(duì)于矩陣A∈Rm×n，存在正交矩陣

U=[u1,u2,…，um]∈Rm×m

和

V=[v1,v2,…,vn]∈Rn×n

使得

(6)

式中：Σr=diag(σ1,σ2,…,σr),σ1≥σ2…≥σr>0,σi為A的奇異值，r是非零奇異值的個(gè)數(shù)。

定理2對(duì)于矩陣A∈Rm×n,λ1,λ2,…,λm為矩陣A的特征值,σ1,σ2,…，σm為矩陣A的奇異值，并且存在σ1≥|λi|≥σm(i=1,2,…,m)[12]。因此，奇異值不等于特征值。

定義2如果輸入數(shù)據(jù)存在一個(gè)很小的誤差，那么輸出數(shù)據(jù)的相應(yīng)誤差會(huì)很大，該問(wèn)題被稱(chēng)為病態(tài)問(wèn)題[17]。

對(duì)于觀測(cè)信號(hào)矩陣X(t)=[x1(t),x2(t),…,xm(t)]T∈Rm×T，存在

U=[u1,u2,…,um]∈Rm×m

和

V=[v1,v2,…,vn]∈Rm×n

使得

UX(t)VT=diag(σ1,σ2,…,σm)

(7)

?

定理2表明，通過(guò)SVD獲得的奇異值是一估計(jì)值，它并不等于真實(shí)的特征值，因此通過(guò)SVD分解得到的主成分也存在誤差[18]。

對(duì)于觀測(cè)信號(hào)矩陣X(t)=[x1(t),x2(t),…，xm(t)]T∈Rm×T,存在如下的變換

X(t)=WY(t)，Y(t)∈Rn×Tn≤m

(8)

假設(shè)存在線(xiàn)性變換X(t)→Y(t), 從原始的m維特征空間到n維特征空間。

觀測(cè)信號(hào)矩陣均值為0，即

(9)

自相關(guān)矩陣CXX∈Rm×m可以通過(guò)下列方式得到

CXX相應(yīng)的特征向量vk和特征值λk可通過(guò)式(10)得到,即

CXXvk=λkvkk=1,2,…,m

(10)

將特征值按降序排序

λ1>λ2>…>λm

(11)

將特征值對(duì)應(yīng)的n個(gè)特征向量按式(11)順序排列得到矩陣W，即

(12)

因?yàn)镋VD方法僅僅適用于方陣，所以原始信號(hào)矩陣X(t)必須通過(guò)計(jì)算它的自相關(guān)矩陣CXX來(lái)得到其特征值。在計(jì)算協(xié)方差矩陣的過(guò)程中，原始信號(hào)矩陣中存在的誤差可能會(huì)被放大。從CXX求解過(guò)程可以看出誤差被放大的原因，因此在矩陣的EVD分解過(guò)程中存在病態(tài)問(wèn)題[14,16,19]。

1.4　基于傳統(tǒng)批處理PCA的工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別

傳統(tǒng)批處理主成分分析主要是通過(guò)對(duì)響應(yīng)信號(hào)X(t)進(jìn)行SVD或EVD來(lái)實(shí)現(xiàn)，因此其工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別具有SVD和EVD方法中矩陣分解奇異值或特征值分解病態(tài)的缺陷。

工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別僅需要從振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)中識(shí)別出占主要貢獻(xiàn)的前幾個(gè)模態(tài)，識(shí)別所有的模態(tài)既無(wú)可能，也無(wú)必要。而傳統(tǒng)批處理主成分分析通過(guò)矩陣分解一次獲得所有主成分，不僅增加了計(jì)算時(shí)間，而且需要消耗大量?jī)?nèi)存來(lái)存貯大型矩陣。

2　基于自迭代主元抽取算法的工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別

2.1自迭代主元抽取方法

自迭代主元抽取的精髓是NIPALS算法[20]，之后有國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)該算法的計(jì)算過(guò)程進(jìn)行了有效的改進(jìn), 將特征向量的更新轉(zhuǎn)化為小尺寸輔助向量的更新，在滿(mǎn)足一定精度更新特征值和特征向量的同時(shí)，有效地提高了計(jì)算速度[21，22]。從原始信號(hào)矩陣X(t)∈Rm×T(t=1,2,…,T)中任意抽取1列, 通過(guò)迭代方法計(jì)算第1個(gè)主成分向量y1(t)∈R1×T和第1個(gè)矩陣變換向量w1∈Rm×1。然后將它們從X(t)中減去, 所得到的結(jié)果是第1個(gè)誤差矩陣E1(t)∈Rm×T。將E1(t)取代X(t)，然后計(jì)算第2個(gè)主成分向量y2(t)和第2個(gè)變換矩陣向量w2,即

E1(t)=X(t)-w1·y1(t)

E2(t)=E1(t)-w2·y2(t)

?

Em-1(t)=Em-2(t)-wm-2·ym-2(t)

(13)

基于自迭代主元抽取方法步驟為：

(1) 初始化i=1;

(8) 計(jì)算誤差矩陣

Ei(t)=X(t)-wi·yi(t)

(14)

X(t)=Ei(t)

(15)

步驟(7)是為了計(jì)算所對(duì)應(yīng)主成分的最大貢獻(xiàn)量，因此λi可以近似看成第i主成分的貢獻(xiàn)量

(16)

已計(jì)算所有主成分的方差累計(jì)貢獻(xiàn)量

(17)

定義

(18)

式中εi為當(dāng)前主成分的方差貢獻(xiàn)量占所有已算出的主成分方差貢獻(xiàn)量的比例。

設(shè)定截?cái)嗾`差η，如果εi<η，則表明當(dāng)前主成分已經(jīng)不足夠重要，因此停止迭代，主元抽取的過(guò)程結(jié)束。

在自迭代主元抽取算法的步驟中，yi(t)是第i個(gè)殘差矩陣的第一主成分。比較步驟(5)中的yi(t)，判斷yi(t)是否滿(mǎn)足需求，如果滿(mǎn)足，更新誤差矩陣，并得到新的誤差矩陣的第一主成分。從而得到一系列主成分向量(y2(t),y3(t),…,yi(t),…,ym(t))。式(14，15)表明yi(t)的方差貢獻(xiàn)量比yi+1(t)要大?？傊?，第1個(gè)誤差矩陣迭代產(chǎn)生的第一主成分向量yi(t)便是原始信號(hào)矩陣的第一主成分，主成分向量y2(t)是第二主成分，依次類(lèi)推。其流程圖如圖2所示。

圖2　基于自迭代主元抽取算法識(shí)別主要工作模態(tài)的流程　Fig．2　Process of OMA based on self-iterative principal component extraction

2.2　算法性能分析和比較

(1) SVD需要計(jì)算并存儲(chǔ)矩陣U，V和 diag(σ1,σ2,…,σm)，而EVD必須計(jì)算和存儲(chǔ)矩陣CXX,diag(λ1,λ2,…,λm)和特征向量矩陣V。因?yàn)樵加^測(cè)信號(hào)矩陣X(t)非常大，所以矩陣U,V,diag(σ1,σ2,…,σm)，CXX,diag(λ1,λ2,…,λm)和V也都非常大。因此相比較傳統(tǒng)的批處理PCA算法，自迭代主元抽取算法的空間復(fù)雜度更小。

(2) 不同于傳統(tǒng)的批處理PCA算法一次計(jì)算得到所有的特征值以及特征向量，自迭代主元抽取算法每次迭代只得到一個(gè)主成分。因此可以依據(jù)模態(tài)參數(shù)識(shí)別的現(xiàn)實(shí)需求迭代產(chǎn)生有限個(gè)主成分，從而相比較傳統(tǒng)的批處理PCA算法大大降低了時(shí)間復(fù)雜度。

(3) 自迭代主元抽取方法的精度是指在工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別中識(shí)別的模態(tài)固有頻率和模態(tài)振型的精度，其具體評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)包括振型的模態(tài)置信準(zhǔn)則(Modal confidence criterion,MAC)值、固有頻率值和傅里葉變換的主峰高度、次峰的個(gè)數(shù)和高度。自迭代主元抽取可以通過(guò)迭代直接獲得主成分，精度只取決于設(shè)定的閾值，能有效地避免矩陣分解的奇異值問(wèn)題和特征值分解的病態(tài)問(wèn)題。

自迭代主元抽取算法與傳統(tǒng)PCA算法性能比較如表1所示，其中m為觀測(cè)信號(hào)矩陣維度，T為觀測(cè)信號(hào)采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)，r為自迭代主元抽取算法根據(jù)需求所抽取的階數(shù)，Tmax為自迭代主元抽取算法內(nèi)循環(huán)所設(shè)置的最大迭代次數(shù)。因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中原始觀測(cè)數(shù)據(jù)量很大，故表1中的比較均以觀測(cè)信號(hào)矩陣較大為前提。

表1　自迭代主元抽取算法與傳統(tǒng)PCA算法性能比較

3　工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別仿真

3.1仿真數(shù)據(jù)的產(chǎn)生和參數(shù)設(shè)置

對(duì)無(wú)阻尼的簡(jiǎn)支梁施加正弦激勵(lì)；將長(zhǎng)為1 m的無(wú)阻尼簡(jiǎn)支梁等間隔均分成1 000等份，產(chǎn)生1 001個(gè)響應(yīng)測(cè)點(diǎn)；在0.2 m處集中施加多頻正弦激勵(lì)并得到響應(yīng)數(shù)據(jù);采樣頻率為4 096 Hz，時(shí)域采樣點(diǎn)T=20 481。以上數(shù)據(jù)通過(guò)Matlab 7.0仿真得到，以有限元求解得到的無(wú)阻尼結(jié)果作為真正的模態(tài)振型和模態(tài)固有頻率。

計(jì)算機(jī)配置為操作系統(tǒng) Windows 7旗艦版64位(6.1，版本 7601)；制造商 Dell Inc.；型號(hào) Inspiron N5110；處理器 Intel(R) Core(TM) i5-2430M；CPU @2.40 Hz(4 CPUs),～2.4 GHz；內(nèi)存4 096 MB RAM。

使用模態(tài)振型評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)(MAC)來(lái)比較自迭代主元抽取算法識(shí)別的線(xiàn)性變換向量與真實(shí)模態(tài)振型，其計(jì)算方式為[5]

(19)

精度和截?cái)鄥?shù)設(shè)置如下：精度要求α=0.000 001;截?cái)嗾`差η=0.001;最大迭代次數(shù)Tmax=100。

3.2　工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別仿真結(jié)果

圖3為自迭代主元抽取PCA算法識(shí)別的主成分FFT變化的結(jié)果。表2為識(shí)別出的模態(tài)頻率與真實(shí)模態(tài)固有頻率的定量比較。圖4和表3為該算法識(shí)別的線(xiàn)性變換向量與真實(shí)模態(tài)振型的比較 。

根據(jù)精度和截?cái)鄥?shù)的設(shè)置， 該算法在抽取第8主成分后停止。

因?yàn)槭Ｏ碌?92階主成分的方差貢獻(xiàn)率之和小于0.001，因此圖5可以近似地看成方差貢獻(xiàn)率的帕累托圖。傳統(tǒng)PCA算法平均時(shí)間花費(fèi)0.949 s。當(dāng)設(shè)置精度要求α=0.01時(shí)，迭代得到的振型MAC值各階均大于0.8，固有頻率識(shí)別不受影響，從而滿(mǎn)足了工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別的精度需求。

圖3　自迭代主元抽取算法識(shí)別的主成分FFT變換結(jié)果Fig.3　FFT results of principal components identified by self-iterative principal component extraction algorithm

階數(shù)真實(shí)固有頻率/Hz識(shí)別的固有頻率/Hz相對(duì)誤差/%122．89230．48291．55920．493205．992070．494366．233670．216824．008250．1271121．6011220．0481464．9014660．0191854．0018550．01

圖4　自迭代主元抽取算法識(shí)別的模態(tài)振型與真實(shí)模態(tài)振型的比較Fig．4　Comparison of modal shapes identified by self-iterative and principal component extraction algorithm with real modal shapes

3.3　結(jié)果分析

(1) 從圖3,圖4和表2、表3,可以得到，自迭代主元抽取算法僅通過(guò)位移響應(yīng)數(shù)據(jù)便可以準(zhǔn)確地識(shí)別模態(tài)振型和模態(tài)固有頻率。固有頻率識(shí)別之所有存在誤差，是受FFT分辨率不足的影響。

表3　識(shí)別模態(tài)振型的MAC值

表4自迭代主元抽取算法的時(shí)間花費(fèi)(α=0.01,Tmax=100)

Tab．4Timecostofself-iterativeprincipalcomponentextractionalgorithm(α=0.01,Tmax=100)

設(shè)置的截?cái)嗾`差η識(shí)別階數(shù)平均時(shí)間花費(fèi)/s110．0380．420．0930．230．2800．140．3300．0850．4210．0560．4800．0170．5430．00180．732

圖5　方差貢獻(xiàn)率的帕累托圖　Fig.5　Pareto chart of cumulative variance contribution rate

(2) 從表4可以看出，自迭代主元抽取算法的絕對(duì)運(yùn)行時(shí)間花費(fèi)隨所設(shè)置的閾值所變化。當(dāng)根據(jù)需求抽取的模態(tài)個(gè)數(shù)較少或精度不高時(shí)，該算法的絕對(duì)運(yùn)行時(shí)間花費(fèi)明顯低于傳統(tǒng)PCA算法。

(3) 基于SVD的傳統(tǒng)PCA算法必須計(jì)算和存儲(chǔ)3個(gè)大型矩陣：U∈R1 001×1 001,V∈R20 481×20 481和diag(σ1,σ2,…,σm)∈R1 001×1 001，而基于EVD的傳統(tǒng)PCA算法必須計(jì)算和存儲(chǔ)矩陣CXX∈R1 001×1 001，diag(λ1,λ2,…,λm)∈R1 001×1 001和特征向量矩陣V∈R1 001×20 481，其空間復(fù)雜度比SVD方法還要高。然而對(duì)于自迭代主元抽取算法，由于需要計(jì)算和存儲(chǔ)大型矩陣，因此有著較低的空間復(fù)雜度。

4　結(jié)束語(yǔ)

相比傳統(tǒng)的批處理主成分分析工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，本文提出的自迭代主元抽取方法可以避免矩陣分解的奇異值問(wèn)題和特征值分解的病態(tài)問(wèn)題，并且具有更低的空間與時(shí)間復(fù)雜度。模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果表明，該算法可以準(zhǔn)確地從平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)中有效地識(shí)別出線(xiàn)性時(shí)不變結(jié)構(gòu)的主要貢獻(xiàn)模態(tài)振型和固有頻率，在響應(yīng)測(cè)點(diǎn)和采樣時(shí)間較多時(shí)其時(shí)間開(kāi)銷(xiāo)較傳統(tǒng)方法也更小。

進(jìn)一步的研究方向包括自適應(yīng)調(diào)整迭代步長(zhǎng)、利用先驗(yàn)知識(shí)來(lái)設(shè)置線(xiàn)性變換向量的初值以加快收斂和利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)主元的并行抽取。由于該算法擁有很低的時(shí)間和空間復(fù)雜度，可利用嵌入軟硬件技術(shù)，將其開(kāi)發(fā)成為便攜式裝置。

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