文方青　張　弓　王鑫海　張　宇　賁　德

(1．南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，南京，211016； 2．長(zhǎng)江大學(xué)電子信息學(xué)院，荊州，434023)

引　　言

與傳統(tǒng)相控陣的機(jī)制不同，多輸入多輸出(Multiple-input multiple-output，MIMO)雷達(dá)巧妙地利用多根天線發(fā)射近似相互正交的波形，在多根接收天線端，分別采用匹配濾波器分離目標(biāo)信息[1]。多天線的使用使得MIMO雷達(dá)系統(tǒng)的自由度增大，因而相較相控陣體制的雷達(dá)系統(tǒng)，MIMO雷達(dá)系統(tǒng)的探測(cè)性能顯著提升。理論研究表明，MIMO雷達(dá)具有如抑制噪聲和干擾、抗衰落效應(yīng)等諸多方面的優(yōu)勢(shì)。此外MIMO雷達(dá)還能有效地提高目標(biāo)的分辨率和參數(shù)估計(jì)的可辨識(shí)度[2]，因而MIMO雷達(dá)的研究引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[3]。

本文主要探討雙基地MIMO雷達(dá)中的聯(lián)合波離角(Direction-of-departure，DOD)與波達(dá)角(Direction-of-arrival，DOA)估計(jì)問(wèn)題[4]，聯(lián)合角度估計(jì)是雙基地MIMO雷達(dá)中多目標(biāo)進(jìn)行測(cè)向與定位的任務(wù)之一。MIMO雷達(dá)中典型的角度估計(jì)算法有Capon、多重信號(hào)分類(Multiple signal classification，MUSIC)、基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的估計(jì)算法(Estimation method of signal parameters via rotational invariance techniques， ESPRIT)及相關(guān)改進(jìn)算法[5-9]，其主要由傳統(tǒng)陣列信號(hào)處理的方法演化而來(lái)。其中，Capon算法和MUSIC算法主要是通過(guò)二維譜峰搜索獲得目標(biāo)參數(shù)[5-6]，這類算法的劣勢(shì)主要在于其計(jì)算復(fù)雜度非常大。ESPRIT算法主要利用了兩個(gè)子陣列的旋轉(zhuǎn)不變特性[7]，盡管它可避免譜峰搜索過(guò)程，但是其需要額外匹配所估計(jì)的角度。上述算法均是將陣列雷達(dá)數(shù)據(jù)堆疊成高維矩陣，然后對(duì)高維矩陣進(jìn)行處理，這些算法均忽略了接收數(shù)據(jù)內(nèi)部的多維結(jié)構(gòu)特性。近年來(lái)，將張量模型引入陣列多參數(shù)估計(jì)是MIMO雷達(dá)一個(gè)研究熱點(diǎn)方向[10-12]。通過(guò)構(gòu)建接收信號(hào)的張量結(jié)構(gòu)可以利用數(shù)據(jù)內(nèi)部隱藏的特性，因此可以提升角度估計(jì)精度。張量分解的方法主要有兩種[13]：Tucker分解和CP分解，其中Tucker分解又被稱為高階奇異值分解(High-order singular value decomposition，HOSVD)，CP分解是典范分解/平行因子分解(Canonical or parallel factor analysis， CANDECOMP/PARAFAC)的簡(jiǎn)稱。HOSVD將三維數(shù)據(jù)向3個(gè)不同的方向分別展開，然后分別對(duì)得到的矩陣進(jìn)行子空間分解，這種子空間方法獲得的相關(guān)子空間比直接對(duì)某個(gè)方向展開的矩陣數(shù)據(jù)進(jìn)行子空間分解更精確，從而角度估計(jì)精度比ESPRIT更為精確[14-15]。PARAFAC算法采用迭代的方法進(jìn)行張量分解[16-18]，相比HOSVD算法，其不需要計(jì)算復(fù)雜度較高奇異值分解過(guò)程，且參數(shù)估計(jì)的精度更高。然而PARAFAC算法在低信噪比條件下精度較低，且在大規(guī)模MIMO或者超大規(guī)模MIMO系統(tǒng)[19]時(shí)計(jì)算量較大，數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)和計(jì)算將占用更多的資源，這對(duì)雷達(dá)系統(tǒng)是非常大的挑戰(zhàn)。近年來(lái)，將壓縮感知理論應(yīng)用于雷達(dá)信號(hào)處理是雷達(dá)系統(tǒng)發(fā)展的一個(gè)趨勢(shì)[20-22]，目標(biāo)參數(shù)的稀疏特性為獲取相關(guān)參數(shù)的估計(jì)開辟了一種新的道路。受啟發(fā)于多維壓縮感知的概念[23]，文獻(xiàn)[24,25]提出基于壓縮的平行因子分解算法，大大降低了三線性分解的計(jì)算復(fù)雜度。但上述算法均利用隨機(jī)降維觀測(cè)矩陣對(duì)高維張量進(jìn)行降維處理，角度估計(jì)時(shí)采用匹配過(guò)完備字典的方法進(jìn)行。上述算法的壓縮矩陣產(chǎn)生較為復(fù)雜，且過(guò)完備字典的匹配過(guò)程類似于MUSIC算法的二維譜峰搜索，計(jì)算復(fù)雜度較大。

針對(duì)現(xiàn)有MIMO雷達(dá)角度估計(jì)方法存在計(jì)算精度與計(jì)算復(fù)雜度難以折衷的問(wèn)題，本文提出一種三維壓縮感知(Three-way compressive sensing, TWCS)算法。本文的壓縮矩陣采用HOSVD獲取，其能最大程度地壓縮高維張量數(shù)據(jù)，且保證低信噪比下參數(shù)估計(jì)的精度。二維角度估計(jì)問(wèn)題與壓縮后的張量模型相聯(lián)系，通過(guò)三線性交替最小二乘(Trilinear alternate least squares，TALS)獲取壓縮后的方向矩陣的估計(jì)。最后構(gòu)造兩個(gè)獨(dú)立的過(guò)完備字典，利用目標(biāo)的稀疏性重構(gòu)目標(biāo)二維角度。所提TWCS算法在計(jì)算復(fù)雜度方面略高于文獻(xiàn)[14]所提的HOSVD方法，但低于文獻(xiàn)[16]所提的PARAFAC算法。本文算法TALS過(guò)程數(shù)據(jù)量遠(yuǎn)低于PARAFAC算法，且本文算法能自動(dòng)配對(duì)所估計(jì)的二維角度。TWCS在估計(jì)精度方面要高于ESPRIT和HOSVD，在高信噪比條件下與PARAFAC非常接近，在低信噪比條件下優(yōu)于PARAFAC。本文算法可以通過(guò)進(jìn)一步處理獲得目標(biāo)多普勒信息，因而所提的算法是一種高效的算法。

1　張量基礎(chǔ)與信號(hào)模型

1.1　張量基礎(chǔ)

首先引入文獻(xiàn)[13]中關(guān)于張量操作的3個(gè)定義：

定義3(張量模乘性質(zhì))：N階張量X∈CI1 ×…IN的模乘性質(zhì)主要有如下兩條

X×n·A×m·B=X×m·B×n·Am≠n

X×n·A×m·B=X×n·(B·A)

(1)

(2)

圖1　雙基地MIMO雷達(dá)角度估計(jì)模型　　Fig.1　Angle estimation model for bistatic MIMO radar

1.2　信號(hào)模型

(3)

x(t)= [ar(θ1)?at(φ1),…,ar(θK)?at(φK)]s(t)

(4)

X= [ar(θ1)?at(θ1),…,ar(θK)?at(φK)]ST=[AR⊙AT]ST=AST

(5)

式中：A=[AR⊙AT]=[a(θ1,φ1),…,a(θK,φK)]可以被視為維數(shù)為MN×K的虛擬方向矩陣，其中⊙為Khatri-Rao積(按列克羅內(nèi)克積)，a(θk,φk)=ar(θk)?at(φk)可被視為虛擬的導(dǎo)向矢量。利用Tucker張量模型，式(5)可以重新表述成一個(gè)階數(shù)為3、秩為K的張量

(6)

式(6)即為三線性模型的張量表示形式，此外，張量模型也可以表示成矢量的形式

vec(X)=(S⊙AR⊙AT)

(7)

(8)

類似地，沿著接收方向切片數(shù)據(jù)可得

(9)

一般也將式(5,8,9)稱為三線性分解的矩陣表示形式,其與式(6)中的張量形式和式(7)中的矢量形式是等價(jià)的。通過(guò)對(duì)X進(jìn)行PARAFAC可以分別估計(jì)出發(fā)射導(dǎo)向矢量和接收導(dǎo)向矢量[16]，再通過(guò)自動(dòng)配對(duì)的方法即可獲得相關(guān)角度的估計(jì)。PARAFAC算法的缺點(diǎn)是在低信噪比時(shí)估計(jì)精度低，且當(dāng)數(shù)據(jù)量非常大時(shí)PARAFAC算法的計(jì)算復(fù)雜度急劇上升。為降低數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的壓力，同時(shí)降低PARAFAC的計(jì)算復(fù)雜度，本文利用三維壓縮感知的方法壓縮張量數(shù)據(jù)，并提升PARAFAC 在低信噪比條件下的估計(jì)精度。

2　本文算法

2.1　基于HOSVD的張量壓縮

對(duì)式(6)中的3階張量X進(jìn)行HOSVD可以表述為如下形式[13]

X=Y×1·U×2·V×3·W

(10)

式中：Y∈CM×N×L為核張量，U∈CM×M，V∈CN×N，W∈CL×L分別為3個(gè)酉矩陣，其分別為X的模i(i=1,2,3)展開的左奇異分解矩陣組成。類似于MUSIC算法中的SVD，由于X是K秩的，因此高維張量X可由其主成分量X′∈CK×K×K表示

(11)

圖2　三階張量壓縮示意圖　　Fig.2　Schematic illustration of three-order tensor compression

式中：Us∈CM×K,Vs∈CN×K和Ws∈CL×K分別為U,V和W中的前K特征矢量構(gòu)成的矩陣。將式(11)中的張量表示成矢量形式可得[23]

vec(X′) = (WH?VH?UH)vec(X) = (WH?VH?UH)(S⊙AR⊙AT)=

(12)

結(jié)合定義2與定義3，可得對(duì)應(yīng)式(5)中壓縮后沿快拍方向的切片矩陣表示為

(13)

由于三線性模型的張量形式和矩陣形式是等價(jià)的，因此可由式(13)中的矩陣形式重新構(gòu)造壓縮后的張量。此時(shí)對(duì)應(yīng)于式(8)中壓縮后沿發(fā)射方向的切片數(shù)據(jù)矩陣為

(14)

類似地，對(duì)應(yīng)于式(9)的壓縮后沿接收方向切片數(shù)據(jù)為

(15)

2.2　壓縮的方向矩陣估計(jì)

(16)

(17)

(18)

(19)

2.3　基于稀疏表示的聯(lián)合DOD與DOA估計(jì)

(20)

(21)

(22)

注意到S與AT與AR具有類似的性質(zhì)，因此采用類似的方法可以獲得目標(biāo)的多普勒信息，本文不再贅述。現(xiàn)將本文所提算法的具體步驟歸納如下:

(1) 把接收數(shù)據(jù)按式(6)堆疊成一個(gè)三階張量；

(2) 利用式(10)對(duì)張量進(jìn)行HOSVD，按照式(12)對(duì)原始張量進(jìn)行壓縮處理；

(4) 按照式(20)構(gòu)造過(guò)完備字典，最后按照式(22)估計(jì)DOD與DOA。

3　算法分析

3.1　復(fù)雜度分析

3.2　克拉美羅界分析

根據(jù)文獻(xiàn)[27]，雙基地MIMO雷達(dá)中聯(lián)合DOD與DOA估計(jì)的克拉美羅界(Cramér-Rao bound，CRB)為

(23)

3.3　算法優(yōu)勢(shì)分析

相比ESPRIT[8]、HOSVD[14]與PARAFAC[16]算法，本文所提算法的優(yōu)勢(shì)主要有：

(1)自動(dòng)匹配二維角度；

(2)低信噪比下估計(jì)精度更高；

(3)可獲得目標(biāo)的多普勒信息；

(4)在大規(guī)模陣列或者大快拍條件下計(jì)算復(fù)雜度更低，所需存儲(chǔ)資源更少。

4　仿真結(jié)果及分析

圖3為所提算法在信噪比為-10 dB時(shí)聯(lián)合DOD與DOA的估計(jì)效果。圖中黑點(diǎn)表示估計(jì)的角度位置，‘×’表示真實(shí)的目標(biāo)位置?？梢钥闯?個(gè)目標(biāo)的DOD和DOA可以清楚地被估計(jì)出來(lái)，并且被正確配對(duì)。

圖4與圖5分別為本文算法在不同SNR下與其他算法RMSE的對(duì)比，對(duì)比的算法有ESPRIT算法[8]、HOSVD算法[14]、PARAFAC算法[16]及CRB。由圖4和圖5可知，如果信噪比提高，所有算法的精度都會(huì)提升。由于利用了數(shù)據(jù)的多維結(jié)構(gòu)，基于張量的算法精度均優(yōu)于ESPRIT算法，且本文算法性能優(yōu)于HOSVD算法和ESPRIT算法。由于壓縮過(guò)程獲得的張量子空間具有魯棒性，因而本文所提算法在低信噪比條件下性能優(yōu)于PARAFAC算法，特別是陣元數(shù)目較少時(shí)，這種優(yōu)勢(shì)顯得尤為明顯。當(dāng)信噪比提升后，所提算法性能仍然很接近PARAFAC算法。圖6為所提算法與其他算法在不同L條件下的性能對(duì)比。由圖6可知，快拍數(shù)增加會(huì)改善所有算法的估計(jì)精度，同樣可以看出，本文算法估計(jì)精度優(yōu)于ESPRIT和HOSVD方法，且很接近PARAFAC算法。

圖3　SNR=-10 dB所提算法散點(diǎn)圖(M=20，N=16，L=64)

Fig.3Scatter results of the proposed algorithm with SNR=-10 dB(M=20，N=16，L=64)

圖4不同SNR下RMSE比較(M=N=32，L=64)

Fig.4RMSE comparison versus SNR(M=N=32，L=64)

圖5不同SNR下RMSE比較(M=20，N=16，L=64)

Fig.5RMSE comparison versus SNR(M=20，N=16，L=64)

本文算法在不同N的RMSE性能比較分別如圖7所示。由圖7的結(jié)果可知，天線數(shù)目增多會(huì)改善算法估計(jì)精度。這體現(xiàn)了MIMO天線數(shù)目增加使其自由度增加，從而提高了其探測(cè)精度。所提算法在不同L條件下的RMSE性能如圖8所示，從仿真結(jié)果可以看出，快拍數(shù)的增加也會(huì)改善所提算法的估計(jì)精度。因?yàn)楦嗟目炫氖沟脧埩孔涌臻g分解更精確，從而角度估計(jì)也更準(zhǔn)確。

圖6　不同L下各種算法RMSE比較(M=20，N=16，SNR=0 dB)

Fig.6RMSE comparison versusL(M=20，N=16，SNR=0 dB)

圖7本文算法在不同N條件下RMSE性能(M=20，L=64，SNR=0 dB)

Fig.7RMSE performances of the proposed algorithm with differentN(M=20，L=64，SNR=0 dB)

圖8本文算法在不同L條件下RMSE性能(M=20，N=16，SNR=0 dB)

Fig.8RMSE performances of the proposed algorithm with differentL(M=20，N=16，SNR=0 dB)

5　結(jié)束語(yǔ)

為利用接收數(shù)據(jù)間的多維相關(guān)性，提高低信噪比下參數(shù)估計(jì)的精度，本文提出了一種基于三維壓縮感知的雙基地MIMO雷達(dá)角度估計(jì)算法。首先構(gòu)建接收數(shù)據(jù)的張量模型，使用HOSVD算法壓縮高維張量，再對(duì)子張量的PARAFAC分解，最后通過(guò)構(gòu)建過(guò)完備字典的方法獲得目標(biāo)角度的估計(jì)。本文算法減輕了PARAFAC算法的計(jì)算復(fù)雜度，并可以獲取自動(dòng)配對(duì)的角度估計(jì)。在低信噪比場(chǎng)景下的估計(jì)精度方面要優(yōu)于ESPRIT，HOSVD和PARAFAC方法，在信噪比較高時(shí)的估計(jì)精度非常接近經(jīng)典的PARAFAC算法。本文算法對(duì)數(shù)據(jù)傳輸和存儲(chǔ)的壓力非常小，非常適合大規(guī)模或者超大規(guī)模陣列信號(hào)處理。

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