徐大專　陳越帥　陳　月　許生凱

(南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，南京，211106)

引　　言

自從1948年香農(nóng)創(chuàng)建信息論以來[1]，通信領(lǐng)域已經(jīng)取得了豐碩成果，這些成果為通信技術(shù)的飛速發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ)。香農(nóng)信道容量理論是信道編碼的基本理論基礎(chǔ)，而信息速率失真函數(shù)理論是信源編碼的理論基礎(chǔ)。在20世紀(jì)90年代，Telatar研究了MIMO系統(tǒng)的信道容量[2]，證明了通過增加接收天線數(shù)量，系統(tǒng)容量將會成倍數(shù)的增加。

雷達(dá)和聲納，已被廣泛應(yīng)用于軍事、工業(yè)和醫(yī)療領(lǐng)域，都是使用回波信號來檢測目標(biāo)的電子系統(tǒng)，通過發(fā)射脈沖和回波信號的時間差，即可得到發(fā)射點與目標(biāo)的精確距離。迄今為止，在雷達(dá)檢測中，Woodward等人首次研究了雷達(dá)檢測中的位置信息問題[3-4]，在高信噪比條件下，得到了位置信息與信噪比的關(guān)系。遺憾的是，此后60多年來國際上一直沒有該方向的研究進(jìn)展。信息論方法還被用于雷達(dá)關(guān)于目標(biāo)識別和分類的雷達(dá)波形設(shè)計[5]問題，2007年在文獻(xiàn)[6]中進(jìn)行了討論，在相同總功率的約束條件下，對于描述最佳波形設(shè)計基本組成的矩陣，由信息的最大化和MMSE準(zhǔn)則的最小化得到了相同的解。已經(jīng)證明，相對熵可以用于測量雷達(dá)系統(tǒng)中的檢測性能，相對熵越大，獲得的性能越好。波形設(shè)計被認(rèn)為是一種在白噪聲條件下的統(tǒng)計MIMO雷達(dá)系統(tǒng)[7]，文獻(xiàn)[8]中考慮在有色噪聲背景下設(shè)計MIMO雷達(dá)波形。

本文運用香農(nóng)信息論的思想和方法，研究在單目標(biāo)情形下雷達(dá)目標(biāo)探測時的信息理論。假設(shè)目標(biāo)位置的先驗分布為均勻分布，目標(biāo)的散射系數(shù)分為常數(shù)和服從瑞利分布兩種模型，推導(dǎo)出位置信息和幅相信息的閉合表達(dá)式。在高信噪比下，目標(biāo)的位置信息與時間帶寬積和信噪比的對數(shù)成線性關(guān)系，通過仿真進(jìn)一步說明理論結(jié)果的正確性，給出了中低信噪比下雷達(dá)探測目標(biāo)獲得的信息量。

符號說明：大寫字母表示隨機(jī)變量，相應(yīng)的小寫字母表示變量的取值。

1　雷達(dá)目標(biāo)探測系統(tǒng)模型

圖1　雷達(dá)探測系統(tǒng)的等效通信模型　Fig.1　Equivalent communication model of radar detection system

(1)

式中：τ=2d/v表示目標(biāo)時延，y=αejφ，φ=-2πfcτ+φ0，w(t)為帶寬B/2的復(fù)高斯噪聲。雷達(dá)目標(biāo)探測就是得到幅相參數(shù)y和位置參數(shù)τ的過程。在本文中，y被建模為復(fù)高斯變量，τ被建模為在檢測范圍內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)變量。

雷達(dá)探測系統(tǒng)的等效通信模型如圖1所示。

考慮以下低通信號

(2)

式中：Ts表示信號s(t)的持續(xù)時間，通常Ts?T，即信號能量幾乎全部在觀測區(qū)間內(nèi)，s(t)的頻譜為

(3)

均方根帶寬β2為

(4)

實際的雷達(dá)系統(tǒng)通常采用線性調(diào)頻信號、多載波信號和編碼信號等。本文與香農(nóng)信息論的方法類似，采用理想低通信號來推導(dǎo)理論結(jié)果。

s(t)的帶寬是B/2，根據(jù)Shannon-Nyquist采樣定理，以速率B對信號z(t)進(jìn)行采樣，z(t)的采樣序列為

z(n)

(5)

式中N=TB，稱為時間帶寬積(Time bandwidth product, TBP)。z(t)能夠被序列z(n)的N個點重建，圖2表示接收機(jī)的連續(xù)波形和離散波形。

圖2　3種觀測區(qū)間與信號波形Fig.2　Three observation intervals and signal waveforms

圖2(a)表示觀測距離區(qū)間，目標(biāo)位于區(qū)間中點，圖2(b)表示觀測時間區(qū)間與回波信號，圖2(c)表示歸一化觀測區(qū)間與離散回波信號，本文主要討論在歸一化觀測區(qū)間探測信息的結(jié)果。

令X=Bτ，表示目標(biāo)的歸一化延遲，進(jìn)而可以得到

z(n)=ys(n-X)+w(n)

(6)

定義從目標(biāo)反射的有用信號平均能量和復(fù)高斯噪聲實部功率的比值為信噪比，即

式中N0表示噪聲的功率譜密度。

將式(6)寫成矢量形式

Z=U(X)Y+W

(7)

I(Z;X,Y)=I(Z,X)+I(Z,Y|X)

(8)

式中：I(Z,X)表示目標(biāo)的位置信息，I(Z,Y|X)表示在X已知條件下目標(biāo)的幅相相位信息。目標(biāo)的幅相相位信息依賴于位置信息。因此，雷達(dá)目標(biāo)探測可以分為兩個步驟，首先確定目標(biāo)的位置信息I(Z,X)，然后在已知位置條件下確定目標(biāo)的幅相相位信息I(Z,Y|X)。

2　目標(biāo)的位置信息

2.1　目標(biāo)的概率模型

假設(shè)目標(biāo)在檢測范圍內(nèi)獨立地均勻分布，則X的先驗概率密度為p(x)=1/N。當(dāng)載波頻率非常高時，時延較小的變化將導(dǎo)致相位的巨大變化。因此，將φ視為在區(qū)間[0,2π]上服從均勻分布的隨機(jī)變量，則Φ的先驗概率密度為p(φ)=1/2π。

對于目標(biāo)的散射系數(shù)，將分別考慮兩種不同的情況。(1) 當(dāng)散射系數(shù)為常數(shù)時，幅相相位信息就退化為相位信息；(2) 將散射系數(shù)建模為瑞利分布的隨機(jī)變量，這種情況下，Y被建模為復(fù)高斯向量。接下來，分別討論散射系數(shù)不同情況下的位置信息和幅相相位信息。

w為低通帶限白噪聲，它的自相關(guān)函數(shù)為[9]

(9)

式中：n0=N0/B，n0為噪聲的單邊功率譜密度。由式(9)可知，在1/B的整數(shù)間隔上得到的隨機(jī)變量互不相關(guān)，因w是高斯的，故w的采樣值之間相互獨立。W是均值為0，方差為N0的復(fù)高斯隨機(jī)矢量，它的元素獨立同分布，所以N維噪聲矢量的概率密度函數(shù)為

(10)

2.2　目標(biāo)散射系數(shù)為常數(shù)的位置信息

考慮歸一化時延為x0時的單目標(biāo)檢測模型為

(11)

假設(shè)W為復(fù)高斯矢量，在給定X和Φ的條件下，Z的多維概率密度函數(shù)為

(12)

給定條件Φ，Z和X的聯(lián)合概率密度為

(13)

(14)

式中Re表示取實部。

令

代入式(14)可以得到

(15)

式中I0(·)表示第一類零階修正貝塞爾函數(shù)。

目標(biāo)的位置X在檢測范圍內(nèi)服從均勻分布，因此可以得到X的信息熵為H(X)=logN，進(jìn)而可以計算出單目標(biāo)檢測時的位置信息

(16)

2.3　目標(biāo)散射系數(shù)服從瑞利分布的位置信息

當(dāng)散射系數(shù)服從瑞利分布時，此時目標(biāo)的幅相變化很緩慢，因此它的概率分布為

(17)

(18)

因此

(19)

進(jìn)一步可由

(20)

代入式(16)可得到散射系數(shù)為瑞利分布時的位置信息(注：式(19)中使用∝是因為在式(20)中分子分母存在相同的與積分無關(guān)的常數(shù)項)。

2.4　位置信息與克拉美羅界的關(guān)系

克拉美羅界(Cramér-Rao Bound，CRB)指的是隨機(jī)參量x的估計值所能達(dá)到的最小均方誤差。高信噪比時，歸一化時延x的CRB為Var(x)≥[(2E(α2)/N0)β2]-1[10](歸一化時延情況下β2=π2/3)，令

(21)

(22)

即為高信噪比下目標(biāo)位置信息的CRB。

3　目標(biāo)的幅相相位信息

3.1　目標(biāo)散射系數(shù)為常數(shù)的幅相信息

當(dāng)散射系數(shù)為常數(shù)時，幅相相位信息I(Z,Y|X)等同于相位信息I(Z,Φ|X)。首先，在給定條件X和Y的情況下，Z的多維概率密度函數(shù)為

(23)

將y=αejφ代入得到

(24)

可以推導(dǎo)出

(25)

采用式(25)，進(jìn)一步可以得到

(26)

根據(jù)互信息的性質(zhì)，相位信息由式(27)給出

I(Z,Φ|X)=H(Φ|X)-H(Φ|Z,X)=log(2π)-Ex,w[H(φ|w,x)]

(27)

3.2　目標(biāo)散射系數(shù)服從瑞利分布的幅相信息

在估計了目標(biāo)的位置后，U(X)矩陣是一個常數(shù)矩陣，既然Y和W都是獨立的高斯分布，由此可知Z也是一個高斯矢量。

首先有

(28)

可以得出

(29)

而且

(30)

因此，在已知條件X=x時，幅相相位信息為

(31)

將UH(x)U(x)的結(jié)果代入式(31)，可以得到

I(Z,Y|X=x)=log(1+ρ2)

這意味著I(Z,Y|X=x)與目標(biāo)估計的歸一化時延無關(guān)，即目標(biāo)的幅相信息與位置信息無關(guān)。因此，當(dāng)目標(biāo)散射系數(shù)服從瑞利分布，相位服從均勻分布時，Y可以視為一個復(fù)高斯隨機(jī)變量。此時雷達(dá)系統(tǒng)中單目標(biāo)檢測的幅相相位信息為

I(Z,Y|X)=log(1+ρ2)

(32)

4　數(shù)值仿真結(jié)果與分析

本文從兩個方面來進(jìn)行仿真分析：(1)位置信息與信噪比以及位置信息與克拉美羅界的關(guān)系；(2)散射系數(shù)為常數(shù)和服從瑞利分布兩種情形下，幅相信息與信噪比的關(guān)系。

4.1　不同時間帶寬積下位置信息與信噪比的關(guān)系

目標(biāo)探測過程中，當(dāng)信噪比很小時，噪聲干擾較大，無法發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，位置信息很小。隨著信噪比的增加，位置信息的變化劃分為兩個重要的階段：(1)目標(biāo)捕獲階段：超過0 dB后，位置信息隨SNR以較大的斜率增加，每增加1 bit，意味著目標(biāo)的位置區(qū)域減小一半。當(dāng)信息量達(dá)到logTB時，目標(biāo)區(qū)域縮小至觀測區(qū)間的1/TB，即系統(tǒng)分辨率達(dá)到1/B。(2)目標(biāo)跟蹤階段：在大SNR區(qū)域，位置信息與時間帶寬積的對數(shù)成線性關(guān)系，且隨信息量增加，目標(biāo)范圍繼續(xù)縮小，從而突破1/B的限制。

4.2　幅相信息與信噪比的關(guān)系

散射系數(shù)α為常數(shù)和服從瑞利分布兩種情形下，對應(yīng)的幅相信息仿真曲線如圖4所示?？梢钥闯龇嘈畔⑴c信噪比成正比關(guān)系，隨著信噪比的升高而升高。這樣，位置信息I(Z,X)和幅相信息I(Z,Y|X)共同構(gòu)成了雷達(dá)探測的信息I(Z;X,Y)。

圖3　不同N下位置信息隨信噪比的變化曲線

Fig.3Relationship between location information and SNR under differentN

圖4幅相信息和信噪比的關(guān)系

Fig.4Relationship between amplitude-phase information and SNR

5　結(jié)束語

本文將信息論的方法應(yīng)用到雷達(dá)目標(biāo)檢測系統(tǒng)中，在單目標(biāo)檢測時推導(dǎo)了位置信息和幅相相位信息的閉合表達(dá)式，理論分析與數(shù)值結(jié)果表明雷達(dá)目標(biāo)探測的兩個重要階段，即目標(biāo)捕獲階段和目標(biāo)跟蹤階段。在目標(biāo)的跟蹤階段，由于克拉美羅界是最大似然算法的上界，因此本文得出的理論結(jié)果對實際系統(tǒng)的設(shè)計具有重要指導(dǎo)意義。在下一步研究計劃中，多目標(biāo)時的探測信息、如何設(shè)計雷達(dá)系統(tǒng)以達(dá)到或逼近本文給出的理論界限等問題都是值得進(jìn)一步深入研究的重點。

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