卜啟虎

[摘 要] 概念教學(xué)要立足于“問”，要立足于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”. 教學(xué)時應(yīng)“以生為本”，設(shè)計出靈動而富有成效的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)流程，并根據(jù)教學(xué)進(jìn)程合理調(diào)控教學(xué)進(jìn)度，確保教學(xué)在學(xué)生需求的方向上前進(jìn).

[關(guān)鍵詞] “慢”中求“實”；善于提問；自然課堂

眾所周知，數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是“思維的教學(xué)”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是發(fā)展學(xué)生的思維，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的終極目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成核心素養(yǎng).

鄭毓信教授提出數(shù)學(xué)教師要有三個基本功：善于舉例、善于提問和善于優(yōu)化.

概念教學(xué)要立足于“問”，課堂提問要實，要立足于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，要通過概念教學(xué)這個載體將思維訓(xùn)練植根于“草根”課堂.

“實”指課堂教學(xué)要實在，不流于形式，不搞花架子. “實”是要給學(xué)生帶來實惠，要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，極力追求自然的、綠色的課堂.

數(shù)學(xué)教學(xué)是一個“慢”的過程. 在教學(xué)中，教師應(yīng)本著學(xué)生自然生長的心態(tài)，減少教學(xué)的浮躁與功利，“等一等”，給學(xué)生獨立思考的時間和空間，讓學(xué)生體驗獨自深入探討的經(jīng)歷，讓學(xué)生體會深刻理解知識后的樂趣，讓學(xué)生有常與他人合作的機會，從而多一些對思想方法的深思和頓悟，并讓其在數(shù)學(xué)課堂上慢慢成長.

教學(xué)中，教師要深入挖掘所教授知識點的思維內(nèi)涵，控制課堂教學(xué)的節(jié)奏，放慢思維的步伐，通過設(shè)置不同層次的數(shù)學(xué)問題，給予學(xué)生分層指導(dǎo)，教給他們必要的思維策略，使“不同的人在數(shù)學(xué)上都能得到長足的發(fā)展”.

下面以“一次函數(shù)的概念”教學(xué)（片段）為例，加以說明.

經(jīng)歷并感悟一次函數(shù)產(chǎn)生的

過程

上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念以及常量和變量，同時還學(xué)習(xí)了函數(shù)的常見三種表示方法——表格法、圖像法和解析式法. 現(xiàn)在，我們一起來研究下面的問題.

問題1 一個蓄水池儲水100 m3，用0.8 m3/min的速度向外放水，若水池剩余水量為y（m3），放水時間為t（min），則當(dāng)t=20時，y為多少？

師：誰能找出該問題中的常量和變量？

生1：100和0.8是常量，t和y是變量.

師：正確. y和t之間具有怎樣的關(guān)系？

生2：y=100-0.8t.

師：好的. y是t的函數(shù)嗎？為什么？

生3：y是t的函數(shù)，因為在這個變化過程中有兩個變量，即t和y，并且對于t的每一個取值，y都有唯一的一個值與它對應(yīng).

師：很好. 當(dāng)t=20時，y等于多少？其實際意義是什么？

生4：當(dāng)t=20時，y=100-16=84，其實際意義是放水20 min后，蓄水池剩余水84 m3.

師：很棒. 獲得這個解析式經(jīng)歷了哪幾個步驟？

生5：像列方程解應(yīng)用題一樣，經(jīng)歷了審題、找數(shù)量關(guān)系、列出關(guān)系式等步驟.

師：非常好. 函數(shù)y=100-0.8t有何特點？

生6：等式右邊是一個關(guān)于t的一次二項式，是個整式.

師：很好. 其實，這種特殊的函數(shù)具有很強的現(xiàn)實意義. 例如y=5x，y=25x+6，y=100t，g=h-105，y=-0.8t+100，都是從具體的實際生活中抽象出來的. 正因為這類函數(shù)有著很強的現(xiàn)實意義，所以我們才有研究的必要. 那么，它們有何特征？有何性質(zhì)？本節(jié)課我們就來探究這些問題（揭示課題）.

說明 美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基認(rèn)為：“學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念需要進(jìn)行心理建構(gòu)，只有在自身已有知識、經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，主動建構(gòu)新知識的意義，才能達(dá)到理解. ”實際上，列式（列代數(shù)式、列方程以及函數(shù)表達(dá)式等）本身就是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，也是學(xué)生必須掌握的重點內(nèi)容之一，因此，必須留給學(xué)生充足的思考時間.

在這里慢下來，放慢教學(xué)的腳步，通過“慢呈現(xiàn)”，再現(xiàn)了列式的基本過程. 其意義在于，不僅讓學(xué)生通過回憶復(fù)習(xí)了舊知，而且從具體問題情境中準(zhǔn)確地理解了自變量、函數(shù)等知識，同時初步感知了函數(shù)的特點，給予學(xué)生足夠的時間尋找新、舊知識的連接點，并運用已有知識嘗試構(gòu)建新的知識結(jié)構(gòu)體系.

其作用是通過“慢”，能讓絕大多數(shù)學(xué)生跟上課堂步伐，有體驗、感悟的機會，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，從而讓學(xué)生學(xué)到實實在在的數(shù)學(xué)知識. 這才是真正的、能滿足學(xué)生需要的、不帶任何修飾的、樸實無華的自然課堂.

參與定義一次函數(shù)的活動

問題2 函數(shù)“y=5x，y=25x+6，y=100t，g=h-105，y=-0.8t+100”有何共同特征？

生7：這些關(guān)系式中都含有兩個變量.

師：很直觀. 我發(fā)現(xiàn)你是通過觀察變量的個數(shù)獲得結(jié)論的.

生8：右邊的代數(shù)式都是含有某個字母的整式.

師：很仔細(xì). 你能從代數(shù)式類型的角度進(jìn)行歸納.

生9：表達(dá)式中兩個變量的最高次數(shù)都是1.

師：很到位. 你能透過現(xiàn)象看本質(zhì)，從表示變量的字母的最高指數(shù)方面來進(jìn)行歸納.

生10：如果把等號左邊的字母換成0，那所有的式子都變成了一元一次方程；如果把等號左邊的字母移到等號右邊，它又變成了一個二元一次方程.

師：有道理. 你是用方程概念來歸納的.

生11：都是用字母表示的關(guān)系式.

師：非常好. 你有較強的符號表示意識.

師：好. 現(xiàn)在我們一起來歸納一下這樣的函數(shù)所具有的共同特征.

眾生：（教師板書）它們同時滿足①兩個變量的指數(shù)都為1；②必須是關(guān)于兩個變量的整式；③比例系數(shù)k≠0.

說明 建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)不是被動地接收信息，而是以原有的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，積極主動地建構(gòu)自己的理解，形成對問題的解釋. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是要讓學(xué)生的腦子真正“動”起來，思維實實在在地“活”起來，把學(xué)習(xí)過程變成數(shù)學(xué)“活動”過程，讓學(xué)生參與學(xué)習(xí)和探究，成為課堂學(xué)習(xí)的主人. 以數(shù)學(xué)現(xiàn)象為基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力；以數(shù)學(xué)問題驅(qū)動，培養(yǎng)學(xué)生的分析、探究能力；以“互動”協(xié)作為方式，培養(yǎng)學(xué)生的合作能力. 實事求是地說，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心. 概念教學(xué)常常要還原概念產(chǎn)生、發(fā)展的過程，給學(xué)生提供充分感知概念本質(zhì)特征的機會. 要達(dá)到這個目標(biāo)，必須給予學(xué)生充足的思維空間.

在這里慢下來，拉長探索歷程，通過“慢思考”，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，能給學(xué)生足夠的時間進(jìn)行觀察、歸納、總結(jié)，等待學(xué)生表達(dá)歸納的結(jié)論.

其意義在于，讓學(xué)生經(jīng)過困惑、沖撞、爭執(zhí)、頓悟的過程，深刻理解一次函數(shù)所具備的基本特征，完成對該知識結(jié)構(gòu)體系的建構(gòu). 其作用是，在“慢思考”的過程中，通過學(xué)生自己覓得知識，能夠有效地促進(jìn)新知識結(jié)構(gòu)的重建，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，提升理性思維. 這才算真正滿足學(xué)生自然發(fā)展需要的、“淡”中見“實”的綠色課堂.

師：由于這類函數(shù)以后會經(jīng)常用到，所以我們要給它一個名稱. 就像同學(xué)們剛才歸納的那樣，形如y=kx+b（k，b都是常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)叫一次函數(shù). 當(dāng)b=0時，一次函數(shù)y=kx+b就成為y=kx（k是常數(shù)，且k≠0），叫正比例函數(shù)，常數(shù)k叫比例系數(shù).

師：確定函數(shù)是否為一次函數(shù)或正比例函數(shù)，就是看它們的函數(shù)表達(dá)式經(jīng)過整理后是否符合y=kx+b（k，b都是常數(shù)，且k≠0）或y=kx（k是常數(shù)，且k≠0）的形式. 也就是說，由一次函數(shù)的定義可知，若函數(shù)是一次函數(shù)，則其解析式可化為y=kx+b（k，b都是常數(shù)，且k≠0）的形式；反之，若一個函數(shù)的解析式可化為y=kx+b（k，b都是常數(shù)，且k≠0）的形式，則此函數(shù)為一次函數(shù).

說明 建構(gòu)主義認(rèn)為：“學(xué)習(xí)是一個積極、有意義建構(gòu)的過程，需要學(xué)生有很高的心理參與和智力參與，而不是教師簡單地示范和解釋. ”其實，數(shù)學(xué)教學(xué)要“講背景，講思想，講應(yīng)用”，概念教學(xué)則要強調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷概念的概括過程. 很顯然，這樣的過程一定要在慢等待中呈現(xiàn).

在這里慢下來，通過教師的“慢引領(lǐng)”，給予學(xué)生充分的思考空間建構(gòu)一次函數(shù)的概念，從而完善函數(shù)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累. 其意義在于，讓學(xué)生把概念中蘊含的本質(zhì)屬性抽取出來，并建立在已有的基礎(chǔ)上，同時從變量的指數(shù)、表示變量的整式等多方面觀察，最后歸納、抽象、概括出一次函數(shù)的概念.

其作用是，從立足于學(xué)生發(fā)展的角度，讓學(xué)生全方位地體驗課堂，體驗發(fā)現(xiàn)問題、探索問題的過程. 在教師的“慢引領(lǐng)”下思考問題，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的和諧發(fā)展. 這才是能滿足學(xué)生自由發(fā)展的、具有自然元素的綠色課堂.

師：在下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？若是一次函數(shù)或正比例函數(shù)，則其系數(shù)k和常數(shù)項b的值各是多少？

y=4，y=3x2-x（2+3x）+1，y=4-x，y=x2，y=2πx.

生12：y=4-x，y=2πx是一次函數(shù). y=4-x的系數(shù)k為-1，常數(shù)項為4；y=2πx的系數(shù)k為2π，常數(shù)項為0. 其中，y=2πx又是正比例函數(shù)，其比例系數(shù)為2π.

師：其余的為什么不是一次函數(shù)？

生12：y=4中的k=0；y=x2中x的指數(shù)為2；y=3x2-x（2+3x）+1不滿足一次函數(shù)的表達(dá)式.

生13：不對，老師剛才講了，一次函數(shù)解析式的形式是y=kx+b（k≠0），要判斷一個函數(shù)是否為一次函數(shù)，就要判斷其是否能化成以上形式. 我覺得y=3x2-x（2+3x）+1經(jīng)化簡后得y=-2x+1，應(yīng)該是一次函數(shù)，其系數(shù)k為-2，常數(shù)項為1.

師：這個同學(xué)說得很好. 接下來請同學(xué)們思考“獲得一次函數(shù)的概念經(jīng)歷了哪幾個步驟”.

生14：先從表示生活問題的應(yīng)用題中抽象出數(shù)學(xué)表達(dá)式，然后從這些數(shù)學(xué)表達(dá)式中歸納出它們具有的共同特征，最后用形如y=kx+b（k，b都是常數(shù)，且k≠0）的形式來表示.

師：說得非常好. 這個過程體現(xiàn)了抽象思想、歸納思想、符號表示思想等.

師：通過以上學(xué)習(xí)，誰能說出一次函數(shù)與二元一次方程有何區(qū)別與聯(lián)系？

生15：一次函數(shù)是用形如y=kx+b（k，b都是常數(shù)，且k≠0）的形式來表示的，是用自變量x表示函數(shù)y. 而二元一次方程形如ax+by=c（ab≠0）. 聯(lián)系是它們之間可以互化. 將一次函數(shù)寫成kx-y+b=0（k≠0）就可將此函數(shù)看作二元一次方程，將二元一次方程ax+by=c（ab≠0）寫成 y=-x+的形式就可看作一次函數(shù).

師：非常好. 它們都是描述現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型——方程模型和函數(shù)模型，當(dāng)然也體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想.

說明 建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)生獲取知識的多少、優(yōu)劣，并不完全取決于學(xué)習(xí)者記憶和背誦教師講授內(nèi)容的能力，而最終取決于學(xué)習(xí)者根據(jù)自身經(jīng)驗去建構(gòu)有關(guān)知識的意義的能力. 事實上，“數(shù)學(xué)教學(xué)”的關(guān)鍵在于辨識出核心知識且講清核心概念蘊含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思考方法. 數(shù)學(xué)思想方法既隱身在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容之中，也體現(xiàn)在人們解決問題的基本思路中，因此滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)活動必然與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的教學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的教學(xué)交織在一起. 在這里慢下來，通過“慢等待”，給予學(xué)生一個充足的“領(lǐng)悟”數(shù)學(xué)思想的時空.

其意義在于引導(dǎo)學(xué)生揭示隱藏于知識之中的思維內(nèi)核，把數(shù)學(xué)嵌入活的思維活動之中，并不斷地在學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的過程中，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)知識，掌握方法，形成數(shù)學(xué)思想.

其作用是，向?qū)W生傳遞一個信息，即只有注重數(shù)學(xué)思想方法滲透的課堂，才算得上是有思想深度的課堂，只有這樣的課堂，才能促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展，才能真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而真正讓學(xué)生自覺地愛上數(shù)學(xué). 正所謂，自然的才是永恒的.

對一次函數(shù)概念的再辨析

師：x+y=3是一次函數(shù)嗎？

生16：x+y=3是關(guān)于x，y的二元一次方程. 如果將x+y=3化成y=-x+3，則可看成y是x的一次函數(shù). 如果將x+y=3化成x=-y+3，則可看成x是y的一次函數(shù).

師：非常棒. 該同學(xué)正確運用二元一次方程與一次函數(shù)之間的關(guān)系準(zhǔn)確地回答了本題. 由此，誰能總結(jié)出與此相關(guān)的重要結(jié)論？

生17：如果y可以表示為x的一次函數(shù)，那么x也必然可以表示為y的一次函數(shù).

師：太精彩了. 接下來請思考“2x+3是x的一次函數(shù)嗎”這一問題.

眾生茫然.

師：首先要理解函數(shù)的本質(zhì)是什么.

生18：一般地，如果在一個變化的過程中有兩個變量x和y，并且對于變量x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)，x是自變量.

師：很好. 函數(shù)是研究在某一個變化過程中，兩個變化數(shù)量之間的關(guān)系，而這兩個變量中，當(dāng)一個變量取一個值時，另一個變量有唯一的值與之對應(yīng). 因此，函數(shù)的本質(zhì)之一是一個變化過程中兩個變化的數(shù)量關(guān)系. 這里x變化了，2x+3是否也隨之變化？

生（眾）：變化.

師：既然在這樣的變化過程中有兩個變量x，2x+3，并且對于x的每一個值，2x+3都有唯一的值與之對應(yīng)，那么2x+3就是x的函數(shù). 從2x+3的形式上來看，其符合一次函數(shù)的定義，因此，2x+3是x的一次函數(shù).

眾生恍然大悟.

這里學(xué)生感到茫然主要有兩方面的原因，一是看不懂題，認(rèn)為函數(shù)大都是x，y之間的關(guān)系，這里怎么冒出2x+3與x；二是不知2x+3是x的函數(shù)，更不知2x+3是x的一次函數(shù). 由于很多教師在平時教學(xué)中呈現(xiàn)給學(xué)生的函數(shù)問題過于強調(diào)以字母x，y的形式表達(dá)，以及函數(shù)解析式的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)形式為y=kx+b（k≠0），使得學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣還在以字母x，y來表達(dá)兩個變量以及函數(shù)解析式的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)形式y(tǒng)=kx+b（k≠0）上，一旦這兩個變量換成用其他字母表達(dá)或函數(shù)解析式變成非標(biāo)準(zhǔn)形式時，學(xué)生就出錯或無從下手. 因此，教師應(yīng)及早提醒學(xué)生注意這方面的問題.

說明 概念學(xué)習(xí)的最終目的是學(xué)會應(yīng)用，其應(yīng)用需要學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的同時實施理性思維，這些都需要有一定的時空作保障，因而不能急躁、冒進(jìn). 在這里慢下來，通過“慢思維”，在學(xué)生活動過程中，突出教師的引導(dǎo)作用，在學(xué)生原有知識和教學(xué)目標(biāo)之間合理設(shè)置階梯，架設(shè)橋梁，讓學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)不斷完善自己的知識結(jié)構(gòu)體系，提升思維品質(zhì).

其意義在于，讓學(xué)生在掌握一次函數(shù)概念后，經(jīng)歷由“學(xué)”到“悟”的過程，通過深刻領(lǐng)會概念的內(nèi)涵和外延，熟練解決實際問題.

其作用是，以數(shù)學(xué)知識為載體促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，真正實現(xiàn)“數(shù)學(xué)育人”. 教師在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)、理解數(shù)學(xué)、清楚數(shù)學(xué)的前提下，實現(xiàn)對學(xué)生進(jìn)行“思維的教學(xué)”. 這才是自然課堂帶給我們的無窮魅力.

李邦河院士說：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也！”數(shù)學(xué)玩的是概念，而不是純粹的技巧. 因此，在概念的學(xué)習(xí)過程中，教師要想讓學(xué)生真正地理解概念，就必須先讓學(xué)生了解其產(chǎn)生的背景，然后通過大量實例分析概念的本質(zhì)屬性，進(jìn)而讓學(xué)生概括概念、完善概念，最終達(dá)到鞏固和應(yīng)用概念的目的. 這里讓學(xué)生再次回歸概念，慢慢領(lǐng)悟，慢慢消化，以求得實效，以加深學(xué)生對一次函數(shù)概念的理解.

實踐證明，每一個數(shù)學(xué)概念的理解都是在學(xué)習(xí)活動中發(fā)生、發(fā)展的，“發(fā)現(xiàn)一些具體情境中對象的特征——歸納對象的共性——提煉對象的本質(zhì)屬性得到概念——理解概念并運用”，這就是學(xué)生學(xué)習(xí)概念過程中常見的幾個環(huán)節(jié)，每一個環(huán)節(jié)在課堂學(xué)習(xí)中都離不開學(xué)生的“說”. 既然要讓學(xué)生大膽地“說”，就要在慢等待中給足學(xué)生思考的時間，這才是“慢”中求“實”的本意. 本來新知識的學(xué)習(xí)和應(yīng)用就應(yīng)貫穿學(xué)生的整個學(xué)習(xí)過程，學(xué)生的“思”和“悟”決定著新知學(xué)習(xí)的成效.

值得說明的是，一次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容之一——“函數(shù)”的學(xué)習(xí)，是一個起始階段，對以后學(xué)習(xí)其他諸如反比例函數(shù)、二次函數(shù)等起著指導(dǎo)作用. 這里的“慢”操作，除了要讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)函數(shù)的基本套路外，還要引導(dǎo)學(xué)生通過思考獲得學(xué)習(xí)函數(shù)的基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，而基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的獲得需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，需要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中積累. 這里的積淀也好，積累也罷，更多的時候需要“思”和“悟”，而“思”和“悟”需要一定的時間等待，因而應(yīng)慢從緩來，不能急功近利.

結(jié)束語

教學(xué)心理學(xué)研究表明：教學(xué)效果的優(yōu)劣既取決于教師教學(xué)的主導(dǎo)行為，更取決于學(xué)生作為主體在學(xué)習(xí)過程中的積極參與，而教師科學(xué)引導(dǎo)和精心主導(dǎo)下的學(xué)生主體活動會更有意義.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的終極目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成核心素養(yǎng).

教育要回歸簡單，回歸自然，回歸人性，不能急功近利. 知識的獲得，經(jīng)常也是困難、艱苦、緩慢的過程. 在教學(xué)中，適度地“慢”，才能煥發(fā)學(xué)生積極的熱情；恰當(dāng)?shù)亍奥?，才能讓探究更自主，讓激情更勃發(fā)，讓思維更靈活，讓課堂更精彩. 只有把握好 “慢”，我們的課堂才能蘊含靈動的生命力. 只有慢下來，才能回歸教育本質(zhì)，實現(xiàn)以人為本的“真教育”. 思維能力的培養(yǎng)、情感的對話、心靈的喚醒、基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的體驗，是萬萬急不來的，慢工才能出細(xì)活.

這才是在“慢教育”理念指導(dǎo)下實實在在的數(shù)學(xué)課堂，這才是我們一直努力追求的自然課堂.