王娜， 孫瑞勝， 楊智剛， 傅健

(南京理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院， 江蘇 南京 210094)

0　引言

巡飛器成本低、尺寸小、隱蔽性好[1]，能夠長時間在空中巡飛偵察、發(fā)現(xiàn)敏感目標(biāo)并對其實(shí)施精確打擊[2]，是現(xiàn)代戰(zhàn)場不可或缺的新概念武器。對于面對稱的巡飛器，多采用傾斜轉(zhuǎn)彎(BTT)控制方式，以充分利用巡飛器的機(jī)動能力[3]。然而，巡飛器BTT控制時，需要其繞速度矢量迅速滾轉(zhuǎn)，使得巡飛器的俯仰、偏航通道存在耦合，因此傳統(tǒng)的三通道單獨(dú)設(shè)計(jì)控制律不再適用[4-5]。

目前，對于BTT控制解耦設(shè)計(jì)的方法有多種，主要分為3類：一是采用經(jīng)典控制理論，通過增加一個交耦支路來抵消耦合項(xiàng)對偏航回路和俯仰回路的影響，從而能夠獨(dú)立設(shè)計(jì)各通道[6]；二是將耦合項(xiàng)看作干擾，利用現(xiàn)代控制理論補(bǔ)償，如童春霞等[7]采用變結(jié)構(gòu)滑模方法設(shè)計(jì)了輸出解耦控制律；三是采用多變量頻域理論，將耦合的多通道轉(zhuǎn)化為單通道問題，如郭鴻武等[8]采用奈奎斯特陣列法設(shè)計(jì)了動態(tài)預(yù)補(bǔ)償器。

除了耦合問題外，低速巡飛器在受到較大的外部干擾時，其動力學(xué)模型存在匹配不確定項(xiàng)與非匹配不確定項(xiàng)[9]。因此，尋找合適的控制方法是巡飛器控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。反演控制技術(shù)是近幾年發(fā)展起來的一種非線性反饋控制設(shè)計(jì)方法，它基于Lyapunov函數(shù)的逐步遞歸方法，將一定的系統(tǒng)狀態(tài)作為虛擬控制來滿足全局控制目標(biāo)，其穩(wěn)定性、收斂性和魯棒性都已得到證明[10-12]。但當(dāng)控制系統(tǒng)的不確定項(xiàng)較大時，反演法自身的魯棒性能將不再滿足要求。為此，國內(nèi)外學(xué)者大多采用自適應(yīng)反演法補(bǔ)償不確定項(xiàng)，以增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。但該方法要求對不確定項(xiàng)進(jìn)行參數(shù)化，且存在計(jì)算膨脹問題[13-15]。為了解決這個問題，學(xué)者們將反演控制、自適應(yīng)控制與滑?？刂平Y(jié)合起來[16-17]，取得了良好的控制效果。

本文在反演控制的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種魯棒反演控制器。針對巡飛器動力學(xué)模型存在不確定項(xiàng)的問題，根據(jù)Leibniz法則建立不確定項(xiàng)的模型，并將不確定項(xiàng)分為匹配與非匹配項(xiàng)，分別設(shè)計(jì)魯棒函數(shù)。利用改進(jìn)的符號函數(shù)抵消非匹配不確定項(xiàng)的影響；采用Lyapunov理論重新設(shè)計(jì)技術(shù)補(bǔ)償匹配不確定項(xiàng)。該方法直接對多輸入多輸出控制系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，不僅能夠解決BTT控制耦合問題，而且不存在計(jì)算膨脹的問題，在不確定干擾條件下能夠快速準(zhǔn)確跟蹤指令。

1　動力學(xué)建模

以巡飛器的攻角α、側(cè)滑角β和滾轉(zhuǎn)角γ以及角速度ωx、ωz和ωy作為三通道數(shù)學(xué)模型的狀態(tài)量，以舵偏角δx、δz和δy作為控制量，建立巡飛器的動力學(xué)模型[18]如下：

(1)

式中：Jx、Jz和Jy分別為巡飛器相對于彈體坐標(biāo)系各軸的轉(zhuǎn)動慣量；a1～a5、b1～b5和c1、c3分別為俯仰、偏航、滾轉(zhuǎn)通道的動力學(xué)系數(shù)。

1.1　BTT控制建模

(1)式可寫成如下塊控形式：

(2)

式中：t為時間；狀態(tài)變量x=[γαβ]T、ω=[ωxωzωy]T；控制變量u=[δxδzδy]T;系統(tǒng)矩陣與控制矩陣為

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

由于BTT控制時ωx值較大，不能將ωxβ、ωxα、ωxωy和ωxωz等耦合項(xiàng)忽略或者當(dāng)作擾動處理，三通道獨(dú)立設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)不再適用。因此，本文采用反演算法直接對該多輸入多輸出的系統(tǒng)進(jìn)行控制，設(shè)計(jì)控制變量u，使得x跟蹤其指令xc=[γcαcβc]T。

1.2　不確定項(xiàng)建模

低速巡飛器由于飛行速度較低，容易受到風(fēng)等外部因素干擾，主要表現(xiàn)為速度的不確定性。除此之外，由于氣動計(jì)算條件的限制及飛行速度的不確定性，巡飛器動力學(xué)模型中的氣動系數(shù)與實(shí)際飛行時的氣動系數(shù)之間存在較大偏差。因此，其不確定項(xiàng)主要由氣動系數(shù)與速度的不確定引起。

(8)

式中：密度ρ、特征面積S、特征長度L以及Jz為確定值；a2n為a2的確定項(xiàng)；σa2為a2的偏量函數(shù)。由(8)式可以看出，利用Leibniz法則建立的不確定項(xiàng)模型能夠更直觀地反映氣動系數(shù)和速度變化對動力學(xué)系數(shù)產(chǎn)生的影響，比較準(zhǔn)確地推導(dǎo)出動力學(xué)系數(shù)的變化范圍。按照(8)式的方法可以推導(dǎo)出所有的動力學(xué)系數(shù)不確定項(xiàng)表達(dá)式，不再贅述。

對所有動力學(xué)系數(shù)不確定項(xiàng)建模后，則(2)式可以寫成確定項(xiàng)與不確定項(xiàng)之和的如下形式：

(9)

式中：umax為u的上界，補(bǔ)償了u對x的影響；fxn、fωn和gωn分別為fx、fω和gω的確定項(xiàng)；Δfxu、Δfω和Δgω為不確定項(xiàng)，其表達(dá)式如下：

(10)

(11)

(12)

從(12)式容易看出，存在連續(xù)函數(shù)Δg′ω，且‖Δg′ω‖<1，使得Δgω=gω(x,t)Δg′ω，因此Δgω為匹配不確定項(xiàng)，其余為非匹配不確定項(xiàng)[9]。

忽略(9)式中的不確定項(xiàng)，巡飛器控制系統(tǒng)的標(biāo)稱模型可寫成如下形式：

(13)

下文中為了表達(dá)簡潔，將確定項(xiàng)fn統(tǒng)一簡寫為f.

1.3　魯棒控制邊界函數(shù)

(14)

(15)

(16)

2　控制器設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)魯棒反演控制的基本思路是：首先采用傳統(tǒng)反演法設(shè)計(jì)標(biāo)稱模型的控制律，即名義控制律；然后分別利用魯棒函數(shù)補(bǔ)償非匹配與匹配不確定項(xiàng)的影響，從而獲得完整的魯棒控制函數(shù)。

2.1　名義控制律

反演控制是一種非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，它通過引入虛擬控制，將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解成多個更簡單和階數(shù)更低的系統(tǒng)，然后選擇適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并逐步導(dǎo)出最終的控制律及參數(shù)自適應(yīng)律，實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)的有效控制和全局調(diào)節(jié)，具有系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化特點(diǎn)[10]。巡飛器名義控制律具體設(shè)計(jì)過程如下：

步驟1用ωc表示角速度的虛擬控制指令，通過設(shè)計(jì)ωc使得x的誤差ex=x-xc趨近于0. 此時ex的導(dǎo)數(shù)為

(17)

步驟2通過控制u，使得ω的誤差eω=ω-ωc趨近于0，使步驟1的假設(shè)條件成立。

系統(tǒng)誤差為

(18)

定義增廣Lyapunov函數(shù)為

(19)

(20)

(21)

2.2　非匹配項(xiàng)控制

記un為名義控制，則魯棒控制律u=un+uu+um，其中，uu為非匹配項(xiàng)的控制律，um為匹配項(xiàng)的控制律。為了抵消非匹配不確定項(xiàng)對系統(tǒng)的影響，設(shè)計(jì)(22)式所示的關(guān)于變量s的魯棒函數(shù)ν，其幅值為非匹配項(xiàng)的邊界函數(shù)ρu.ν通過在符號函數(shù)的基礎(chǔ)上增加斜率為σs的衰減項(xiàng)，可獲得比符號函數(shù)更準(zhǔn)確的控制效果，且能夠避免直接由符號函數(shù)sign(s)逼近不確定項(xiàng)所引起的系統(tǒng)振顫，從而有魯棒控制函數(shù)為

ν=ρusign(s)(1-e-σs|s|)=ρusigm(s)，

(22)

其1階導(dǎo)數(shù)為

(23)

由1.3節(jié)可知，存在非匹配項(xiàng)的控制系統(tǒng)為

(24)

系統(tǒng)誤差為

(25)

(26)

采用魯棒函數(shù)ρfxusigm(ex)來抵消不確定項(xiàng)Δfxu的影響，則虛擬控制ωc可寫成如下形式：

(27)

此時系統(tǒng)的誤差為

(28)

從而包含非匹配項(xiàng)的控制變量u′可以寫成如下形式：

(29)

式中：

(30)

用ρfxu代替不確定項(xiàng)Δfxu，則

(31)

故

(32)

(33)

又因?yàn)?/p>

(34)

(35)

所以

(36)

式中：ex的殘差項(xiàng)res(|ex|)=|ex|T(ρfxue-σex|ex|)，eω的殘差項(xiàng)res(|eω|)=|eω|T(ρfωe-σeω|eω|)有界且有最大值。事實(shí)上，

(37)

(38)

(39)

2.3　匹配項(xiàng)控制

下面采用Lyapunov再設(shè)計(jì)技術(shù)[19]補(bǔ)償匹配不確定項(xiàng)。由1.2節(jié)可推導(dǎo)出只包含匹配不確定項(xiàng)的模型為

Δg′ω(x,t))u，

(40)

式中：I3為3階單位矩陣。該系統(tǒng)的Lyapunov再設(shè)計(jì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

(41)

(42)

(-η(1-k0)+ρL)‖wT‖.

(43)

當(dāng)w=0時，控制律um不連續(xù)，可能會造成系統(tǒng)振顫。為了使控制律導(dǎo)數(shù)連續(xù)，可以再次使用sigm函數(shù)來解決，從而可得巡飛器總的魯棒控制律為

(44)

3　數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證所提出的魯棒反演控制方法的正確性和有效性，下面以某BTT近程低速巡飛器為例設(shè)計(jì)魯棒反演控制律，并與名義控制律進(jìn)行對比研究。

3.1　標(biāo)稱模型條件下的數(shù)值仿真

圖1給出了標(biāo)稱模型條件下魯棒反演控制系統(tǒng)和名義控制系統(tǒng)的跟蹤誤差er、eα、eβ對比曲線，圖2給出了標(biāo)稱模型條件下魯棒反演控制系統(tǒng)和名義控制系統(tǒng)的舵角偏角σx、σz、σy對比曲線。由圖1可以看出，兩種方法的γ、α、β的誤差均逐漸減小，1 s后接近0°，從而驗(yàn)證了魯棒反演算法的正確性。由圖2可以看出，舵偏曲線的瞬態(tài)過程雖稍有不同，但最后穩(wěn)態(tài)值幾乎相等。

3.2　存在不確定項(xiàng)的數(shù)值仿真

1)從圖3可以看出，魯棒反演控制系統(tǒng)在存在干擾的情況下也能夠準(zhǔn)確跟蹤指令信號，調(diào)節(jié)時間為1 s.

2)從圖4～圖6可以看出，名義控制系統(tǒng)跟蹤指令滾轉(zhuǎn)角與側(cè)滑角時不存在靜差，但跟蹤指令攻角時存在1.4°的靜差，不滿足要求。

3)從圖7、圖8可以看出，魯棒反演控制系統(tǒng)角速度變化范圍在-10°/s～80°/s之間，舵偏角變化范圍在-6°～1°之間，變化速率最大值為80°/s左右，無劇烈振顫，便于舵機(jī)執(zhí)行。

4　結(jié)論

本文提出了一種利用微積分學(xué)中Leibniz法則建立不確定項(xiàng)的方法，該方法能夠更直觀地反映氣動系數(shù)及速度變化對動力學(xué)系數(shù)的影響。針對塊控模型中存在非匹配和匹配不確定項(xiàng)的問題，基于sigm函數(shù)分別設(shè)計(jì)了魯棒函數(shù)進(jìn)行補(bǔ)償。仿真結(jié)果表明，當(dāng)系統(tǒng)存在較大不確定項(xiàng)時，魯棒反演控制相對于傳統(tǒng)的反演法能夠有效消除系統(tǒng)誤差，并準(zhǔn)確快速跟蹤控制指令，具有強(qiáng)魯棒性。

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