陳朝駿　李祚華　滕軍　幸厚冰

摘要：由于AMD控制系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)之間存在著相互作用CSI（control-structureinteraction），造成了以慣性質(zhì)量為支撐點向被控結(jié)構(gòu)施加的控制力不等于理論的最優(yōu)控制力，即施加的控制力將有所滯后。為此，針對AMD控制系統(tǒng)建立了不計CSI效應(yīng)、計低階CSI效應(yīng)和同時計低、高階CSI效應(yīng)的三種數(shù)學(xué)模型，經(jīng)分析表明了計低、高階CSI效應(yīng)對AMD控制系統(tǒng)的影響最大，進(jìn)而確定了由CSI效應(yīng)造成的時變時滯的范圍。針對某4層鋼框架實驗系統(tǒng)，基于保性能算法設(shè)計了相應(yīng)的時變時滯補(bǔ)償控制器，以系統(tǒng)控制效果、AMD控制力及行程為指標(biāo)，對比了有無時滯的兩種控制系統(tǒng)的性能，結(jié)果表明在較大的時變時滯的影響下，此控制算法依舊具有良好的控制效果以及穩(wěn)定的控制參數(shù)。關(guān)鍵詞：振動控制；高柔結(jié)構(gòu)；AMD控制系統(tǒng)；時變時滯；保性能控制

中圖分類號：TU352.2；TU973.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1004-4523（2018）01-0020-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.003

引言

高柔結(jié)構(gòu)的主動質(zhì)量阻尼器AMD（activemassdamper）具有控制效果好、控制頻帶寬等優(yōu)點，多用于控制該結(jié)構(gòu)水平方向的動力響應(yīng)。由于AMD控制系統(tǒng)存在著時滯效應(yīng)，導(dǎo)致了系統(tǒng)性能的降低甚至失穩(wěn)，限制了AMD控制系統(tǒng)的發(fā)展以及運用。

時滯主要來源于數(shù)據(jù)采集時滯、控制力計算時滯以及執(zhí)行機(jī)構(gòu)響應(yīng)時滯等。其中，數(shù)據(jù)采集時滯較小，可不考慮其影響；對于控制力計算時滯，目前已有學(xué)者提出了考慮高階振型信息的低維控制器設(shè)計方法，該方法壓縮了計算量，降低了控制力計算時滯對系統(tǒng)的影響。實際AMD控制系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)響應(yīng)時滯主要受控制器與結(jié)構(gòu)間的相互作用CSI（control-structure interaction）的影響。在實際工程中，Stewart等對比分析了應(yīng)用于風(fēng)輪機(jī)的主動控制系統(tǒng)中考慮與不考慮CSI效應(yīng)的影響，結(jié)果表明考慮CSI效應(yīng)的控制系統(tǒng)控制效果更好。執(zhí)行機(jī)構(gòu)的靈敏度在很大程度上取決于驅(qū)動形式，本文所采用的電磁驅(qū)動AMD系統(tǒng)是最為常見的一種控制方式。除此之外，目前有關(guān)控制系統(tǒng)CSI效應(yīng)影響側(cè)重于CSI效應(yīng)對系統(tǒng)控制效果的影響。但在實際工程中，反饋信號的輸入頻率將對CSI效應(yīng)造成影響，可通過分析尋求合適的控制電壓輸入頻率以減弱CSI效應(yīng)的影響。同時，由于該輸入頻率時刻在變化，該部分時滯是時變性也是不可忽略的。

由于時變時滯的影響，LQR控制器往往不能保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及期望性能。因此需要對系統(tǒng)的時滯進(jìn)行相應(yīng)的補(bǔ)償。實際中，Xu等針對不確定時滯系統(tǒng)提出了非脆弱魯棒H_∞控制器設(shè)計方法。H_∞控制主要考慮了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，犧牲了系統(tǒng)的性能，而保性能控制算法GCC（guaranteed cost control）是一種將系統(tǒng)性能和魯棒性相結(jié)合的LQR控制器設(shè)計方法。為了成功地將GCC算法運用到高柔結(jié)構(gòu)中，在對時滯系統(tǒng)進(jìn)行保性能狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計之前，需要求解Riccati矩陣方程的正定解，早期主要基于Riccati方程的方法，但這種方法需人為事先確定某些待定參數(shù)，然而當(dāng)前依舊缺乏尋找這些參數(shù)的最優(yōu)值的方法，這類人為確定參數(shù)的方法給控制系統(tǒng)帶來了很大的保守性，并且求解Riccati方程的方法多為迭代方法，其收斂性不能得到保證，而線性矩陣不等式LMI（Linear matrix inequality）方法可以克服求解Riccati方程困難的問題。因此，針對CSI效應(yīng)產(chǎn)生的時變時滯，研究基于LMI的保性能狀態(tài)反饋時變時滯補(bǔ)償控制器設(shè)計方法更有實際意義。

綜上分析，本文先以4層鋼框架結(jié)構(gòu)為分析對象，建立了該結(jié)構(gòu)AMD系統(tǒng)的不計CSI效應(yīng)、計低階CSI效應(yīng)和同時計低、高階CSI效應(yīng)時的數(shù)學(xué)模型，分析了控制電壓輸入頻率對CSI效應(yīng)的影響。再針對時變時滯系統(tǒng)，提出了保性能時滯補(bǔ)償控制增益的設(shè)計方法，將該系統(tǒng)的增益求解問題表示為非線性矩陣不等式組，并通過變量替換法轉(zhuǎn)化為易求解的線性矩陣不等式組，再由LMI工具箱求解出最優(yōu)解。最后通過與無時滯系統(tǒng)進(jìn)行對比，驗證了保性能時滯補(bǔ)償增益的有效性。

1考慮CSI的AMD控制系統(tǒng)

AMD控制系統(tǒng)的流程可由圖1簡單描述。圖中，v為控制電壓（或電流）信號，u為控制力，w為外激勵荷載，H_uv為伺服電機(jī)控制電壓（或電流）到控制力的傳遞函數(shù)，H_yu為控制力到被控結(jié)構(gòu)響應(yīng)的傳遞函數(shù)，H_vy為反饋狀態(tài)到控制電壓（或電流）的傳遞函數(shù)。控制器與結(jié)構(gòu)間的相互作用是指AMD控制系統(tǒng)中控制器與結(jié)構(gòu)間的相互動力影響即CSI效應(yīng)，如圖1中虛線框表示。

若考慮外激勵作用，控制系統(tǒng)的力平衡方程為

將控制力與外激勵分開考慮，式（1）可寫成狀態(tài)方程為

目前以電磁驅(qū)動的AMD系統(tǒng)應(yīng)用最為常見，驅(qū)動形式在很大程度上決定了執(zhí)行機(jī)構(gòu)的靈敏度。若控制系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)反應(yīng)足夠靈敏，則可在該周期內(nèi)完成最優(yōu)控制力的施加，即系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)響應(yīng)時滯較小。然而在實際工程中，執(zhí)行機(jī)構(gòu)響應(yīng)滯后致使最優(yōu)控制力施加滯后，可見CSI效應(yīng)其實是表現(xiàn)為控制系統(tǒng)的控制時滯。

以常用于土木結(jié)構(gòu)控制領(lǐng)域中的永磁直流（DC）旋轉(zhuǎn)電動機(jī)為例，如圖2所示。該類型電機(jī)的具體參數(shù)參考了文獻(xiàn)，對應(yīng)的輸入輸出關(guān)系可由下式表示

系統(tǒng)驅(qū)動力為

從式（6）可看出，控制力受到了結(jié)構(gòu)頂層相對速度的影響，說明由于CSI的影響，使得結(jié)構(gòu)與AMD控制系統(tǒng)的性能是結(jié)合在一起的。而且，式（6）還包含了控制力的高階項。因此根據(jù)不同精度解的要求，以某一單自由度AMD控制系統(tǒng)為例，其參數(shù)如表1所示，針對上述伺服電機(jī)參數(shù)建立了該系統(tǒng)不計CSI效應(yīng)、計低階CSI效應(yīng)和同時計低、高階CSI效應(yīng)三類不同情況的數(shù)學(xué)模型，如圖3所示。當(dāng)不考慮CSI效應(yīng)，系統(tǒng)的控制力與電壓間成線性關(guān)系，即僅考慮圖3中的（a）項，此時系統(tǒng)為理想系統(tǒng)；當(dāng)AMD控制系統(tǒng)的驅(qū)動力變化率為零，即不考慮圖3中的（c）項時，此時系統(tǒng)僅考慮了低階CSI效應(yīng)；當(dāng)系統(tǒng)驅(qū)動力變化率不為零，即同時考慮圖3中的（a），（b）和（c）項，此時系統(tǒng)考慮了低、高階CSI效應(yīng)。

1.1不計CSI效應(yīng)

不計CSI效應(yīng)時，系統(tǒng)的控制力與控制電壓間的關(guān)系為

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

系統(tǒng)的輸出方程為

在Matlab軟件Simulink仿真工具箱的環(huán)境下，根據(jù)式（11）和（12），建立了不計CSI效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。從式（12）可得，系統(tǒng)的輸出包括了位移、速度、加速度及控制力。此時，再利用命令“Bode”函數(shù)繪制出控制電壓到控制力的傳遞函數(shù)，其中輸入為控制電壓、輸出為控制力，其幅值及相角如圖4所示。司以看出：（1）傳遞函數(shù)的幅值為一常數(shù)，即輸出（控制力）與輸入（控制電壓）成線性關(guān)系；（2）傳遞函數(shù)的相角差恒為零，即控制力與控制電壓保持同相位，說明此時控制電壓到控制力的轉(zhuǎn)化過程無時間滯后。

1.2計低階CSI效應(yīng)

僅考慮低階CSI效應(yīng)時，伺服電機(jī)的輸入輸出關(guān)系為

同理，根據(jù)式（14）和（15），建立了僅計低階CSI效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。此時，其控制電壓到控制力的傳遞函數(shù)的幅值及相角如圖5所示?？梢钥闯觯海?）隨著控制電壓輸入頻率的增大，傳遞函數(shù)的幅值逐漸增大，而相角差逐漸增大（相角差為負(fù)值表明控制力滯后于控制電壓），最后均趨近于零，說明輸入電壓到輸出控制力的轉(zhuǎn)換時滯隨控制電壓輸入頻率的增大而逐漸減小，而幅值逐漸增大；（2）計及低階CSI效應(yīng)時，控制力與控制電壓間的關(guān)系受控制電壓輸入頻率的影響，而不再保持線性關(guān)系。

1.3同時計低、高階CSI效應(yīng)

同時計低、高階CSI效應(yīng)的控制系統(tǒng)，伺服電機(jī)的輸入輸出關(guān)系為

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

最后，根據(jù)式（17）和（18）建立了同時計低、高階CSI效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。此時，其控制電壓到控制力的傳遞函數(shù)的幅值及相角如圖6所示?？梢钥闯觯海?）隨著控制電壓輸入頻率的增大，傳遞函數(shù)的幅值和相角差均先增大后減?。唬?）當(dāng)控制電壓輸入頻率過大或過小時，其到控制力傳遞函數(shù)幅值及相角差較小，說明此時單位控制電壓對應(yīng)的控制力較小，且時間滯后較大。

綜合圖4～6可知：（1）理想情況下AMD控制系統(tǒng)的輸入到輸出傳遞函數(shù)的幅值最大，即單位控制電壓產(chǎn)生的控制力最大，而相角差相比最小，即控制力滯后于控制電壓的時間最短。因此，不計CSI效應(yīng)的伺服電機(jī)性能相比最好，計及低階CSI效應(yīng)時次之，而計及高階CSI效應(yīng)時最差；（2）外激勵（包括控制力）的頻率過大或過小時，傳遞函數(shù)幅值及相角（負(fù)值）較小，則單位電壓產(chǎn)生的控制力較小，且控制力滯后于控制電壓的時間較長，即控制系統(tǒng)的時滯較大；若適當(dāng)減?。ɑ蛟龃螅┛刂屏敵鲱l率使得其位于幅頻曲線和相頻曲線的峰值附近，則單位控制電壓可轉(zhuǎn)換成較大的控制力且控制系統(tǒng)附加時滯會較小；（3）外界激勵對AMD控制系統(tǒng)影響，也可歸結(jié)為對控制電壓到控制力傳遞函數(shù)的幅值（影響控制力大小，與控制增益對應(yīng)）或相角（影響控制力相位，與控制時滯對應(yīng)）的影響。因為AMD控制系統(tǒng)持續(xù)對被控結(jié)構(gòu)施加控制力，系統(tǒng)受外界的影響可主要是對傳遞函數(shù)相角的影響。

2實驗系統(tǒng)的時滯范圍確定

由圖4～6可知，當(dāng)控制力的頻率一定，則控制輸入到輸出的相角差一定，即控制輸出滯后于輸入的延時一定；而當(dāng)控制力（包括外激勵）的頻率時刻變化時，系統(tǒng)的時滯將時刻變化。以El Centro波（SN向）為例，其調(diào)幅后的時程曲線及其經(jīng)FFT變換之后的付氏譜特性曲線如圖7所示，此時地震波作用下不計CSI效應(yīng)、計低階CSI效應(yīng)和同時計低、高階CSI效應(yīng)的系統(tǒng)控制電壓與控制力歸一化后的對比情況如圖8所示?？芍?，在El Centro波作用下，不計CSI效應(yīng)及計低階CSI效應(yīng)時控制力與控制電壓基本同步，而同時計低、高階CSI效應(yīng)時系統(tǒng)控制力滯后于控制電壓較多，此種情況與實際工程最為接近，故實際中控制力滯后于控制電壓一個時變時滯。

上述伺服電機(jī)控制系統(tǒng)控制力滯后于控制電壓的時滯隨時間變化曲線及其變化率曲線如圖9所示。可以看出：（1）El Centro波作用下，上述伺服控制系統(tǒng)控制力滯后于控制電壓的時間變化較大，其最大時滯為0.11s；（2）地震作用結(jié)束后，控制力滯后于控制電壓的時間保持常數(shù)（0.11s）且達(dá)到最大。這是由于此時外激勵頻率（或反饋信號頻率，即控制電壓輸入頻率）為0，相角差最大，則控制系統(tǒng)的時滯最大。

3保性能時滯補(bǔ)償控制器設(shè)計

3.1保性能時滯補(bǔ)償增益設(shè)計原理

由于頻率不一的外激勵作用下，同時計低、高階CSI效應(yīng)時伺服電機(jī)的輸入（控制電壓）到輸出（控制力）存在著較大的時變時滯。因此，進(jìn)行保性能時滯補(bǔ)償控制增益的設(shè)計尤為必要。

受時滯影響的系統(tǒng)控制力為（19）式中G為控制系統(tǒng)的保性能時滯補(bǔ)償增益，d（t）為控制系統(tǒng)的時滯。

將式（19）代入式（2），若不考慮外激勵作用，則系統(tǒng)狀態(tài)方程為

在外激勵及控制力作用下，考慮時滯影響的閉環(huán)系統(tǒng)可表示為

（27）則系統(tǒng)（25）是漸近穩(wěn)定的。由式（27）可得

對式（29）兩邊進(jìn)行積分，可求得時滯閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo)滿足

3.2實驗結(jié)果分析

針對文獻(xiàn)[8]所述的實驗系統(tǒng)，基于3.1節(jié)為理論基礎(chǔ)設(shè)計該實驗系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)反饋保性能時滯補(bǔ)償控制器，并通過延遲輸出控制力引人大小為0～0.5s的隨機(jī)時滯。本文重點關(guān)注AMD裝置所在結(jié)構(gòu)樓層（第4層）的控制效果以及AMD行程的大小。為了能夠選取到合適的權(quán)系數(shù)，本文先設(shè)計了該實驗系統(tǒng)的LQR經(jīng)典最優(yōu)控制器，再通過對該結(jié)構(gòu)各樓層的控制效果以及AMD控制參數(shù)進(jìn)行數(shù)值分析，最終確定了權(quán)矩陣中第4層位移項、AMD慣性質(zhì)量塊位移項以及經(jīng)濟(jì)指標(biāo)所對應(yīng)的加權(quán)系數(shù)Q₄，Q₅和R的取值，分別為6×10⁵，3×10²和1×10^-3，其余各層的加權(quán)系數(shù)均設(shè)為零。在加載頻率為1Hz，峰值為45.89N的正弦激勵荷載作用下，無控、無時滯系統(tǒng)和有時滯且Gcc補(bǔ)償系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)第4層位移、加速度響應(yīng)對比情況如圖10，11所示，對應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)、控制效果以及AMD性能指標(biāo)如表2所示。表2中的每一工況的實驗取時為300s，圖10，11中都僅給出時間為30s的數(shù)據(jù)。

從圖10，11及表2可以看出：（1）當(dāng)不考慮時滯效應(yīng)時，本文設(shè)計的最優(yōu)狀態(tài)反饋保性能控制器能有效地控制結(jié)構(gòu)響應(yīng)；（2）當(dāng)考慮時滯效應(yīng)時，該控制器還可對時變時滯進(jìn)行補(bǔ)償，保性能控制器依然有效，結(jié)構(gòu)位移、加速度控制效果較無時滯系統(tǒng)而言，分別僅變化了4.15%，-5.58%；因此，運用保性能控制方法對AMD控制系統(tǒng)中含有較大時變時滯的工況時，依然能夠?qū)⒔Y(jié)構(gòu)響應(yīng)控制在較理想的范圍內(nèi)。

4結(jié)論

本文基于伺服電機(jī)輸入輸出關(guān)系建立了4層鋼框架AMD控制系統(tǒng)3種不同類型的CSI效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，明確了CSI效應(yīng)對控制系統(tǒng)的影響主要表現(xiàn)為造成了系統(tǒng)時滯的時變性，進(jìn)而分析了該時變時滯的范圍，最后設(shè)計了相應(yīng)的保性能時變時滯補(bǔ)償控制器。得出主要結(jié)論如下：

（1）當(dāng)AMD控制系統(tǒng)不考慮CSI效應(yīng)時，控制電壓到控制力傳遞函數(shù)的幅值為定值，而其相角為零，控制系統(tǒng)的附加時滯為零。

（2）當(dāng)AMD控制系統(tǒng)考慮CSI效應(yīng)時，可通過適當(dāng)調(diào)節(jié)控制電壓輸入頻率（控制力輸出頻率），使得其位于幅頻曲線和相頻曲線的峰值附近，此時傳遞函數(shù)的幅值最大而相角最小，即單位控制電壓可轉(zhuǎn)換成較大的控制力且控制系統(tǒng)的附加時滯會較小。

（3）AMD控制系統(tǒng)的CSI效應(yīng)其實質(zhì)為控制力滯后于控制電壓的時間。在頻率不一的外激勵如地震荷載的作用下，該時滯為某一時刻變化的量，因此實際AMD控制系統(tǒng)為時變時滯控制系統(tǒng)。

（4）當(dāng)系統(tǒng)考慮時變時滯時，最優(yōu)狀態(tài)反饋保性能控制器能明顯減輕結(jié)構(gòu)的風(fēng)振響應(yīng)，且與無時滯系統(tǒng)相比，兩者的控制效果、AMD控制力及其行程輸出基本相當(dāng)。因此，本文設(shè)計的最優(yōu)狀態(tài)反饋保性能時滯補(bǔ)償控制器能有效減小CSI效應(yīng)的影響。