■河北省廊坊市中國(guó)石油天然氣管道局中學(xué)　

帶電粒子在場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng),既有拋體運(yùn)動(dòng),又有圓周運(yùn)動(dòng),還能通過(guò)特殊的場(chǎng)環(huán)境對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)進(jìn)行轉(zhuǎn)軌組合,實(shí)現(xiàn)周期性側(cè)移和回旋,以綜合力和能的知識(shí)全面考查中學(xué)物理知識(shí),從而培養(yǎng)科學(xué)的物理思維方法。

1.組合磁場(chǎng)環(huán)境

例1 如圖1所示,空間某平面內(nèi)有一條折線是磁場(chǎng)的分界線,在折線的兩側(cè)分布著方向相反、與平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小都為B,折線的頂角∠A=90°,P、Q是折線上的兩點(diǎn),且AP=AQ=L。現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶負(fù)電荷量為q的微粒,從P點(diǎn)沿PQ連線方向射出,不計(jì)微粒的重力。

圖1

(1)為使微粒從P點(diǎn)射出后途經(jīng)折線的頂點(diǎn)A而到達(dá)Q點(diǎn),求微粒的初速度應(yīng)滿足的條件。

(2)求(1)問(wèn)中的微粒從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所用時(shí)間的最小值。

解析:(1)要使微粒能從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn),則必須多次穿越兩磁場(chǎng)分界線。因?yàn)閮纱艌?chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等,所以由對(duì)稱性可知,只要滿足L=nx(n=1,2,3,…),其中x為每次偏轉(zhuǎn)圓弧對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng),n為PA或AQ邊上的圓弧數(shù)。當(dāng)n取奇數(shù)時(shí),在PA邊上的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為,在AQ邊上的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為;當(dāng)n取偶數(shù)時(shí),在PA、AQ邊上的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角都是如圖2所示,設(shè)微粒的軌跡半徑為R,由幾何關(guān)系得,又有解得

圖2

(2)要使微粒從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所用的時(shí)間最短,則需微粒從P點(diǎn)到Q點(diǎn)間的圓弧數(shù)最少,即n=1或n=2時(shí)即可。當(dāng)n=1和n=2時(shí),微粒從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的偏轉(zhuǎn)圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角總和都為2π,故最小時(shí)間

圖3

例2 如圖3所示,空間存在兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ、Ⅱ,磁場(chǎng)Ⅰ足夠大,與磁場(chǎng)Ⅱ的分界線是半徑為R的圓周,磁場(chǎng)Ⅰ、Ⅱ的方向相反且垂直于紙面,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B,水平直線MN過(guò)圓形磁場(chǎng)的圓心。現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶負(fù)電荷量為q的粒子從P點(diǎn)沿PM方向向左射出,不計(jì)粒子重力。

(1)若粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)中不斷地飛進(jìn)飛出,最后又能返回P點(diǎn),求其返回P點(diǎn)的最短時(shí)間,以及粒子對(duì)應(yīng)的速度。

(2)若粒子最終回到P點(diǎn)時(shí)的速度方向與從P點(diǎn)出發(fā)時(shí)的相同,求粒子的速度所滿足的條件。

圖4

解析:(1)根據(jù)題意可知,粒子從P點(diǎn)射出后,進(jìn)、出磁場(chǎng)Ⅱ一次即返回P點(diǎn)所用的時(shí)間最短,軌跡如圖4所示。設(shè)粒子的軌跡半徑為r,由幾何關(guān)系得,又有qvB=解得粒子在磁場(chǎng)Ⅰ中的兩個(gè)回旋角都為300°,在磁場(chǎng)Ⅱ中的回旋角為60°,故返回P點(diǎn)的最短時(shí)間,又有T=,解得

(2)由(1)知粒子從P點(diǎn)出發(fā)每次進(jìn)出兩場(chǎng),都在分界線上 “周期性側(cè)移”一段弧長(zhǎng),粒子要能再次返回出發(fā)點(diǎn),粒子經(jīng)過(guò)兩場(chǎng)分界線的穿越點(diǎn)需正好均分邊界線。設(shè)各相鄰穿越點(diǎn)與磁場(chǎng)Ⅱ的圓心O的連線間的夾角為α,則由周期性和對(duì)稱特點(diǎn)得3,4,5,…),式中k可理解為從P點(diǎn)出發(fā)再返回到P點(diǎn)的過(guò)程中粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)分界線上完成的“周期性側(cè)移”次數(shù)(等分?jǐn)?shù))。如圖5所示分別為k=4,5,6粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的情境。由幾何關(guān)系知,又有qvB=,解得,且當(dāng)k取偶數(shù)時(shí),粒子返回P點(diǎn)時(shí)的速度方向水平向左,與出發(fā)時(shí)的相同。

點(diǎn)評(píng):在組合磁場(chǎng)中,帶電粒子通過(guò)周期性側(cè)移完成周期性回旋。分析磁場(chǎng)的結(jié)構(gòu)(如場(chǎng)的方向與大小關(guān)系、場(chǎng)邊界的形狀等)、畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖、確定一個(gè)側(cè)移周期內(nèi)粒子在磁場(chǎng)分界線(直線或圓)上發(fā)生的距離與軌跡半徑的關(guān)系是解題的重要環(huán)節(jié)。

2.交變磁場(chǎng)環(huán)境

圖5

例3 在直角坐標(biāo)系xOy的第一象限(包括x、y軸)內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0、方向垂直于xOy平面且隨時(shí)間周期性變化的均勻磁場(chǎng),磁場(chǎng)變化規(guī)律如圖6所示,規(guī)定垂直于xOy平面向里的磁場(chǎng)方向?yàn)檎?。一質(zhì)量為m、帶正電荷量為q的粒子(重力和空氣阻力均不計(jì)),從坐標(biāo)原點(diǎn)O以某一速度v0沿x軸正方向垂直射入磁場(chǎng)中,經(jīng)過(guò)一個(gè)磁場(chǎng)變化周期T0時(shí)間后到達(dá)第一象限內(nèi)的某點(diǎn)P,此時(shí)粒子的速度方向恰好沿x軸正方向。

圖6

(3)若粒子在t=0時(shí)刻以速度v0(已知)從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)中,求粒子能夠到達(dá)的P點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值ymax和對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)變化周期T0的值。

(4)若P點(diǎn)坐標(biāo)為(d,d),要使粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度方向與OP連線成45°角,求滿足這一條件的磁場(chǎng)變化的周期T0,以及粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度v0。

解析:(1)設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T,則,故當(dāng)粒子在t=時(shí)刻從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)中時(shí),在隨后的T0時(shí)間內(nèi)粒子在y軸方向上的位移一定為零,粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖7所示,則OP=4r,又有,解得P點(diǎn)的位置坐標(biāo)為

圖7

(2)要使粒子必須從P點(diǎn)經(jīng)過(guò)且速度方向總是沿x軸正方向,只要粒子發(fā)生如圖7所示的周期性側(cè)移即可,則d=n·4r(n=1,2,3,…),式中n為粒子在O、P兩點(diǎn)間運(yùn)動(dòng)的等效周期數(shù),又有,解得粒子速度的可能值v=0

(3)根據(jù)題意可知,要使粒子通過(guò)P點(diǎn)時(shí)的縱坐標(biāo)值最大,其運(yùn)動(dòng)軌跡就必須盡可能靠近y軸,極限條件是與y軸相切,如圖8所示。由幾何關(guān)系得OO1=PO2=r,O1O2=2r,,故P點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值ymax=OO1+AO1+從t=0時(shí)刻開(kāi)始,粒子每轉(zhuǎn)過(guò)α+90°=150°,磁場(chǎng)方向必須改變一次,即在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)粒子轉(zhuǎn)過(guò)150°角,則,解得

圖8

圖9

(4)要使粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度方向與OP連線成45°角,須在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi),粒子在磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)45°角,運(yùn)動(dòng)軌跡如圖9中的實(shí)線圓弧和虛線圓弧。因?yàn)樗源艌?chǎng)變化周期。每一個(gè)圓弧對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng),圓弧半徑又有,解得v=0(n=1,2,3,4,…)。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度方向沿y軸正方向;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度方向沿x軸正方向。

點(diǎn)評(píng):求解因磁場(chǎng)變化引起的周期性側(cè)移和回旋問(wèn)題,畫(huà)出符合題意的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵,確定磁場(chǎng)變化周期與粒子回旋周期的關(guān)系、粒子軌跡的圓弧弦長(zhǎng)與側(cè)移距離的關(guān)系是解題的兩個(gè)重要途徑,重視因時(shí)空周期性引起的系列解的取值是避免不完整解的有效環(huán)節(jié)。

3.中空磁場(chǎng)環(huán)境

例4 一個(gè)圓環(huán)形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),內(nèi)半徑R1=1m,磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T。一帶電粒子從環(huán)心沿半徑方向從中空區(qū)域與磁場(chǎng)交界面的P點(diǎn)以速度v0=4×107m/s射入磁場(chǎng),粒子的比荷4×107C/kg,不計(jì)粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的相互作用和重力。

(1)為約束該粒子不穿越磁場(chǎng)外邊界,求磁場(chǎng)區(qū)域的最小外半徑R2。

解析:(1)設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑為R,則,解得R=1m。粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖10甲所示,由幾何關(guān)系得解得R2=(1+

(2)設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r,則m。由幾何關(guān)系得θ=30°,∠POP'=60°,故帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后每回旋240°又回到中空部分。粒子周期性回旋一周的軌跡如圖10乙所示,故粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到第一次回到P點(diǎn),在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間,在中空部分的運(yùn)動(dòng)時(shí)間,又有,所求總時(shí)間t=t1+t2=5.74×10-7s。

圖10

點(diǎn)評(píng):通過(guò)中空磁場(chǎng)實(shí)現(xiàn)帶電粒子的周期性側(cè)移與回旋,實(shí)質(zhì)是通過(guò)無(wú)場(chǎng)區(qū)域讓粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)來(lái)銜接兩次相鄰的圓周運(yùn)動(dòng)。重視空間對(duì)稱性可有助于快捷分析此類問(wèn)題。

4.電、磁復(fù)合場(chǎng)環(huán)境

例5 如圖11甲所示,在xOy豎直平面內(nèi)存在著與y軸平行的足夠大勻強(qiáng)電場(chǎng)(圖中未畫(huà)出),現(xiàn)垂直于xOy平面加一足夠?qū)挼拇艌?chǎng)區(qū)域,規(guī)定磁場(chǎng)方向向外為正,磁感應(yīng)強(qiáng)度變化如圖11乙所示,圖中B0為已知量,t0、t1為未知量。一個(gè)質(zhì)量為m、帶正電荷量為q的小球,從t=0時(shí)刻開(kāi)始,以初速度v0從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿直線OP方向運(yùn)動(dòng),已知小球在以后的運(yùn)動(dòng)中能垂直于OP連線方向通過(guò)OP連線上坐標(biāo)為(4L,3L)的D點(diǎn),取g=10m/s2。求:

圖11

(1)勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向。

(2)滿足條件的t1表達(dá)式。

(3)通過(guò)進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn),小球通過(guò)D點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)具有周期性,則此運(yùn)動(dòng)的周期是多少?

解析:(1)0～t1時(shí)間內(nèi)無(wú)磁場(chǎng),小球在重力和靜電力作用下沿初速度v0方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),根據(jù)平衡條件得qE-mg=0,解得,方向豎直向上。

圖12

(2)根據(jù)題意可知,要使小球垂直O(jiān)P連線方向通過(guò)D點(diǎn),只能讓小球勻速直線運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)以后的某個(gè)位置C,再做勻速圓周運(yùn)動(dòng)并使其運(yùn)動(dòng)方向改變270°,然后沿直線運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)D點(diǎn),軌跡如圖12中實(shí)線部分所示。設(shè)小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為R,周期為T0,由周期性特點(diǎn)可知,只要小球在洛倫茲力作用下的運(yùn)動(dòng)時(shí)間(n=0,1,2,…),就可垂直于OP連線方向通過(guò)D點(diǎn),由圖可知,C、D兩點(diǎn)間的距離等于粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑R。小球在t1時(shí)間內(nèi)由O點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的位移s=,故在t1～t1+t0時(shí)間內(nèi),小球在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則,解得t=1

(3)小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T0=,由(2)知1,2,…),由磁場(chǎng)變化的周期性畫(huà)出小球運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖12所示(包括實(shí)線部分與虛線部分),故小球做大回旋的周期

點(diǎn)評(píng):對(duì)于通過(guò)電場(chǎng)和磁場(chǎng)組合的環(huán)境使帶電體完成側(cè)移或周期性回旋的問(wèn)題,重視確定兩場(chǎng)分界線處粒子的運(yùn)動(dòng)方向是重要的解題環(huán)節(jié),靈活利用軌跡示意圖展示的時(shí)空對(duì)稱性是重要的解題工具。