■山東省沂源縣第一中學(xué)　

噴泉連續(xù)噴水、粒子連續(xù)碰撞器壁、機(jī)槍連續(xù)發(fā)射子彈等都屬于連續(xù)作用問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是待研究問(wèn)題涉及的對(duì)象是連續(xù)的、變化的,這類(lèi)研究對(duì)象與常見(jiàn)的作為研究對(duì)象的小球、滑塊、帶電粒子、通電導(dǎo)線等單個(gè)物體不同。單個(gè)物體作為研究對(duì)象時(shí),物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況容易分析,而對(duì)于連續(xù)作用的問(wèn)題若不能恰當(dāng)?shù)亍案綦x”出一定的對(duì)象進(jìn)行研究就很難進(jìn)行分析判斷。下面舉例說(shuō)明應(yīng)該怎樣選取研究對(duì)象,又該怎樣對(duì)研究對(duì)象運(yùn)用物理規(guī)律。

例題(2016年高考全國(guó)Ⅰ卷,噴泉連續(xù)噴水問(wèn)題)某游樂(lè)園入口旁有一噴泉,噴出的水柱將一質(zhì)量為M的卡通玩具穩(wěn)定地懸停在空中。為計(jì)算方便起見(jiàn),假設(shè)水柱從橫截面積為S的噴口持續(xù)以速度v0豎直向上噴出;玩具底部為平板(面積略大于S);水柱沖擊到玩具底板后,在豎直方向上水的速度變?yōu)榱?在水平方向上朝四周均勻散開(kāi)。忽略空氣阻力。已知水的密度為ρ,重力加速度大小為g。求:

(1)噴泉單位時(shí)間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量。

(2)玩具在空中懸停時(shí),其底面相對(duì)于噴口的高度。

解析:(1)因?yàn)樵趪娍谔巼姵龅乃乃俣葹関0,所以在一段極短時(shí)間Δt內(nèi),從噴口噴出的水柱的長(zhǎng)度 Δl=v0Δt,體積 ΔV=Δl·S,質(zhì)量Δm=ρΔV,解得噴泉單位時(shí)間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量為

(2)設(shè)水柱對(duì)玩具底部的作用力為F沖,如圖1所示,玩具受力平衡,則F沖=Mg。由牛頓第三定律可知,玩具底部對(duì)水的反作用力F壓=F沖。設(shè)玩具懸停時(shí)其底面相對(duì)于噴口的高度為h,水柱到達(dá)玩具底部時(shí)的速度大小為v,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得在極短時(shí)間Δt內(nèi),沖擊玩具的水柱的質(zhì)量為 Δm,則 Δm=ρv0SΔt。對(duì)該部分水柱應(yīng)用動(dòng)量定理,取豎直向下為正方向,則(F壓+Δm·g)Δt=0-(-Δm·v)。因?yàn)棣很小,所以在Δt時(shí)間內(nèi)沖擊玩具的小水柱的重力Δm·g很小,可以忽略,則F壓Δt=Δm·v,解得

圖1

連續(xù)作用問(wèn)題研究對(duì)象的選定和動(dòng)量定理的運(yùn)用需要具備以下幾個(gè)方面的認(rèn)識(shí):

(1)對(duì)“小水柱”厚度的認(rèn)識(shí):我們認(rèn)為撞擊玩具時(shí)“小水柱”的速度都是同一個(gè)值,因此“小水柱”的厚度不能認(rèn)為是1cm、0.01cm等具體數(shù)值,而應(yīng)該認(rèn)為“小水柱”是一個(gè)厚度趨近于零的液體薄層。

(2)對(duì)“小水柱”質(zhì)量Δm的認(rèn)識(shí):Δm為在極短時(shí)間Δt內(nèi)沖擊玩具的液體薄層的質(zhì)量。質(zhì)量Δm應(yīng)是直接和玩具作用、應(yīng)用動(dòng)量定理的研究對(duì)象。因?yàn)闆_擊玩具時(shí)已經(jīng)散開(kāi)的水柱的橫截面積未知,所以我們需要借助于“流動(dòng)液體的連續(xù)性原理”(在單位時(shí)間內(nèi),流過(guò)任意橫截面積的液體質(zhì)量都相等,即ρvS=恒量),將質(zhì)量Δm用已知量表達(dá)為Δm=ρv0SΔt。

(3)對(duì)極短時(shí)間Δt的認(rèn)識(shí):應(yīng)用動(dòng)量定理時(shí),極短時(shí)間Δt不能認(rèn)為是1s、0.1s、0.01s等具體的極短時(shí)間段,而應(yīng)該認(rèn)為Δt是無(wú)限趨近于零的一個(gè)極限時(shí)間段。

只有具備上述幾個(gè)方面的認(rèn)識(shí),我們才能隔離出一定質(zhì)量Δm的“小水柱”作為研究對(duì)象,其在Δt時(shí)間內(nèi)由初動(dòng)量Δm·v減小為末動(dòng)量0,從而應(yīng)用動(dòng)量定理成功求出玩具對(duì)“小水柱”的作用力。

拓展1:(粒子連續(xù)碰撞器壁問(wèn)題)正方體密閉容器中有大量運(yùn)動(dòng)粒子,每個(gè)粒子的質(zhì)量為m,單位體積內(nèi)粒子的數(shù)量n為恒量。為簡(jiǎn)化問(wèn)題,我們假定:粒子大小可以忽略;其速率均為v,且與器壁各面碰撞的機(jī)會(huì)均等;與器壁碰撞前后瞬間,粒子速度的方向都與器壁垂直,且速率不變。請(qǐng)你利用所學(xué)力學(xué)知識(shí),導(dǎo)出器壁單位面積所受粒子壓力f與m、n和v的關(guān)系。

圖2

解析:如圖2所示,在時(shí)間Δt內(nèi),以器壁上面積為S的部分為底、以vΔt為高構(gòu)成柱體,此柱體內(nèi)粒子的總數(shù)為nSvΔt。此柱體內(nèi)有的粒子在Δt時(shí)間內(nèi)與器壁上面積為S的器壁發(fā)生碰撞,碰撞器壁的粒子數(shù)目N=。一個(gè)粒子與器壁碰撞一次,器壁給粒子的沖量大小ΔI=2mv,則粒子給面積為S的器壁的沖量大小ΔI'=ΔI=2mv,Δt時(shí)間內(nèi)粒子給器壁的總沖量I=NΔI'=,面積為S的器壁受到粒子的作用力,器壁單位面積所受粒子的壓力

點(diǎn)評(píng):此題中粒子無(wú)論向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng),做的都是勻速直線運(yùn)動(dòng),因此我們運(yùn)用動(dòng)量定理選取的時(shí)間Δt可長(zhǎng)可短,即不一定是一個(gè)極短時(shí)間。這與例題中“小水柱”做勻減速直線運(yùn)動(dòng)不同,例題中所選的時(shí)間段必須很短暫。

拓展2:(機(jī)槍連續(xù)發(fā)射子彈問(wèn)題)一挺機(jī)槍每分鐘連續(xù)發(fā)射子彈120顆,一顆子彈的質(zhì)量為50g,子彈從槍膛射出時(shí)的速度為1000m/s,則機(jī)槍手在射擊時(shí)需要用多大的力才能抵住機(jī)槍?

解析:設(shè)每顆子彈的質(zhì)量為m,每秒發(fā)射子彈n顆,在時(shí)間Δt內(nèi),機(jī)槍發(fā)射的子彈的質(zhì)量Δm=mnΔt,對(duì)時(shí)間Δt內(nèi)射出的子彈應(yīng)用動(dòng)量定理,取子彈運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较?則FΔt=Δm·v-0,其中F為機(jī)槍對(duì)子彈的作用力,解得F=mnv=100N。根據(jù)牛頓第三定律可知,子彈對(duì)機(jī)槍的沖力大小是100N,因此機(jī)槍手在射擊時(shí)也需要用100N的力才能抵住機(jī)槍。

點(diǎn)評(píng):子彈連續(xù)發(fā)射時(shí),機(jī)槍和子彈之間持續(xù)有作用力。我們一般選取時(shí)間Δt內(nèi)射出的子彈為研究對(duì)象,運(yùn)用動(dòng)量定理,分析作用力,這樣選取的時(shí)間具有一般性、任意性,能夠體現(xiàn)作用力的連續(xù)性。有些同學(xué)會(huì)用一分鐘時(shí)間內(nèi)的120顆子彈為研究對(duì)象運(yùn)用動(dòng)量定理,這樣求解的作用力不能體現(xiàn)力的持續(xù)作用。

跟蹤訓(xùn)練

1.一股水流以10m/s的速度從噴嘴豎直向上噴出,噴嘴截面積為0.5cm2,有一質(zhì)量為0.32kg的小球,因受水對(duì)其下側(cè)的沖擊而停在空中,若水沖擊小球后的速度變?yōu)?,則小球停在離噴嘴多高處?(取重力加速度g=10m/s2)

2.將質(zhì)量為500g的杯子放在臺(tái)秤上,一個(gè)水龍頭以每秒700g水的流量注入杯中。注至10s末時(shí),臺(tái)秤的讀數(shù)為78.5N,則注入杯中水流的速度是多大?(取重力加速度g=10m/s2)

3.高壓采煤水槍出水口的橫截面積為S,水的流速為v,水柱沿水平方向垂直地射到煤層上后,速度變?yōu)?。若水的密度為ρ,假定水柱的橫截面積不變,則水對(duì)煤層的沖擊力是多大?

參考答案:

1.2.952m。

2.5m/s。

3.ρSv2。