胡進(jìn)峰, 謝　浩, 李朝海, 李會勇, 謝菊蘭

(電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院, 四川 成都 611731)

0　引　言

用來波到達(dá)時間(time-of-arrival, TOA)對目標(biāo)進(jìn)行定位本質(zhì)上是一個非線性估計問題。目前,常見的TOA定位估計算法有兩類。第一類是泰勒級數(shù)法[1-4],該算法用一階泰勒級數(shù)展開對非線性方程進(jìn)行線性化處理,其收斂性十分依賴初始值的選取,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)高度非線性并且在初始值選取不理想的情況下,收斂性難以保證;第二類為基于最小二乘法(least squares, LS)的TOA定位估計算法,包括標(biāo)準(zhǔn)LS[5]、加權(quán)LS(weighted LS, WLS)[6]、兩級加權(quán)LS[7]等。其中,文獻(xiàn)[8]提出了一種具有約束條件的加權(quán)LS估計(constrained weighted LS, CWLS),其估計結(jié)果較標(biāo)準(zhǔn)LS有了較大的提升,然而由于該算法只是利用了單次TOA樣本進(jìn)行估計,因此其估計結(jié)果易受噪聲影響,估計的精度與穩(wěn)定性依然有待提高。綜上所述,已有的大部分TOA估計算法的定位精度都有待進(jìn)一步提高;并且大都只是利用單次TOA進(jìn)行估計,因此其定位結(jié)果受噪聲影響較大。

針對上述問題,注意到TOA定位中,目標(biāo)在空間中是稀疏的,本文提出將TOA定位問題轉(zhuǎn)換成一個稀疏重構(gòu)問題,并給出了基于貝葉斯準(zhǔn)則的求解算法。所提方法可以對多樣本進(jìn)行聯(lián)合估計,從而提高了定位精度與穩(wěn)定性。

1　TOA定位估計原理

TOA定位估計原理是:通過測量移動端(mobile station, MS)到各基站(base stations, BSs)之間的單向傳播時間來得到一組經(jīng)過MS且以BSs為圓心的圓方程組,TOA定位估計問題就轉(zhuǎn)換為了求解一組非線性圓方程的問題。但是由于方程組的高度非線性性,以及噪聲對TOA的影響,導(dǎo)致對其進(jìn)行精確定位難度極高。

假設(shè)(x,y)為目標(biāo)坐標(biāo),已知第i個基站坐標(biāo)為(xi,yi)(i=1,2,…,M),其中，M為接收信號的總基站個數(shù)。因此,不考慮測量誤差,目標(biāo)與各基站之間的距離定義為

(1)

發(fā)射信號由目標(biāo)單向傳播至各基站的時間為

(2)

式中,c為光速。因此,考慮測量誤差，基于傳播時間ti的相對距離ri定義為

ri=di+ei,i=1,2,…,M

(3)

式中,ei為第i個基站的測量誤差。設(shè)每個基站的測量誤差ei為零均值,方差為σ2的高斯白噪聲。將式(3) 兩邊同時平方得到

(4)

Aθ=b

(5)

2　基于多樣本的稀疏重構(gòu)算法

在第1節(jié)所描述的TOA定位估計原理中,注意到目標(biāo)在空間中是稀疏的,因此本文提出將TOA定位求解問題轉(zhuǎn)換為一個稀疏重構(gòu)問題,并進(jìn)一步給出了一種基于貝葉斯準(zhǔn)則的求解算法。該算法可以對多樣本進(jìn)行聯(lián)合估計,從而提高定位的精度和對噪聲的穩(wěn)健性。

2.1　方程的線性化

TOA定位原理中,定位模型是一個非線性方程組,無法用稀疏凸優(yōu)化方法求解。因此,首先要將其線性化,線性化方法如下:

F(h)=F(hn)+F′(hn)(h-hn)T+J

(6)

由式(6)可知,目標(biāo)真實坐標(biāo)h為

h=hn+βn

(7)

TOA定位問題就轉(zhuǎn)化成了估計hn和βn的問題。下面進(jìn)一步給出基于稀疏算法的hn和βn的求解方法。令G=[F(h1),F(h2),…,F(hN)],Q=[F′(h1),F′(h2),…,F′(hN)],β=[h-h1,h-h2,…,h-hN]T,則式(6)可表示為

F(h)=(G+Qdiag(β))s(h)+J

(8)

根據(jù)式(8),可以估計出s(h),便可得到距離目標(biāo)最近的網(wǎng)格點位置;估計出β,便可以得到目標(biāo)偏離網(wǎng)格點的距離。最后,結(jié)合距離目標(biāo)最近的網(wǎng)格點坐標(biāo)與網(wǎng)格偏移距離便可得到目標(biāo)最終位置的精確估計。

2.2　目標(biāo)坐標(biāo)的稀疏貝葉斯求解

2.2.1離目標(biāo)最近的網(wǎng)格點hn的求解

定義CN(u|μ,∑)為一個復(fù)高斯分布的概率密度函數(shù),其均值為μ=E{u},方差為∑=E{(u-μ)(u-μ)H}。

(9)

式中,E=[e(1),e(2),…,e(T)]。可以得到B=[b(1),b(2),…,b(T)]也為復(fù)高斯分布,即

式中,S=[s(t),…,s(T)];Φ=G+Qdiag(β)。

對于稀疏矩陣S,其復(fù)高斯先驗概率分布為

(10)

式中,Λ=diag(α),α=[α1,α2,…,αN]T∈RN。定義α的概率密度為Gamma超先驗分布為

(11)

式中,ρ∈R,Γ(u|a,b)=[Γ(a)]-1baua-1exp(-bu)。

網(wǎng)格偏移距離β服從均勻分布,即

(12)

p(α0|c,d)=Γ(α0|c,d)

(13)

式中,c,d∈R。

通過以上推導(dǎo),可以得到聯(lián)合分布函數(shù)為

p(S,B,α0,α,β)=

p(B|S,α0,β)p(S|α)p(α)p(α0)p(β)

(14)

式(14)右邊的概率密度函數(shù)由式(10)～式(13)定義。利用式(14)便可以得到S的后驗概率分布為

(15)

最后把Σ與u代入式(16)計算,其峰值所在的網(wǎng)格點,就是距目標(biāo)最近的網(wǎng)格點hn。

(16)

2.2.2偏移量的迭代計算

(17)

(18)

其中

求取E{lgp(S|B,α0,α,β)p(β)}的最大值的更新估計計算式為

βTPβ-2VTβ+Const

(19)

式中

(20)

R{diag(QHG∑)}

(21)

可以得到

(22)

2.3　總的算法流程

本文算法首先通過空間網(wǎng)格點的劃分與一階泰勒級數(shù)展開,將非線性方程組線性化,構(gòu)建可以用稀疏重構(gòu)求解的線性化的TOA定位估計模型。然后用基于貝葉斯準(zhǔn)則的迭代求解估計目位置。在每一次迭代中,首先通過α0、α、β得到均值Σ與方差u的進(jìn)一步估計,從而得到S的后驗概率分布,然后,由式(17)、式(18)、式(22)分別得到α0、α、β的進(jìn)一步的迭代更新估計值,并將其作為下一次Σ與u估計的輸入?yún)?shù)。在迭代終止后,通過尋找式(19)的峰值所在的網(wǎng)格點確定距離目標(biāo)最近的網(wǎng)格點坐標(biāo),并結(jié)合偏移距離矩陣β得到目標(biāo)坐標(biāo)。本文算法的流程如圖1所示。

圖1　本文算法流程圖

3　仿真分析

將本文所提方法與標(biāo)準(zhǔn)LS算法和文獻(xiàn)[8]中的CWLS算法進(jìn)行對比仿真分析,仿真結(jié)果表明:①在利用單次樣本到達(dá)時間的情況下,與LS算法相比,本文算法精度更高;②在多樣本(多個來波到達(dá)時間)的情況下,本文算法通過聯(lián)合估計抑制噪聲影響,所提算法的精度和穩(wěn)健性都高于LS算法與CWLS算法。

3.1　基于單次來波到達(dá)時間的仿真分析

仿真場景:5個基站,其坐標(biāo)分別為:[0,0]m,[500,-500]m,[0,500]m,[-500,500]m,[-500 -500]m,[0,-500]m,[500,0]m。目標(biāo)位于(225,335) m,平均噪聲功率均為25 dBm2。所有結(jié)果均為獨立的1 000次估計結(jié)果。本文以圓概率誤差(circular error probable, CEP)作為評價定位準(zhǔn)確性的參數(shù)。仿真表明,單樣本TOA的情況下,與LS算法相比,本文算法精度更高。目標(biāo)位置估計圖如圖2所示。

圖2(a)為LS的估計仿真結(jié)果,圖2(b)為文獻(xiàn)[8]中CWLS估計的仿真結(jié)果。從圖2(a)和圖2(b)可以看出:LS估計的圓概率誤差為21.543 9m,CWLS估計的圓概率誤差為13.168 5m。

圖2(c)和圖2(d)是本文算法的仿真結(jié)果。首先將估計范圍設(shè)置為500 m×500 m,網(wǎng)格間距設(shè)置為20 m,其CEP為28.456 1m,如圖2(c)所示。在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步縮小估計范圍與網(wǎng)格間距,在初次估計的結(jié)果上,將估計范圍縮小為50 m×50 m,網(wǎng)格間距縮小為2 m。其CEP減小為17.8947m,如圖2(d) 所示。其CEP比LS算法小,因此估計精度比LS算法高。

圖2　目標(biāo)位置估計

3.2　基于多次TOA的仿真分析

對本文算法在多樣本的情況下進(jìn)行仿真分析。結(jié)果表明,與標(biāo)準(zhǔn)LS算法及文獻(xiàn)[8]中的CWLS算法相比,本文算法可以在多樣本情況下進(jìn)行聯(lián)合估計,并且所提算法精度高于CWLS算法。

仿真場景同第3.1節(jié)。圖3為來波到達(dá)時間樣本數(shù)為10、估計范圍為500 m×500 m、網(wǎng)格間距為20 m時本文算法的仿真結(jié)果。圖3中,本文所提算法的CEP=8.740 3 m,該精度高于LS估計的21.543 9 m以及文獻(xiàn)[8]中CWLS估計的13.168 5 m。圖4為不同信噪比情況下,本文算法同LS、CWLS仿真結(jié)果的對比曲線。

圖3　樣本數(shù)為10的聯(lián)合估計結(jié)果

圖4　本文算法與LS、CWLS對比曲線

由以上仿真結(jié)果可以得出結(jié)論:在單次TOA的情況下,本文算法相比于LS算法其定位精度更為精確,略低于CWLS算法;而在有多次TOA樣本的情況下,通過本文算法對多樣本進(jìn)行聯(lián)合估計,其定位精度高于LS算法與CWLS算法。

4　結(jié)　論

提出了一種稀疏重構(gòu)TOA定位模型,并針對該模型給出了一種基于貝葉斯準(zhǔn)則的求解算法。仿真結(jié)果表明,本文所提出的算法雖然在單樣本TOA的情況下其估計精度并非最優(yōu),但是在具有多樣本TOA的情況下,相比于其他已有的TOA算法估計精度和穩(wěn)定性均有了十分明顯的提高。

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