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        與整數(shù)有序分拆的分部量1相關(guān)的一些恒等式

        2018-04-03 01:16:57
        關(guān)鍵詞:恒等式分部共軛

        郭 育 紅

        (河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 張掖 734000)

        1 預(yù)備知識(shí)

        在經(jīng)典的分拆理論中,MacMahon[1]給出了正整數(shù)有序分拆的定義,從而正整數(shù)n被表示成了若干正整數(shù)的有序和,其中每一項(xiàng)被稱為該分拆的分部量.例如,可將4有序分拆成4,3+1,1+3,2+2,2+1+1,1+2+1,1+1+2,1+1+1+1;而無(wú)序分拆有4,3+1,2+2,2+1+1,1+1+1+1.

        圖1 14的有序分拆(6,3,1,2,2)的zig-zag圖

        有序分拆的zig-zag圖:將有序分拆的每個(gè)分部量λ按照順序用含有λ個(gè)點(diǎn)的行表示,同時(shí)要求下一行的第一個(gè)點(diǎn)與上一行的最后一個(gè)點(diǎn)對(duì)齊.分拆14的有序分拆(6,3,1,2,2)的zig-zag圖如圖1所示.

        利用有序分拆的zig-zag圖可得到有序分拆的共軛分拆,即將zig-zag圖從左到右按照列讀得到的分拆就是原分拆的共軛分拆.例如,圖1按列讀產(chǎn)生的有序分拆(1,1,1,1,1,2,1,3,2,1)就是(6,3,1,2,2)的共軛分拆,它們互為共軛.Munagi[2-3]介紹了包括zig-zag圖在內(nèi)的五種有序分拆的共軛分拆的求法.

        分拆恒等式的研究一直是分拆理論中有趣而內(nèi)容豐富的一個(gè)課題,近年來(lái)涌現(xiàn)許多研究結(jié)果.[4-10]2015年,Munagi和Sellers[11]指出:如果正整數(shù)的一個(gè)有序分拆中分部量λ連續(xù)出現(xiàn)j次,則稱分部量λ出現(xiàn)Inplacej次.該文還給出了關(guān)于有序分拆的若干Inplace恒等式.

        定理1.1[11]設(shè)n≥1,正整數(shù)n的偶分部量出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的有序分拆數(shù)等于正整數(shù)n不含分部量≡2(mod 4)的有序分拆數(shù).

        定理1.2[11]設(shè)n≥1,正整數(shù)n的奇分部量出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的有序分拆數(shù)等于正整數(shù)2n的奇分部量有兩種形式的有序分拆數(shù).

        文獻(xiàn)[11]將分部量λ有兩種形式表示成:λ,λ*,同時(shí)將上述恒等式中分部量做了推廣,得到了更一般的Inplace分拆恒等式.

        本文考慮正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)等于第2n+1個(gè)Fibonacci數(shù)F2n+1.于是結(jié)合Fibonacci數(shù)與正整數(shù)的一些有約束的有序分拆之間的關(guān)系,得到了關(guān)于正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)與正整數(shù)n的分部量是奇數(shù)的有序分拆數(shù),分部量是1或2的有序分拆數(shù),分部量大于1的有序分拆數(shù)之間的一些恒等式.

        2 主要結(jié)果

        關(guān)于正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆,本文沿用文獻(xiàn)[11]中記號(hào),即用1與1*表示分部量1的兩種形式.

        定理2.1設(shè)n≥1,正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)等于2n的不含分部量2k+1,k>0,且分部量1出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的有序分拆數(shù).

        證明類似于文獻(xiàn)[11]中的證法,對(duì)于正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆,作如下變換:將每個(gè)大于1的分部量λ變換成2λ,把沒(méi)有帶*號(hào)的分部量1變換成2,把帶*號(hào)的分部量1*變換成(1,1).于是得到了正整數(shù)2n的不含大于1的奇分部量,而分部量1出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的有序分拆.顯然,上述變換是可逆的,故結(jié)論成立.

        這里給出該遞推關(guān)系的一個(gè)組合雙射證明.

        證明將n的分部量1有兩種形式的有序分拆和n-2的分部量1有兩種形式的有序分拆分成兩類:

        (A)n的有序分拆中右端分部量是1或1*;

        (B)n的有序分拆中右端分部量是h,h>1以及n-2的有序分拆.

        將分部量是1或2的有序分拆稱為1-2有序分拆,分部量是奇數(shù)稱為奇有序分拆.

        引理2.1[12]正整數(shù)n的1-2有序分拆數(shù)等于Fn+1.這里Fn是第n個(gè)Fibonacci數(shù).

        引理2.2[12]正整數(shù)n的奇有序分拆數(shù)等于Fn.這里Fn是第n個(gè)Fibonacci數(shù).

        引理2.3[12]正整數(shù)n的分部量大于1的有序分拆數(shù)等于Fn-1.這里Fn是第n個(gè)Fibonacci數(shù).

        考慮關(guān)于正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆與1-2有序分拆、奇有序分拆、分部量大于1的有序分拆之間的關(guān)系,得到下面幾個(gè)恒等式.

        定理2.3設(shè)n≥1,正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)等于2n的1-2有序分拆數(shù).

        證明將n的分部量1有兩種形式的有序分拆分成以下兩類:

        (A)n的有序分拆中分部量都是1;

        (B)n的有序分拆中分部量至少有一個(gè)不是1.

        對(duì)于(A)類中的任意一個(gè)有序分拆,由定理2.1證明中給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可知這類分拆對(duì)應(yīng)著2n的1-2有序分拆中分部量1出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的分拆.

        定理2.4設(shè)n≥1,正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)等于2n+1的奇有序分拆數(shù).

        這里仍給出該恒等式的組合證明.

        證明由定理2.3的證明知道,正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆對(duì)應(yīng)著2n的1-2有序分拆.于是,對(duì)于2n的任何一個(gè)1-2有序分拆,在其右端添上分部量1,然后按照從右向左的順序?qū)?及其左邊的所有2合并成一個(gè)新的分部量,便得到2n+1的奇有序分拆.反之亦然.

        定理2.5設(shè)n≥1,正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)等于2n+2的分部量>1的有序分拆數(shù).

        證明由定理2.3的證明可知,正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆對(duì)應(yīng)著2n的1-2有序分拆.于是對(duì)于2n的任何一個(gè)1-2有序分拆α,在其左右兩端分別添上分部量1,就得到2n+2的兩端分部量都是1的1-2有序分拆β.下面求分拆β的共軛分拆β′,由于分拆β是左右兩端分部量都是1的1-2有序分拆,故其共軛分拆β′就是分部量大于1的有序分拆.從而得到了2n+2的分部量大于1的有序分拆.反之亦然.

        表1給出了當(dāng)n=3時(shí),正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆與正整數(shù)2n的1-2有序分拆、正整數(shù)2n+1奇有序分拆、正整數(shù)2n+2分部量大于1的有序分拆之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

        表1 3,6,7,8的各種有序分拆之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

        由定理2.1,2.3—2.5,自然有下面關(guān)于正整數(shù)n的分部量1出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的有序分拆數(shù)與正整數(shù)n的1-2有序分拆數(shù)、奇有序分拆數(shù)、分部量大于1的有序分拆數(shù)之間的關(guān)系式.

        推論2.1設(shè)n≥1,正整數(shù)n的不含分部量2k+1,k>0,且分部量1出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的有序分拆數(shù)等于n的1-2有序分拆數(shù).

        推論2.2設(shè)n≥1,正整數(shù)n的不含分部量2k+1,k>0,且分部量1出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的有序分拆數(shù)等于n+1的奇有序分拆數(shù).

        推論2.3設(shè)n≥1,正整數(shù)n的不含分部量2k+1,k>0,且分部量1出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的有序分拆數(shù)等于n+2的分部量>1有序分拆數(shù).

        下面給出推論2.1的一個(gè)例子.

        例2.1取n=6,則6的不含大于1的奇分部量,且分部量1出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的有序分拆有13個(gè):(6),(4,2),(4,1,1),(2,4),(1,1,4),(2,2,2),(2,2,1,1),(2,1,1,2),(1,1,2,2),(2,1,1,1,1),(1,1,2,1,1),(1,1,1,1,2),(1,1,1,1,1,1).

        同樣,6的1-2有序分拆有13個(gè):(1,2,2,1),(1,2,1,2),(1,2,1,1,1),(2,1,2,1),(1,1,1,2,1),(2,2,2),(2,2,1,1),(2,1,1,2),(1,1,2,2),(2,1,1,1,1),(1,1,2,1,1),(1,1,1,1,2),(1,1,1,1,1,1).

        [參考文獻(xiàn)]

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