喬 興
(大慶師范學院 教師教育學院,黑龍江 大慶 163712)
文獻[1][2]中用補充變量方法建立了此可修系統(tǒng)的數(shù)學模型,并用Laplace變換分析了系統(tǒng)的可用度,得到了一系列有意義的結(jié)果.但上述結(jié)論的取得依賴于如下兩個條件:條件(1)該系統(tǒng)存在唯一非負時間依賴弱解.條件(2)該時間依賴解是漸近穩(wěn)定的[3].當故障后的修復時間服從指數(shù)分布時,上面兩個條件成立.當故障后的修復時間服從任意分布時,上面提到的兩個條件是否成立仍有待于研究.作者的意圖是提出兩個條件成立的結(jié)論,為此類可修系統(tǒng)的可靠性研究提供嚴格的理論基礎(chǔ).在文獻[4]中柳等人給出了系統(tǒng)唯一非負解是0本征值所對應(yīng)的本征向量的結(jié)論,即驗證了上面條件(1)成立.在本文中我們通過研究算子的譜點分布,檢驗了算子的譜點除虛軸上0點外均位于左半復平面,得到了該系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性分析,即證明了上面提到的條件(2).
文獻[5]中作者已經(jīng)給出了系統(tǒng)的解唯一存在的結(jié)論.在本文中我們將給出該可修復系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性分析過程.有了上面的準備,可得描述此模型的積分—微分方程組[6]:
其中i=0時刻代表1個部件工作、2個部件熱儲備的狀態(tài).i=1時刻代表1個部件工作、1個部件發(fā)生故障、1個部件熱儲備狀態(tài).i=2時刻代表1個部件工作、2個部件發(fā)生故障的狀態(tài).i=3時刻代表3個部件均發(fā)生故障的狀態(tài).i=4時刻代表該系統(tǒng)處于常規(guī)故障的狀態(tài).i=5時刻代表該系統(tǒng)處于人為故障的狀態(tài).λ代表運行系統(tǒng)由自身原因引起的損壞率.λci代表在狀態(tài)i時刻系統(tǒng)的常規(guī)故障率(i=0,1,2).λhi代表在狀態(tài)i時刻系統(tǒng)的人為故障率(i=0,1,2).α代表熱儲備部件的損壞率.μ代表運行部件的常數(shù)修復率.Pi(t)代表t時刻該系統(tǒng)處于狀態(tài)i的概率(i=0,1,2).Pi(x,t)代表t時刻該系統(tǒng)處于狀態(tài)i且已修時間為 x 的概率,(x,t)∈[0,∞)×[0,∞).μi(x)代表時刻系統(tǒng)處于狀態(tài)i時的修復率,且滿足
下面用巴拿赫空間中的抽象柯西問題來刻畫上面積分——微分方程組,為方便,記:
顯然(X,||·||)為巴拿赫空間.取算子A的定義域如下:
D(A)= { P∈X|Pi(x)(i=3,4,5)是絕對連續(xù)的函數(shù),
則系統(tǒng)方程(1)—(6)可描述為巴拿赫空間中的一個抽象柯西問題(ACP):
為了在后面的論證過程中方便,我們先給出兩個非常有用的引理.
引理1設(shè)部件壽命是非負的連續(xù)型隨機變量x,其分布函數(shù)是Gi(x),密度函數(shù)是gi(x)且Gi(0)=0,則有:則當{γ∈C|Reγ>0 或 γ=ia,a∈R,a≠0}時,有 |g|<1.
定理10是算子A+E的簡單本征值.證明考慮如下方程組得:
引理2記g=
將(14)代入(7)并聯(lián)立(8)—(9)可得:
(-a0+λc0+λh0)P0+(μ+λc1+λh1)P1+(λ+λc2+λh2)P2=0,
(λ+2α)P0-a1P1+μP2=0,
(λ+α)P1-a2P2=0,
容易驗證上述方程的系數(shù)行列式的值為0,并且當 P0>0 時,P1,P2均大于零.同時由 P0>0 和 a0,a1,a2的表達式知Pi(x),i=3,4,5均是非負的,因此向量P*=(P0,P1,P2,P3(x),P4(x),P5(x))是算子A+E的0本征值對應(yīng)
定理 2{γ∈C,Reγ>0 或 γ=ia,a∈R,a≠0}?ρ(A+E).
證明對任意給定的 γ∈C,Reγ>0或 γ=ia,a∈R,a≠0,=(y0,y1,y2,y3(x),y4(x),y5(x))∈X.解方程(γI-A-E)P=y→得
解(18)得
因為 yi(x)∈L1[0,∞)i=3,4,5,結(jié)合引理 2有:
故 Pi(x)∈L1[0,∞),i=3,4,5.將其代入(15)并聯(lián)立(16)—(17)有:
其中:gi=
當 Reγ>0 或者 γ=ia,a∈R,a≠0 時,有 |gi|<1,故可得上面方程組的系數(shù)矩陣是嚴格對角占優(yōu)矩陣.根據(jù)文獻[7]可知,系數(shù)行列不等于零.從而當→=(y0,y1,y2,y3(x),y4(x),y5(x))≠0 有:P=(P0,P1,P2,P3(x),P4(x),P5(x))≠0即上述方程存在唯一解,故R(γ-A-E)=X,又因為(I-A-E)是閉算子,由文獻[8]可知(γ-A-E)-1存在且有界,即{γ∈C,Reγ>0 或 γ=ia,a∈R,a≠0}屬于算子A+E的預解集.
上述結(jié)論對于其它各科教師當然也是成立的.更一般地說,這也正是醫(yī)生、律師等具有較強實踐性質(zhì)的專業(yè)人員何以需要較長見習期的主要原因,即是工作的復雜性與不確定性,從而就不可能被完全納入任一固定的理論框架.這也就是指,即使相關(guān)人士已較好地掌握了相關(guān)的專業(yè)知識,仍然不可能通過這些知識的簡單應(yīng)用就能有效地解決所面臨的各種問題,而必須主要依靠自身的創(chuàng)造性勞動,包括相關(guān)知識的創(chuàng)造性應(yīng)用.
推論1ACP存在非負的穩(wěn)定解.
在定理2中,我們證明了算子A+E的所有譜點除虛軸上0點外均位于左半復平面.同時P*是算子A+E的0本征值的0本征向量,故P*是非負的,所以P*是ACP的非負的穩(wěn)定解.
定理3令P*是算子A+E的0本征值的本征向量且滿足||P*||=1,取Q=(1,1,1,1,1,1),則ACP的時間非負依賴解P(x,t),當時間t趨于無窮時趨于系統(tǒng)的非負穩(wěn)定解P*:
其中P0是方程初始值.
由[9]可知,定理3的結(jié)論是強連續(xù)半群穩(wěn)定性的一個結(jié)果.故此,我們就驗證了A+E的0本征值的本征向量P*是ACP的唯一非負的穩(wěn)定解且滿足
參考文獻:
〔1〕Gupta S M.Stochastic analysis of systems with primary and secondary failures[J].Microelectronics Reliability,1995,35(1):65-71.
〔2〕Gupta P P,Tyagi L.MTTF and availability evaluation of a two-unit,two-state,standby redundant complex system with constant human failure[J].MicroelectronicsReliability,1986,26(4):647-650.
〔3〕徐厚寶,柳合龍,于景元,等.具有臨界和非臨界操作錯誤的人機系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學,2005,25(5):513-524.
〔4〕柳京愛,鄭福.具有四類故障可修系統(tǒng)解的存在唯一性[J].數(shù)學的實踐與認識,2004,34(12):133-136.
〔5〕GupurG,LiXZ,ZhuGT.Functional Analysis Method in Queueing Theory[M].Research Information,Hertfordshire,2001.
〔6〕馬艷英,李秀珍,喬興.具有四類故障可修復系統(tǒng)非負弱解存在唯一性[J].吉林工程技術(shù)師范學院學報,2008,24(4):78-80.
〔7〕云鵬,凱院,仲.矩陣論[M].西北工業(yè)大學出版社,2006.
〔8〕張恭慶,林源渠,郭懋正.泛函分析講義[M].北京:北京大學出版社,1990.
〔9〕Lyubich Y,V?P.Asymptotic stability of linear differential equations in Banach spaces[J].Studia Mathematica,1988,88(1):37-42.