◇張齊華

一、引入

師：今天這節(jié)課，我們一起來(lái)研究和“羊吃草”有關(guān)的問(wèn)題。瞧，這是一個(gè)封閉的正方形羊圈，羊圈外面全部是草地（如圖1）。假設(shè)草地上有一根繩子，繩子一端系在固定的樁子上，另一端系著一只羊。要想知道這只羊最多能吃多大面積的草，你有什么好辦法？有沒(méi)有什么問(wèn)題？

圖1

學(xué)生思考片刻后，組內(nèi)交流，隨后全班學(xué)生交流。

生：我覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題不確定，你得看這根樁子到底在哪里。如果這根樁子在草地中間，那么，羊吃草的面積就是一個(gè)圓形，圓的面積取決于繩子的長(zhǎng)度。

生：我也覺(jué)得不能確定。除了看樁子在哪里，還得看繩子有多長(zhǎng)。假定樁子在這里（手指屏幕比畫(huà)），如果繩子比較短，那么最后的面積就是以繩子為半徑的圓的面積。但是，如果繩子比較長(zhǎng)，超過(guò)了樁子到羊圈的距離，那么，我們求出圓的面積后，還得減去羊圈擋住的那部分面積。因?yàn)?，羊圈里面是沒(méi)有草的。再說(shuō)，這是一個(gè)封閉的羊圈，羊也進(jìn)不去。

生：我覺(jué)得，樁子的位置也很重要。剛才兩位同學(xué)提到的樁子都在草地中間。如果樁子就在羊圈邊上，比如在羊圈一邊的中點(diǎn)上，那么，羊吃到的草的面積，就不是一個(gè)完整的圓，而是一個(gè)半圓了。

生：我覺(jué)得不一定是半圓，有可能要比半圓大。具體取決于繩子的長(zhǎng)度：如果繩子的長(zhǎng)度小于或等于羊圈的邊長(zhǎng)的一半，那么就是一個(gè)半圓。如果繩子的長(zhǎng)度大于羊圈的邊長(zhǎng)的一半，那么就不是一個(gè)半圓了，比較復(fù)雜。

生：如果樁子放在羊圈的一個(gè)頂點(diǎn)上，情況又不一樣了。而且，也和繩子的長(zhǎng)度有關(guān)。如果繩子短一點(diǎn)，問(wèn)題還比較簡(jiǎn)單。如果繩子比較長(zhǎng)，那么，問(wèn)題就會(huì)變得復(fù)雜起來(lái)。

師：張老師很奇怪。其實(shí)，在前面的練習(xí)課上，我們遇到過(guò)羊吃草問(wèn)題的，好像就是一個(gè)圓的面積。為什么今天的羊吃草，聽(tīng)起來(lái)卻要復(fù)雜很多？

生：那是因?yàn)槎嗔艘粋€(gè)羊圈。

生：是羊圈讓問(wèn)題變得復(fù)雜了很多。

生：不光是羊圈，還和樁子的位置、繩子的長(zhǎng)度有關(guān)。

師：看來(lái)，一個(gè)看起來(lái)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，一旦增加一些要素，有時(shí)哪怕只增加一個(gè)要素，問(wèn)題就會(huì)變得復(fù)雜起來(lái)。這就是數(shù)學(xué)的神奇之處！

二、探究

今天這節(jié)課，我們就來(lái)討論其中的一種情況——樁子在羊圈的頂點(diǎn)上。（在正方形羊圈的右下角頂點(diǎn)處標(biāo)出樁子的位置）現(xiàn)在，要想解決羊能吃多大面積的草，你還需要了解哪些信息？

生：我需要了解繩子的長(zhǎng)度。

生：我需要了解羊圈的邊長(zhǎng)。

師：已知羊圈的邊長(zhǎng)是4米。這兒有2根不同的繩子，長(zhǎng)度分別是3米和6米。如果不考慮拴繩用去的長(zhǎng)度，也不考慮羊自身的大小。你能大膽想象一下，繩長(zhǎng)3米時(shí)，羊吃到的草，可能是個(gè)什么形狀嗎？如果繩長(zhǎng)6米呢？

學(xué)生獨(dú)立思考、大膽想象，并結(jié)合作業(yè)紙上的示意圖，比畫(huà)并描述羊可能吃草的區(qū)域。隨后，全班交流。（略）

師：看來(lái)，當(dāng)繩長(zhǎng)3米時(shí)，大家的觀點(diǎn)比較一致。當(dāng)繩長(zhǎng)6米時(shí)，還有些爭(zhēng)議。接下來(lái)，就讓我們帶著問(wèn)題和思考，親自動(dòng)手來(lái)研究研究，看看究竟哪一種方案才是正確的。研究過(guò)程中，如果遇到困難，建議大家在示意圖上畫(huà)一畫(huà)，把自己的想象落到紙上。也可以借助老師給大家提供的羊圈模型和繩子，親自動(dòng)手轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、比畫(huà)比畫(huà)?；蛟S，動(dòng)手的過(guò)程，會(huì)給你們帶來(lái)新的啟示。

學(xué)生組內(nèi)交流，或借助模型動(dòng)手操作以明確思路，或畫(huà)示意圖幫助理解，最終列式計(jì)算解決問(wèn)題。隨后全班分享。

師：繩長(zhǎng)3米時(shí)，羊最多能吃多少面積的草？誰(shuí)愿意分享你們的思路？

生：我們小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，繩長(zhǎng)3米時(shí)，這只羊能夠吃草的面積，應(yīng)該是一個(gè)圓的（如圖2）。因?yàn)槲覀円呀?jīng)知道，當(dāng)沒(méi)有羊圈阻擋時(shí)，羊吃草的區(qū)域應(yīng)該是一個(gè)半徑為3米的圓。但現(xiàn)在，因?yàn)闃蹲釉谘蛉Φ捻旤c(diǎn)上，羊不可能吃到整個(gè)圓，只能是這一部分，而這部分正好是圓的。所以，最終羊吃到的草的面積應(yīng)該是半徑為3米的圓面積的，π×3×3×=π(平方米)。

圖2

師：誰(shuí)還有補(bǔ)充？

師：有沒(méi)有哪個(gè)小組，遇到過(guò)困難的？

生：我們一開(kāi)始只知道比一個(gè)整圓要小，但到底小多少不太清楚。但后來(lái)我們畫(huà)了一幅圖，思路就清楚了，應(yīng)該是整個(gè)圓的。

師：看來(lái)，畫(huà)圖的確可以幫助我們理解問(wèn)題，找到解決問(wèn)題的思路。繩長(zhǎng)3米時(shí)，看來(lái)大家沒(méi)有什么困難。那么，繩長(zhǎng)6米時(shí)，羊最多又能吃多少面積的草呢？

生：我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)繩長(zhǎng)6米時(shí)，畫(huà)出來(lái)的圓已經(jīng)把整個(gè)羊圈都蓋住了（如圖3）。所以，羊最多能夠吃草的面積，相當(dāng)于用這個(gè)圓的面積，減去羊圈的面積。π×6×6-4×4=36π-16（平方米）。

圖3

師：對(duì)于他們的想法，誰(shuí)有質(zhì)疑或補(bǔ)充？

生：我覺(jué)得這種方法不對(duì)。因?yàn)橛醒蛉踔?，所以，羊不可能走成一個(gè)整圓的，比如這里（指正方形左上角），羊就到不了。所以，我們覺(jué)得，羊最終能夠吃草的面積，也是一個(gè)圓的，只不過(guò)圓的半徑不是3米，而是6米（如圖4）。計(jì)算的方法和原來(lái)的差不多，π×6×6×=27π(平方米)。

圖4

生：我也覺(jué)得第一種方法不對(duì)，但第二位同學(xué)的方法也有問(wèn)題。我們小組經(jīng)過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)羊能夠吃草的最大面積，應(yīng)該是這樣的（如圖5）。這里也是一個(gè)圓的，半徑是6米。由于繩子長(zhǎng)度已經(jīng)超過(guò)4米，所以拐個(gè)彎以后，這里還有兩個(gè)圓，合在一起相當(dāng)于一個(gè)半圓。加起來(lái)，總面積應(yīng)該是(平方米)。

圖5

師：出現(xiàn)了三種不同的答案，聽(tīng)起來(lái)各有各的道理。究竟哪一種才是正確的？你能給出更有說(shuō)服力的解釋嗎？小組里交流交流。（小組交流略）

師：請(qǐng)交流你們現(xiàn)在的想法。

生：我們覺(jué)得第三種思路是正確的。大家可以看我演示一下（如圖6）。為了吃到更多的草，羊一定會(huì)把繩子繃得直直的。那么，從這兒到那兒，畫(huà)出來(lái)的就是一個(gè)圓的。但是，到了這兒以后，由于繩子被羊圈擋住了，所以，這個(gè)圓畫(huà)不下去了，只能用剩下的2米繼續(xù)往下畫(huà)，從這兒到那兒，還能畫(huà)一個(gè)小圓的。當(dāng)然，在另一端，情況也是一樣的。所以，最后羊能夠吃草的面積，應(yīng)該是一個(gè)大圓的，加上兩個(gè)小圓的。

圖6

師：聽(tīng)完他的介紹后，你現(xiàn)在更認(rèn)同哪一種方法？

生：第三種方法。

師：奇怪，一開(kāi)始不少同學(xué)選擇了方法一和方法二，為什么現(xiàn)在大家都選擇方法三了？

生：因?yàn)槲矣X(jué)得第三種方法最有道理。原來(lái)我們沒(méi)有考慮到羊圈的阻擋，還以為仍然可以畫(huà)一個(gè)整圓。

生：我們?cè)瓉?lái)沒(méi)有考慮到繩子還可以繼續(xù)往下轉(zhuǎn)。

生：我覺(jué)得，是因?yàn)檫@位同學(xué)在黑板上給我們動(dòng)手演示了一遍。他一演示，我就發(fā)現(xiàn)原來(lái)的思路錯(cuò)了，他的思路才是對(duì)的。

師：面對(duì)一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，借助頭腦展開(kāi)空間想象固然好。但有時(shí)候動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)，必要的時(shí)候再親自用學(xué)具演一演，可以幫助我們更好地找到解決問(wèn)題的思路。這一點(diǎn)，希望對(duì)大家能有一些啟發(fā)！

三、拓展

師：不過(guò)，一個(gè)真正優(yōu)秀的問(wèn)題解決者，不能只滿足于解決老師給我們提供的問(wèn)題。我們還得進(jìn)一步作深入的思考。比如，就這個(gè)問(wèn)題而言，大家有沒(méi)有想過(guò)，同樣是正方形羊圈，同樣用一根繩子拴在羊圈的頂點(diǎn)上，為什么兩道題的解題思路看起來(lái)很不一樣？

生：我覺(jué)得是因?yàn)槔K子的長(zhǎng)短不一樣。

師：僅僅是因?yàn)槔K子的長(zhǎng)短不一樣嗎？或者說(shuō)，改變繩子的長(zhǎng)短，一定會(huì)帶來(lái)解決問(wèn)題思路的變化嗎？這樣，自己換一換繩子的長(zhǎng)度，看看你有什么新發(fā)現(xiàn)！

學(xué)生先獨(dú)立思考，改變數(shù)據(jù)并嘗試計(jì)算。隨后小組交流，分享自己的發(fā)現(xiàn)。最后全班交流。

生：我們發(fā)現(xiàn)，改變繩子的長(zhǎng)度，并不一定會(huì)影響最后的計(jì)算方法。比如，如果這根繩子長(zhǎng)2米或1米，羊吃草的面積雖然會(huì)變化，但計(jì)算方法不變，還是計(jì)算圓面積的，因?yàn)樽詈蟮乃悸愤€是一樣的。

生：我發(fā)現(xiàn)，繩子長(zhǎng)4米時(shí)，計(jì)算的方法也是一樣的，也是一個(gè)圓的。

生：我覺(jué)得，繩子的長(zhǎng)度在1～4米時(shí)，計(jì)算的方法都一樣，哪怕繩子的長(zhǎng)度是一個(gè)小數(shù)，結(jié)果都是一個(gè)圓的。

生：我想補(bǔ)充，我覺(jué)得不只是1～4米，應(yīng)該是0～4米。當(dāng)繩子長(zhǎng)0～4米時(shí)，最后都是一個(gè)圓的。

生：我覺(jué)得，當(dāng)繩子的長(zhǎng)度超過(guò)4米時(shí)，答案就應(yīng)該是一個(gè)圓的，加上2個(gè)圓的了。

生：我反對(duì)！因?yàn)?，?dāng)繩子的長(zhǎng)度超過(guò)8米時(shí)，繩子又拐過(guò)了第二個(gè)彎，答案又不一樣了。

生：我覺(jué)得，當(dāng)繩子的長(zhǎng)度是0～4米時(shí)，最后的答案就是一個(gè)圓的。當(dāng)繩子的長(zhǎng)度是4～8米時(shí)，當(dāng)然不包括4米，這時(shí)的答案就是一個(gè)大圓的和2個(gè)小圓的。而當(dāng)繩子的長(zhǎng)度是8～12米時(shí)，當(dāng)然不包括8米，這時(shí)的答案應(yīng)該是一個(gè)大圓的，加上兩個(gè)小圓的，然后再加上兩個(gè)更小圓的。

師：聽(tīng)起來(lái)，這有點(diǎn)復(fù)雜了。這樣，我們繼續(xù)往下討論，你能試著畫(huà)一畫(huà)示意圖，或借助學(xué)具演示一下，然后給我們分享一下你的思路嗎？

生：可以！

該學(xué)生畫(huà)圖研究，課堂討論繼續(xù)。

師：回顧剛才的過(guò)程，有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，在羊吃草這個(gè)問(wèn)題上，隨著繩子長(zhǎng)度的變化，好像存在著一個(gè)變與不變的問(wèn)題。誰(shuí)發(fā)現(xiàn)了？

生：我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)繩子的長(zhǎng)度超過(guò)羊圈的邊長(zhǎng)時(shí)，解題的思路就開(kāi)始發(fā)生變化。而當(dāng)繩子的長(zhǎng)度超過(guò)羊圈邊長(zhǎng)的兩倍時(shí)，解題的思路又開(kāi)始發(fā)生變化。

生：我發(fā)現(xiàn)，這里的4米和8米就像一個(gè)分水嶺。沒(méi)有到達(dá)“分水嶺”之前，解題的方法都是一樣的。一旦過(guò)了“分水嶺”，方法就發(fā)生變化了。

師：多么形象的比方！解決問(wèn)題的過(guò)程中，有時(shí)的確會(huì)存在“分水嶺”。關(guān)鍵是，我們要準(zhǔn)確地找到“分水嶺”在哪里，然后弄明白“分水嶺”前后的區(qū)別，以便于我們準(zhǔn)確找到最適合的解決問(wèn)題的方法。剛才這位同學(xué)經(jīng)過(guò)嘗試，已經(jīng)找到了自己的解決問(wèn)題的方法，讓我們聽(tīng)聽(tīng)他是怎么解決這一問(wèn)題的。

生：我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)繩子的長(zhǎng)度超過(guò)8米后，繩子的確會(huì)第二次拐彎（如圖7）。我舉了個(gè)例子，比如繩子的長(zhǎng)度是8.5米。這時(shí)候，我發(fā)現(xiàn)，羊吃草的面積，除了一個(gè)大圓的，兩個(gè)小圓的，還有兩個(gè)更小的圓。只不過(guò)，最后的答案不是用這三部分加起來(lái)，因?yàn)檫@里有些部分已經(jīng)重疊在一起了。所以，最后的面積要比一個(gè)大圓的和兩個(gè)小圓的的面積總和小一些，因?yàn)槲覀円阎丿B的部分減掉。但到底減去多少，我覺(jué)得非常復(fù)雜，沒(méi)法計(jì)算了。

圖7

師：看來(lái)，你找到了這個(gè)問(wèn)題又一個(gè)新的拐點(diǎn)。只不過(guò)，新的拐點(diǎn)后，解決問(wèn)題的方法又發(fā)生了一些全新的變化。瞧，同樣是拐點(diǎn)，拐點(diǎn)和拐點(diǎn)之間還有不同。我想，這就是數(shù)學(xué)讓人著迷的地方吧！感謝你的分享！

四、深化

師：回顧剛才的學(xué)習(xí)過(guò)程，同樣的羊圈，同樣的問(wèn)題，為什么最后的方法卻發(fā)生了翻天覆地的變化？這背后的原因究竟是什么？

生：我覺(jué)得是繩子的長(zhǎng)度發(fā)生了變化。

生：繩子長(zhǎng)度的變化，帶來(lái)了新的拐點(diǎn)，解決問(wèn)題的思路也就截然不同了。

師：在這個(gè)問(wèn)題中，繩子的長(zhǎng)度只是其中的一個(gè)要素。它的變化，就帶來(lái)了整個(gè)解題思路的變化。那大膽想一想，你還能試著來(lái)改變這個(gè)問(wèn)題中的其他要素嗎？如果改變了，整個(gè)問(wèn)題又會(huì)發(fā)生什么變化呢？獨(dú)立思考后，小組里先交流交流。

（學(xué)生交流略）

生：我想說(shuō)，如果我們調(diào)整樁子的位置，問(wèn)題也會(huì)發(fā)生變化。比如，繩子還是長(zhǎng)3米，但如果樁子打在羊圈邊的中點(diǎn)上，或者打在羊圈的外面，解決問(wèn)題的方法就會(huì)發(fā)生變化。

生：我覺(jué)得，我們還可以調(diào)整羊圈的形狀。剛才是正方形，如果我們把羊圈的形狀改成長(zhǎng)方形，解決問(wèn)題的方法也會(huì)發(fā)生變化。

師：真好！從樁子的位置，開(kāi)始轉(zhuǎn)向羊圈的形狀了。不過(guò)，從正方形改成長(zhǎng)方形，解決問(wèn)題的方法一定會(huì)發(fā)生變化嗎？

生：我覺(jué)得不一定，還得看繩子的長(zhǎng)度和長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的長(zhǎng)度之間的關(guān)系。

生：但問(wèn)題肯定要比正方形復(fù)雜。

生：我覺(jué)得羊圈還可以改成三角形。當(dāng)然，最好是一個(gè)等邊三角形，不然，問(wèn)題不好解決。

生：我覺(jué)得羊圈還可以改成圓形。這樣，問(wèn)題肯定更刺激。

生：我覺(jué)得，還可以把羊關(guān)到羊圈里面。比如，還是這個(gè)羊圈，還是3米長(zhǎng)的繩子，如果羊圈內(nèi)全是草，樁子拴到不同的位置，解決問(wèn)題的方法也會(huì)不一樣。

……

師：回顧今天的學(xué)習(xí)，你覺(jué)得自己有收獲嗎？

生：我學(xué)會(huì)了該怎樣解決羊吃草的問(wèn)題。

生：我發(fā)現(xiàn)，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，有時(shí)是有拐點(diǎn)的。過(guò)了拐點(diǎn)后，解決問(wèn)題的方法就不一樣了。

生：我發(fā)現(xiàn)，同一個(gè)問(wèn)題，改變其中的數(shù)據(jù)，問(wèn)題就會(huì)發(fā)生變化，有時(shí)甚至是非常重要的變化。

生：我還發(fā)現(xiàn)，對(duì)一些復(fù)雜的問(wèn)題，我們實(shí)在很難想象時(shí)，可以動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)、用學(xué)具演一演，或許就能找到解決問(wèn)題的辦法。

師：希望同學(xué)們帶著今天的收獲，在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有更棒的表現(xiàn)！