徐若天，陳 雋，劉 偉

(同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092)

伴隨使用者對(duì)開敞式建筑空間的極致追求以及高強(qiáng)材料、新型施工技術(shù)與先進(jìn)設(shè)計(jì)方法的應(yīng)用，大跨度樓蓋結(jié)構(gòu)越來越多地出現(xiàn)在車站及體育設(shè)施等大型建筑中。大跨度樓蓋結(jié)構(gòu)由于其自振頻率較低、阻尼較小，在其上行人正常步行作用下容易產(chǎn)生共振現(xiàn)象，導(dǎo)致過大的豎向振動(dòng)加速度，引起振動(dòng)舒適度問題。將樓蓋頻率“調(diào)制”出步行荷載的共振區(qū)域以及控制樓蓋的振動(dòng)幅值，是解決振動(dòng)舒適度問題最常見的兩種方式。例如，《組合樓板設(shè)計(jì)與施工規(guī)范》(CECS 273-2010)規(guī)定組合樓蓋在正常使用時(shí)，其自振頻率不應(yīng)小于4 Hz；《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB50010-2010)規(guī)定大跨度公共建筑的自振頻率不宜低于3Hz；《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》(JGJ 3-2010)既限制頻率又限制樓蓋的振動(dòng)幅度。英國的CCIP-016(2006)以及美國的PCI(2010)規(guī)范等則都采用了振幅限制的方式。

由于頻率與跨度的平方成反比，因此樓蓋跨度較大時(shí)，通過增加結(jié)構(gòu)剛度來滿足頻率限值要求往往很不經(jīng)濟(jì)。此外，步行荷載的隨機(jī)性意味著在較寬的頻率范圍都有顯著的荷載作用，“頻率調(diào)制”方式也存在現(xiàn)實(shí)的操作困難。采用多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(multiple tuned mass damper，MTMD)的結(jié)構(gòu)控制技術(shù)來減少共振響應(yīng)，已被證明是一種經(jīng)濟(jì)有效的方法[1-7]。Webster等[3]運(yùn)用4組TMD進(jìn)行某組合樓蓋減振設(shè)計(jì)，將樓蓋等效為單自由度體系，通過比較安裝TMD前后結(jié)構(gòu)的響應(yīng)來確定合適的TMD參數(shù)。Collette[4]于2002年將TMD用于某懸索橋的減振，其TMD的參數(shù)是簡諧激勵(lì)下的最優(yōu)參數(shù)。李愛群等[5]基于有限元軟件進(jìn)行了大跨樓蓋結(jié)構(gòu)MTMD減振設(shè)計(jì)，并應(yīng)用于火車站等大跨樓蓋結(jié)構(gòu)。呂西林等[6]以及操禮林等[7]進(jìn)行了大跨樓蓋上行走、跳躍等工況下安裝MTMD減振效果實(shí)測研究，結(jié)果表明在一定情況下MTMD能有效減小結(jié)構(gòu)豎向振動(dòng)。針對(duì)大跨樓蓋的密集頻率特性可能引起的多模態(tài)共振問題，李泉等[8]比較了多模態(tài)控制與單模態(tài)控制的差別，認(rèn)為高階模態(tài)也可能引發(fā)較大的振動(dòng)，此時(shí)多模態(tài)MTMD控制相比單模態(tài)MTMD控制具有更優(yōu)異的減振性能。樊健生等[9]通過人群荷載功率譜分析，研究了人群激勵(lì)下梁式人行橋的MTMD優(yōu)化設(shè)計(jì)，指出MTMD能夠在人行橋發(fā)生共振時(shí)消耗大部分結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量，表現(xiàn)出優(yōu)良的減振性能。樊健生等[10]還對(duì)考慮與不考慮人-結(jié)構(gòu)相互作用的MTMD樓蓋振動(dòng)控制效果進(jìn)行了對(duì)比研究。

MTMD的最優(yōu)參數(shù)(質(zhì)量比與阻尼比)取值是確保減振效果的關(guān)鍵要素。一般情況下，不同激勵(lì)形式下的最優(yōu)參數(shù)是有差異的[11]。以往研究多針對(duì)簡諧荷載、地震作用、風(fēng)荷載等激勵(lì)形式[12]，研究對(duì)象多為高層建筑、人行橋等線型結(jié)構(gòu)。目前計(jì)算中常常采用基于有限元軟件的時(shí)程分析法，用彈簧單元、阻尼單元及集中質(zhì)量單元模擬單個(gè)TMD，附加在結(jié)構(gòu)模型上，通過大量計(jì)算并比較減振前后結(jié)構(gòu)響應(yīng)設(shè)計(jì)TMD參數(shù)。步行荷載由于受到空間位置、行走方向、行走頻率等因素的影響，呈現(xiàn)出空間、時(shí)間以及幅值等多重變化的復(fù)雜性。因此上述時(shí)程分析法最突出的問題是模擬與施加步行荷載非常困難，計(jì)算效率很低，需進(jìn)行反復(fù)試算，且不一定得到最優(yōu)參數(shù)。實(shí)際結(jié)構(gòu)分析時(shí)往往引入假定將荷載的作用位置固定，以降低計(jì)算成本。新近，李泉等[13]針對(duì)固定位置的節(jié)律性運(yùn)動(dòng)，建議了基于虛擬激勵(lì)法的分析步驟以提高計(jì)算效率。

為研究步行荷載下大跨樓蓋MTMD減振的參數(shù)取值以及減振效果評(píng)價(jià)，克服有限元時(shí)程方法計(jì)算成本過高的問題，本文提出了一種求解步行荷載下樓蓋-MTMD耦合系統(tǒng)響應(yīng)的混合方法，將有限元法與考慮步行荷載的振型分解程序相結(jié)合，以樓蓋峰值加速度響應(yīng)最小化為優(yōu)化準(zhǔn)則，對(duì)步行荷載下考慮結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性變化的MTMD頻率比和阻尼比進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。該方法具有較廣的適用性，在保證精度的同時(shí)，計(jì)算效率將大幅提高。文中運(yùn)用該方法對(duì)某大跨混凝土體外預(yù)應(yīng)力樓蓋結(jié)構(gòu)進(jìn)行了減振設(shè)計(jì)，并分析了MTMD減振系統(tǒng)的魯棒性，顯示了該方法的優(yōu)勢，可為同類結(jié)構(gòu)的減振設(shè)計(jì)提供參考。

1 樓蓋-MTMD耦合系統(tǒng)基本運(yùn)動(dòng)方程

大跨樓蓋-MTMD耦合系統(tǒng)如圖1所示。設(shè)樓蓋結(jié)構(gòu)的自由度為N，MTMD個(gè)數(shù)為n，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為以下形式：

{f(t)}+[H]{fnTMD}

(1)

[kd]{{xd}-[H]{u}}=0

(2)

式中:[M]、[C]、[K]為N行N列樓蓋結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣；[md]、[cd]、[kd]為n行n列MTMD系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣；[H]為N行n列MTMD的位置矩陣，{f(t)}為N行1列作用于樓蓋上的激勵(lì)向量；{fnTMD}為N行1列MTMD反饋到結(jié)構(gòu)的力向量。

圖1 樓蓋-MTMD系統(tǒng)示意圖

MTMD相對(duì)大跨樓蓋的質(zhì)量比很小(通常在5%以下)，可以認(rèn)為對(duì)樓蓋振型的影響很小。考慮可能被激起的處于1～5倍步頻范圍內(nèi)的p個(gè)模態(tài)，運(yùn)用振型分解法可將式(1)、式(2)轉(zhuǎn)化為式(3)關(guān)于模態(tài)坐標(biāo)的方程

(3)

式中:[ψ]為對(duì)豎向振動(dòng)影響較大的模態(tài)構(gòu)成的振型矩陣，式(3)進(jìn)一步可寫成標(biāo)準(zhǔn)化的式(4)：

(4)

式(4)構(gòu)成了本文計(jì)算響應(yīng)的核心方法。由于[A]、[B]、[C]均非對(duì)角矩陣，宜采用數(shù)值積分法求解該方程。具體使用步驟為：首先通過有限元法或?qū)崪y得到大跨結(jié)構(gòu)豎向振動(dòng)主導(dǎo)模態(tài)頻率、模態(tài)阻尼、模態(tài)向量及模態(tài)質(zhì)量，然后模擬生成步行荷載作為輸入，可求得布置于任意位置任意數(shù)量TMD的樓蓋任意一點(diǎn)的響應(yīng)時(shí)程?；谟邢拊ǖ哪B(tài)分析算法效率高，精度高，因此上述混合計(jì)算步驟同時(shí)保留了有限元分析的精度和振型分解計(jì)算的高效。

2 豎向單人步行荷載的模擬

目前各國研究較多的是單人連續(xù)步行荷載，一般采用式(5)的傅里葉級(jí)數(shù)模型表示。該模型把步行過程看作周期性過程，則豎向單人連續(xù)步行荷載為

(5)

其中:Fv(t)為豎向力；G為行人重量；avi為豎向第i階傅里葉系數(shù)，又稱動(dòng)載因子；fp為人的行走頻率；φvi為豎向第i階諧波相位角；n為模型中考慮的階數(shù)。

動(dòng)載因子的取值是步行荷載模型的關(guān)鍵參數(shù)。許多學(xué)者做了相關(guān)研究，并指出不同國家人的步行荷載并不相同。陳雋等[14]基于三維動(dòng)態(tài)捕捉技術(shù)，建立了包括大量實(shí)測步行、跳躍荷載的數(shù)據(jù)庫，提出了基于實(shí)測的連續(xù)步行荷載模型。該模型包含五階動(dòng)載因子：av1=0.237 0fp+0.031 6；av2=0.181 2；av3=0.122 5；av4=0.096 6；av5=0.072 1。式中fp為步行頻率。取行人體重80 kg，當(dāng)步頻為2.0 Hz時(shí)10 s荷載時(shí)程見圖2，下文均通過該步行荷載模型模擬步行荷載。

圖2 單人豎向步行荷載時(shí)程(步頻2.0 Hz)

考慮步行過程的空間位移特性引入δ函數(shù)，則豎向步行荷載可以表達(dá)為

φvi)]δ(x-vp(t-tar))

(6)

其中:tar為人到達(dá)時(shí)間，vp為行人速度。

一般將豎向力轉(zhuǎn)化為步行路徑上的節(jié)點(diǎn)力(圖3)，將x方向的樓板離散為m個(gè)節(jié)點(diǎn)，把隨空間位置變化的連續(xù)步行荷載時(shí)程分配到對(duì)應(yīng)時(shí)間段的節(jié)點(diǎn)。若節(jié)點(diǎn)間距為l，則每個(gè)節(jié)點(diǎn)力持續(xù)時(shí)間為t=l/vp，第i號(hào)節(jié)點(diǎn)力可以表達(dá)為

φvi)]i∈((i-1)t+tar,it+tar)

(7)

圖3 單人行走節(jié)點(diǎn)荷載示意圖

3 MTMD控制參數(shù)優(yōu)化方法

在確定MTMD控制參數(shù)時(shí)，大部分研究假定MTMD的頻率對(duì)稱分布于被控結(jié)構(gòu)頻率附近，經(jīng)過多組參數(shù)的試算確定較優(yōu)的MTMD頻率和阻尼比，而這樣的假定會(huì)限制MTMD的減振效率和穩(wěn)定性[15]。特別的，當(dāng)實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性隨時(shí)間發(fā)生改變時(shí)，頻率失調(diào)現(xiàn)象將凸顯出來。因此，更合理的方法是采用非對(duì)稱分布參數(shù)的MTMD，同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性可能存在的波動(dòng)，對(duì)每個(gè)TMD的頻率和阻尼進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化分析。

在確定了MTMD的數(shù)量和安裝位置后，采用遺傳算法對(duì)MTMD的頻率和阻尼比進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化，可用圖4所示的二進(jìn)制基因片表達(dá)優(yōu)化變量。優(yōu)化時(shí)可取所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制TMD頻率范圍為被控結(jié)構(gòu)頻率最大值與最小值之間，TMD阻尼比范圍為0～1。

圖4 變量的基因表達(dá)形式

評(píng)價(jià)準(zhǔn)則定義為設(shè)置MTMD后，使得在任意可能的步行荷載下，考慮結(jié)構(gòu)頻率波動(dòng)的結(jié)構(gòu)各點(diǎn)處加速度響應(yīng)峰值的最大值最小化，同時(shí)MTMD的沖程在給定范圍內(nèi)，可歸結(jié)為優(yōu)化問題：

(8)

其中:f(t)為任意可能的步行荷載時(shí)程(本文考慮步頻范圍為1.6～2.4 Hz，行走路徑為最不利路徑)，fstr為使用階段樓蓋結(jié)構(gòu)可能出現(xiàn)的頻率，本文取±10%頻率變化，h為樓蓋結(jié)構(gòu)上任一點(diǎn)位置，[μ]為MTMD相對(duì)各階模態(tài)質(zhì)量的質(zhì)量比矩陣，{f}，{ξ}為可行域內(nèi)的任意向量。uMTMD為MTMD位移，C為TMD最大沖程。

將式(8)與上節(jié)步行荷載模擬方法相結(jié)合，就可完整實(shí)現(xiàn)MTMD控制參數(shù)的優(yōu)化。

4 大跨混凝土樓蓋MTMD減振優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例

4.1 結(jié)構(gòu)概況

某火車站二層候車大廳樓蓋結(jié)構(gòu)為典型的大跨混凝土樓蓋(圖5)，平面尺寸90 m×30 m。常規(guī)的混凝土梁預(yù)應(yīng)力梁、鋼梁等做法在候車大廳人流密集的活荷載情況下的梁高均無法滿足建筑要求，因此采用體外預(yù)應(yīng)力形式[16]。

圖5 樓蓋結(jié)構(gòu)平面、剖面示意圖

首先建立整體樓蓋結(jié)構(gòu)有限元模型，計(jì)算得到1～5倍步頻范圍內(nèi)樓蓋的頻率、模態(tài)參與質(zhì)量以及模態(tài)矩陣?，F(xiàn)場實(shí)測得到的頻率驗(yàn)證了有限元模型，前4階動(dòng)力特性參數(shù)見表1，前4階振型見圖6。

可見，該結(jié)構(gòu)1階、2階頻率均低于現(xiàn)行規(guī)范建議的3 Hz標(biāo)準(zhǔn)，且1階頻率處于步行荷載正常頻率范圍內(nèi)，容易產(chǎn)生共振，應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行減振設(shè)計(jì)。

表1 樓蓋結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性

圖6 樓蓋前4階模態(tài)

4.2 MTMD控制參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

由于樓蓋結(jié)構(gòu)前幾階振型位移最大處均位于長邊跨中線上，因此優(yōu)化MTMD參數(shù)時(shí)荷載行走路線為沿長邊跨中行走。TMD總質(zhì)量的選取是設(shè)計(jì)MTMD減振首先要考慮的因素，圖7比較了安裝于跨中不同質(zhì)量比的TMD的減振效率，經(jīng)綜合考慮，采用的MTMD總質(zhì)量為21 000 kg(質(zhì)量比3%)。

MTMD的數(shù)量是影響減振魯棒性的重要參數(shù)，數(shù)量過少則減振穩(wěn)定性下降，數(shù)量過多則制作不便，為得到合適的組數(shù)，分別對(duì)安裝于不同位置但總質(zhì)量均為21 000 kg的1組、3組、5組、7組TMD參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，通過比較減振率確定合適的TMD數(shù)量及布置位置，優(yōu)化后所得TMD參數(shù)見表2。圖8為不同組數(shù)TMD優(yōu)化時(shí)的進(jìn)化曲線。

表2 不同組數(shù)TMD的參數(shù)

圖9表示當(dāng)單人沿長邊中線行走，步頻范圍為1.6～2.4 Hz，設(shè)置不同組數(shù)TMD后的減振效果，由于分組越多，TMD安裝位置越離散，因此TMD組數(shù)越多減振效果未必更好。由于該樓蓋結(jié)構(gòu)一階頻率2.27 Hz處于步行荷載頻帶范圍，采用布置位置如圖10所示的3組TMD減振效果較好，其中第一組6個(gè)，第二組9個(gè)，第三組6個(gè)，3組TMD的參數(shù)見表3。

表3 三組TMD參數(shù)

圖7 不同TMD質(zhì)量比減振效果對(duì)比

圖8 不同TMD組數(shù)進(jìn)化曲線

圖9 單人步行激勵(lì)不同TMD組數(shù)減振效果對(duì)比

圖10 MTMD布置示意圖

當(dāng)步頻為2.3 Hz時(shí)，采用3組TMD減振前后的結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)如圖11所示，其中圖11(a)、(b)、(c)分別表示1/4跨、1/2跨、3/4跨處加速度響應(yīng)。可見，設(shè)置3組TMD之后，結(jié)構(gòu)加速度反映均有明顯減小，以跨中加速度響應(yīng)為例，峰值從0.566 cm/s2減小到0.349 cm/s2。

圖11 單人行走激勵(lì)減振前后加速度時(shí)程對(duì)比(步頻2.3 Hz)

4.3 MTMD減振的參數(shù)分析

結(jié)構(gòu)自身使用條件的變化也可能導(dǎo)致其動(dòng)力特性(如頻率和阻尼比)的變化。Allen等[17]認(rèn)為人與結(jié)構(gòu)的相互作用可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)阻尼比的提高，因此加拿大規(guī)范[18]建議采用較高的結(jié)構(gòu)阻尼比來計(jì)算人群作用下的響應(yīng)。本節(jié)主要介紹結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)MTMD減振效果的影響，比較了結(jié)構(gòu)頻率及阻尼比的變化對(duì)上述設(shè)計(jì)的3組MTMD減振效果的影響。

定義減振率=(減振前響應(yīng) -減振后響應(yīng))/減振

前響應(yīng)，減振率越大表示MTMD的減振效果越好。圖12(a)，12(b)分別表示有無MTMD時(shí)，單人步行荷載作用下結(jié)構(gòu)頻率、阻尼比變化對(duì)結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)峰值的影響。圖12(c)為減振率對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化圖?？梢娊Y(jié)構(gòu)阻尼比越大則MTMD減振率越低，阻尼比越小減振效果越好。結(jié)構(gòu)頻率變化在±10%以內(nèi)時(shí)均能夠達(dá)到40%以上的減振率。總體上，減振效果受結(jié)構(gòu)頻率變化影響更大。

由于樓蓋結(jié)構(gòu)頻率變化對(duì)MTMD減振效果影響較明顯，因此設(shè)計(jì)MTMD參數(shù)時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮樓蓋結(jié)構(gòu)頻率在一定范圍內(nèi)可能存在的波動(dòng)。當(dāng)采用3組TMD時(shí)，圖13對(duì)比了不考慮與考慮結(jié)構(gòu)頻率變化(變化范圍為原結(jié)構(gòu)頻率±10%)優(yōu)化設(shè)計(jì)后的MTMD對(duì)結(jié)構(gòu)頻率變化的魯棒性。對(duì)比圖13(a)和圖13(b)可見，用不考慮樓蓋頻率變化的MTMD參數(shù)，雖然在結(jié)構(gòu)頻率不變時(shí)能夠達(dá)到最好的減振效果(加速度峰值0.284 cm/s2)，但是當(dāng)樓蓋頻率發(fā)生偏移時(shí)，減振效果有較大幅度降低，當(dāng)結(jié)構(gòu)頻率偏移-10%時(shí)，加速度峰值增大到0.413 cm/s2。而考慮樓蓋結(jié)構(gòu)頻率變化的MTMD參數(shù)，雖然在樓蓋結(jié)構(gòu)頻率不變處減振效果稍有降低(加速度峰值0.339 cm/s2)，但其對(duì)樓蓋頻率的波動(dòng)具有良好的魯棒性。因此，考慮結(jié)構(gòu)頻率變化的MTMD參數(shù)優(yōu)化方法具有優(yōu)勢。

圖12 結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)MTMD減振效果的影響

圖13 不考慮與考慮結(jié)構(gòu)頻率變化優(yōu)化的MTMD減振魯棒性

5 結(jié) 論

研究提出了步行荷載下大跨樓蓋-MTMD系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)程的混合方法用于MTMD參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。將有限元方法與基于振型分解的響應(yīng)計(jì)算程序相結(jié)合，進(jìn)一步采用遺傳優(yōu)化算法對(duì)考慮樓蓋結(jié)構(gòu)頻率變化的MTMD控制參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。采用上述方法，可以顯著提高計(jì)算效率。

將上述方法用于某大跨樓蓋結(jié)構(gòu)MTMD參數(shù)設(shè)計(jì)與減振效果分析。當(dāng)步頻接近結(jié)構(gòu)頻率時(shí)，所設(shè)計(jì)的MTMD能夠達(dá)到良好的減振效果，同時(shí)MTMD的位移在可接受范圍內(nèi)，能夠安裝于實(shí)際樓蓋結(jié)構(gòu)中。進(jìn)一步研究表明，MTMD減振效果對(duì)樓蓋頻率變化更敏感，考慮結(jié)構(gòu)頻率變化的MTMD控制參數(shù)優(yōu)化方法具有良好的減振魯棒性。

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