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        標(biāo)準(zhǔn)包絡(luò)環(huán)面蝸桿副通用接觸線方程及數(shù)值求解

        2018-04-02 07:17:32李昌冉陳旭鋒
        裝備制造技術(shù) 2018年1期

        吳 彬,張 璐,李昌冉,李 雄,陳旭鋒

        (長(zhǎng)安大學(xué),陜西 西安710064)

        0 引言

        環(huán)面蝸桿傳動(dòng)相對(duì)于圓柱蝸桿傳動(dòng)具有嚙合齒數(shù)多,承載能力大的優(yōu)點(diǎn)[1]。我國(guó)生產(chǎn)的二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿主要有平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿、錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿[2],其廣泛應(yīng)用于機(jī)械、化工、冶金等領(lǐng)域[3]。由于包絡(luò)環(huán)面蝸桿副齒廓曲面的復(fù)雜性,對(duì)其進(jìn)行齒面方程的求解也很復(fù)雜,國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究,代表有胡來瑢[4]、董學(xué)朱[5]、L.V.Mohan[6]等,都針對(duì)性的對(duì)環(huán)面蝸桿副接觸線方程進(jìn)行了推導(dǎo),但很少有對(duì)二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副通用接觸線方程進(jìn)行推導(dǎo)。本文推導(dǎo)了標(biāo)準(zhǔn)二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副的通用接觸線方程,最后以平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿為例對(duì)接觸線方程的求解進(jìn)行了研究。

        1 標(biāo)準(zhǔn)二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副通用接觸線方程

        1.1 坐標(biāo)系設(shè)置

        根據(jù)蝸桿毛坯與工具齒輪的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系,為了表達(dá)和計(jì)算方便,建立如圖1所示的蝸桿表面坐標(biāo)系。

        圖1 第一次包絡(luò)坐標(biāo)系

        圖中,C為蝸桿副中心距;S0(i0j0k0)為刀座(蝸輪)靜坐標(biāo);Sw(iwjwkw)為蝸桿靜坐標(biāo);S1(i1j1k1)和S2(i2j2k2)分別是蝸輪和蝸桿的動(dòng)坐標(biāo)系;φ1,φ2為蝸輪、蝸桿在定坐標(biāo)系轉(zhuǎn)角。

        1.2 第一次包絡(luò)蝸桿齒面上通用接觸線方程

        S0(i0j0k0)和Sw(iwjwkw)分別是與機(jī)架固定連接的刀座和蝸桿上的靜坐標(biāo),S1(i1j1k1)和S2(i2j2k2)分別是與刀座和蝸桿固接的動(dòng)坐標(biāo)系。第一次包絡(luò)形成蝸桿齒面,成型面上嚙合點(diǎn)p在S1中的位置表達(dá)式:

        嚙合點(diǎn)處單位法向量三個(gè)分量可表示為:

        嚙合點(diǎn)處的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度可由下式求得:

        式中 w(12)=w(1)-w(2)=-sinφ1i1-cosφ1j1+i12k1

        將(4)、(5)代入(3)整理而得

        根據(jù)共軛理論可知第一次包絡(luò)嚙合函數(shù)可表示為:

        把(2)、(6)代入(7)整理而得第一次包絡(luò)通用嚙合函數(shù):

        其中

        通過坐標(biāo)變換,將動(dòng)坐標(biāo)系S1中p1轉(zhuǎn)換到蝸桿動(dòng)坐標(biāo)系S2中p2得

        聯(lián)立(1)、(2)、(8)、(9)得到第一次包絡(luò)蝸桿齒面通用接觸線方程。

        1.3 第二次包絡(luò)蝸輪通用接觸線方程

        如圖2是用于獲得蝸輪表面坐標(biāo),Sg(igjgkg)和Sw(iwjwkw)分別是蝸輪上靜坐標(biāo)和蝸桿上靜坐標(biāo),S1(i1j1k1)和S2(i2j2k2)分別是蝸輪和滾刀的動(dòng)坐標(biāo)系,θ1,θ2為蝸輪、蝸桿在定坐標(biāo)系轉(zhuǎn)角。第二次包絡(luò)形成蝸輪齒面Σ1,嚙合點(diǎn)處的單位公法線向量與第一次相同。由于單位公法向量為自由向量,只考慮坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換,所以有

        圖2 第二次包絡(luò)坐標(biāo)系

        嚙合點(diǎn)處的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度可由下式求得

        令w(1)=1則

        把(12)(13)代入(11)得:

        據(jù)此,根據(jù)共軛理論可知第二次包絡(luò)通用共軛函數(shù)為

        其中

        通過坐標(biāo)變換,將式(15)中 x2、y2、z2用 x1、y1、z1代替得第二次包絡(luò)通用共軛函數(shù):

        通過坐標(biāo)變換,將坐標(biāo)系S2中的p2轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系S1中p1

        聯(lián)立 (1)、(2)、(8)、(9)、(10)、(16)、(17)、(18)得到第二次包絡(luò)蝸輪齒面通用接觸線方程。

        2 平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副

        2.1 標(biāo)準(zhǔn)平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副接觸線方程

        包絡(luò)面為平面的環(huán)面蝸桿傳動(dòng),稱為平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng),見圖3.

        圖3 成型面坐標(biāo)系

        由(1)可知

        由(2)可得

        將(18)(19)代入(9)可得

        所以將式(21)代入(8)得第一次包絡(luò)嚙合函數(shù)為:

        把式(18)(19)(20)代入(8)可得

        把式(23)代入到(17)可知標(biāo)準(zhǔn)平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)共軛函數(shù)為:

        聯(lián)立 (1)、(2)、(8)、(9)、(10)、(16)、(24)、(18)得到平面二次包絡(luò)蝸輪齒面通用接觸線方程。

        2.2 數(shù)值求解

        求解平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)接觸線方程關(guān)鍵是求解式(24),由于上面推導(dǎo)的式(24)是關(guān)于θ2的非線性三角函數(shù),無法直接求解,因此要對(duì)其進(jìn)行牛頓迭代法求解。由圖4可知共軛函數(shù)關(guān)于轉(zhuǎn)角θ2連續(xù)可導(dǎo),所以可以使用牛頓迭代法進(jìn)行求解。迭代求解的流程如下:

        設(shè)θ為式(24)φ(2)=0的根,給定初始值θ=θ2.

        將θ2代入如下所示的迭代關(guān)系式,求解出新的θ2作為θ的一次近似值。

        將θ的一次近似值作為新的θ值,代入迭代關(guān)系式得到θ的二次近似值,循環(huán)進(jìn)行。因?yàn)楣曹椇瘮?shù)關(guān)于轉(zhuǎn)角θ2連續(xù)可導(dǎo),由Matlab求得共軛函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)如圖4所示,可知初始值取60°,此時(shí)迭代關(guān)系式必定有收斂解??刂平Y(jié)果計(jì)算誤差為0.001°進(jìn)行求解,最終完成平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸輪齒面接觸線求解。

        圖4 共軛函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)性

        已知蝸桿為單頭蝸桿,傳動(dòng)比i21=40,模數(shù)m=10.03 mm,蝸輪齒頂圓直徑為417.36 mm,齒根圓直徑為381.24 mm,分度圓直徑為401.3 mm;蝸輪齒距角為9°,工作起始角為6°.最后通過Matlab程序計(jì)算,在Matlab軟件中求得蝸輪齒面上接觸線如圖5所示。

        圖5 蝸輪接觸線

        3 結(jié)束語(yǔ)

        (1)本文詳細(xì)推導(dǎo)了標(biāo)準(zhǔn)二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副通用接觸線方程,然后以平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)為例驗(yàn)證其正確性,這對(duì)推導(dǎo)一般環(huán)面蝸桿副接觸線方程具有指導(dǎo)意義。

        (2)本文采用牛頓迭代法的數(shù)值方法求解了接觸線方程,并通過實(shí)例計(jì)算,得到蝸輪接觸線圖,此數(shù)值方法對(duì)求解其它超越方程具有參考價(jià)值。

        參考文獻(xiàn):

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        [2]段德榮.包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)通用嚙合函數(shù)及其應(yīng)用[J].太原工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),1987,1(2):30-41.

        [3]陽(yáng) 培,王長(zhǎng)路.用嚙合原理與數(shù)值方法求蝸桿副接觸線[J].機(jī)械傳動(dòng),2004,1(2):4-6.

        [4]胡來瑢.空間嚙合原理及應(yīng)用(下冊(cè))[M].北京:煤炭工業(yè)出版社,1986:58-76.

        [5]董學(xué)朱.環(huán)面蝸桿傳動(dòng)設(shè)計(jì)和修型[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2004:15-30.

        [6]L.V.Mohan,M.S.Shunmugam.Geometrical aspects of double enveloping worm gear drive[J].Mechanism and Machine Theo ry,2009,44(11):2053-2065.

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