韓 慶， 魏來生， 賀力朋

(中國北方車輛研究所，北京 100072)

準(zhǔn)確獲取履帶傳遞的各個(gè)方向的力，對(duì)于開展整車動(dòng)力學(xué)分析、解決車輛行駛過程脫帶問題、匹配行動(dòng)系統(tǒng)性能、做好行動(dòng)系統(tǒng)零部件優(yōu)化設(shè)計(jì)等均具有非常重要的意義.目前我國還沒有進(jìn)行履帶動(dòng)態(tài)力測(cè)試的能力.履帶式坦克裝甲車輛行駛過程中履帶所受的三維動(dòng)態(tài)力，包括履帶板所承受的橫向力、壓力以及履帶板之間的拉力.

在測(cè)試過程中，由于受履帶本身的空間尺寸和結(jié)構(gòu)形式限制，組成測(cè)量三維力的電橋的應(yīng)變片只能布置在履帶板金屬表面上，這就導(dǎo)致了各個(gè)電橋輸出信號(hào)之間相互影響，存在維間耦合，因此通過電橋輸出的電壓無法直接換算出履帶板三維力，這種耦合也會(huì)對(duì)測(cè)量精度產(chǎn)生影響，因此必須想辦法消除維間耦合，實(shí)質(zhì)上就是將Ui=f(FXFyFz)關(guān)系函數(shù)通過各種算法，實(shí)現(xiàn)對(duì)各分力的準(zhǔn)確測(cè)量.

消除或抑制耦合的方法主要有兩個(gè)，一個(gè)是消除耦合產(chǎn)生的根源，即傳感器的制造工藝等諸多問題，一般很難解決；二是利用標(biāo)定矩陣，采取模擬或數(shù)字信號(hào)處理方法消除維間耦合，這種方法被廣泛采用.目前國內(nèi)外對(duì)維間耦合問題的研究頗多，但是許多解耦理論由于設(shè)計(jì)理論和計(jì)算過于復(fù)雜，很難用于工程化問題，本研究就履帶板三維力解耦方法進(jìn)行論述.

1 多維力傳感器的解耦公式及基本形式

1.1 多維力傳感器的解耦原理

多維力傳感器解耦公式都是多項(xiàng)式形式的，基本分為兩個(gè)類型，一個(gè)是顯式公式，傳感器的載荷可直接用各分量的信號(hào)增量乘以相應(yīng)系數(shù)后相加得到；另一種是隱式公式，公式的兩邊都有包含載荷的項(xiàng)，需要使用迭代算法計(jì)算傳感器的載荷值.

顯式公式的用法比較簡(jiǎn)單，因此應(yīng)用更為廣泛.一般將公式用矩陣形式表達(dá)，更為直觀和易于計(jì)算.

公式的擬合方法主要是傳統(tǒng)的最小二乘法、高斯消元法和相對(duì)較新的多項(xiàng)式響應(yīng)面法.本研究使用多項(xiàng)式響應(yīng)面法.

多項(xiàng)式響應(yīng)面是一種比較成熟的模型，在優(yōu)化領(lǐng)域、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.假定參數(shù)是n維向量，該向量是待求函數(shù)的自變量，二者存在的函數(shù)關(guān)系為y=y(x).盡管待求的函數(shù)可能找不出準(zhǔn)確的表達(dá)式，但是，只要給定了參數(shù)值或設(shè)計(jì)點(diǎn)值，即取定了一個(gè)樣本點(diǎn)x(j)，總可以通過實(shí)體的或數(shù)值的試驗(yàn)得到相應(yīng)的性能值y(j)=y(x(j))，這是對(duì)應(yīng)一個(gè)參數(shù)值或樣本點(diǎn)值的一個(gè)響應(yīng)值.如果做了足夠多的試驗(yàn)，例如n個(gè)試驗(yàn)，那么我們就可以利用n個(gè)樣本點(diǎn)及其n個(gè)響應(yīng)，利用待定系數(shù)的方法求出函數(shù)y=y(x)的近似函數(shù)y′=f(x).f(x)為需要構(gòu)造的響應(yīng)面函數(shù)[1].利用該響應(yīng)面函數(shù)，即可從試驗(yàn)參數(shù)值求得待求的參數(shù).本研究中就是利用響應(yīng)面函數(shù)將試驗(yàn)得到的電橋輸出電壓轉(zhuǎn)換成履帶三個(gè)方向的載荷.

實(shí)際中，根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，通常選取多項(xiàng)式的形式.通常一階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型誤差較大，而高階多項(xiàng)式雖然精度較高，但由于其包含較多的項(xiàng)，計(jì)算量也隨之增長(zhǎng)，擬合的計(jì)算過程會(huì)更復(fù)雜.根據(jù)響應(yīng)面函數(shù)表達(dá)式在能夠描述真實(shí)函數(shù)的前提下應(yīng)盡可能簡(jiǎn)單[1]的原則，在很多工程實(shí)踐中，二階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型應(yīng)用最為廣泛，因此本研究選取含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式的響應(yīng)面函數(shù)形式.即

(1)

根據(jù)式(1)可知模型中含有10個(gè)待估系數(shù).類似的，對(duì)于n元二階多項(xiàng)式待估參數(shù)的個(gè)數(shù)為：

nrc=(n+1)(n+2)/2.

(2)

待估系數(shù)需要ns組試驗(yàn)點(diǎn)來確定(ns≥nrc)，進(jìn)而確定待估系數(shù)值的大小.將式(1)寫為向量積形式

f(xi)=Xiβ.

(3)

式中：Xi是由樣本點(diǎn)xi構(gòu)成的行向量；i=1,2,...,n.

由于式(3)要滿足如下條件

f(Xi)=yi.

(4)

因此寫成矩陣的形式為

X·β=Y.

(5)

因?yàn)轫憫?yīng)面函數(shù)是近似函數(shù)，所以根據(jù)式(5)計(jì)算的Y值與試驗(yàn)得到的響應(yīng)值間存在誤差.利用最小二乘原理使誤差的平方和最小，即

S(β)=‖ε‖2=(Y-Xβ)T(Y-Xβ).

(6)

使S(β)最小的的必要條件為

S(β)=‖ε‖2=
((Y-Xβ)T(Y-Xβ))=
2(Xβ-Y)TX=0.

(7)

可求得

β=XTX-1XTY.

(8)

式(8)為X列滿秩時(shí)得到的最小二乘解.最終將式(8)代入式(1)可得多項(xiàng)式擬合模型.

1.2 基于響應(yīng)面法的履帶板三維力解耦

履帶板三維力響應(yīng)面函數(shù)中，n=3，根據(jù)式(1)可知

(9)

設(shè)計(jì)變量分別為VFx，VFy，VFz，待求函數(shù)為

(10)

共進(jìn)行ns組試驗(yàn).假設(shè)β0=0，將每組標(biāo)定試驗(yàn)得到的樣本點(diǎn)代入式(3),可得到響應(yīng)函數(shù)值：

(11)

根據(jù)式(7)利用最小二乘原理使誤差的平方和最小，可得

(Xβ-Y)TX=0.

(12)

其中

將標(biāo)定數(shù)據(jù)代入式(8)，可得到β.

2 履帶板三維力靜態(tài)線性解耦方法

考慮到可測(cè)試履帶板的解耦算法既要實(shí)現(xiàn)消除維間耦合的目的，又要滿足可用于實(shí)際工程問題中，且可操作性強(qiáng).所以重點(diǎn)研究了履帶板三維力靜態(tài)線性解耦的方法，即基于靜態(tài)線性標(biāo)定和響應(yīng)面法的解耦算法.

2.1 履帶板的標(biāo)定

最傳統(tǒng)的多維力靜態(tài)解耦方法是基于靜態(tài)線性標(biāo)定試驗(yàn)的，因此履帶板三維力解耦首先也要開展標(biāo)定工作.

根據(jù)測(cè)試范圍，選擇n個(gè)標(biāo)定點(diǎn)，分別對(duì)每個(gè)方向施加載荷.具體如下：

1)拉力標(biāo)定.

試驗(yàn)開始，由履帶剛性試驗(yàn)臺(tái)施加拉力，逐步增加到100 kN拉力，然后再逐步卸載至履帶全松(因?yàn)橛新膸ё灾?，所以不能完全卸載到0 kN).測(cè)試不少于10個(gè)載荷值，讀取可測(cè)試履帶板采集的數(shù)據(jù).

2)橫向力標(biāo)定.

試驗(yàn)開始，由履帶剛性試驗(yàn)臺(tái)施加16～17 kN的預(yù)拉力，然后通過橫向力加載裝置從0 kN逐步增加到50 kN的橫向力，最后再逐步卸載至0 kN.測(cè)試不少于10個(gè)載荷值，讀取可測(cè)試履帶板采集的數(shù)據(jù).

3)壓力標(biāo)定.

試驗(yàn)開始，由MSP250kN試驗(yàn)臺(tái)施加壓力，從0 kN逐步增加到100 kN的壓力，然后再逐步卸載至0 kN，測(cè)試不少于10個(gè)載荷值，讀取可測(cè)試履帶板采集的數(shù)據(jù).

在一個(gè)標(biāo)定點(diǎn)上只施加一個(gè)載荷，會(huì)同時(shí)得到3個(gè)通道的輸出信號(hào).只有與施加載荷方向一致的那個(gè)通道的輸出信號(hào)，才能反映履帶板在該方向上受到的力，其他兩個(gè)通道的輸出信號(hào)只反映施加的力在那兩個(gè)方向耦合的輸出結(jié)果.

記錄每個(gè)通道的輸出，得到履帶板3個(gè)方向上標(biāo)定的時(shí)間-電壓曲線，如圖1、圖2、圖3所示.

圖1 壓力方向加載時(shí)三個(gè)電橋時(shí)間-電壓曲線

圖2 橫向力方向加載時(shí)三個(gè)電橋時(shí)間-電壓曲線

圖3 拉力方向加載時(shí)3個(gè)電橋時(shí)間-電壓曲線

具體各通道輸出電壓值和施加載荷數(shù)值如表1所示

表1 各通道輸出電壓與相應(yīng)施加載荷數(shù)值

2.2 基于標(biāo)定結(jié)果的耦合矩陣的確定

為了盡可能精確地獲得耦合矩陣，從多次標(biāo)定結(jié)果中選擇較好的作為計(jì)算耦合矩陣的依據(jù).根據(jù)1.2節(jié)的算法，計(jì)算出的耦合矩陣為

得到可測(cè)試履帶板的耦合矩陣后，代入式(9)可得到解耦后的履帶板三維力值：

Fx=43.701×△VFx+42.693×△VFy-54.1938×△VFz+18.257×△VFx△VFy-346.17×△VFx△VFz-15.578×△VFy△VFz+161.68×△VFx2-13.1025×△VFy2+206.9203×△VFz2;

Fy=-3.788×△VFx+3.061×△VFy+1.821×△VFz-64.745×△VFx△VFy+120.892×△VFx△VFz+52.445×△VFy△VFz-54.6×△VFx2+15.8212×△VFy2-67.5484×△VFz2;

Fz= -47.0776×△VFx+10.502×△VFy+34.187×△VFz+59.069×△VFx△VFy-24.459×△VFx△VFz-51.271×△VFy△VFz+10.6595×△VFx2-11.81×△VFy2-11.14×△VFz2.

2.3 實(shí)際應(yīng)用與結(jié)果檢驗(yàn)

利用通過以上算法得到的可測(cè)試履帶板的耦合矩陣，可得到實(shí)際測(cè)試過程中履帶所受的實(shí)時(shí)載荷，如圖4、圖5、圖6所示.實(shí)線加載值為實(shí)際施加的載荷值，虛線反算值為可測(cè)試履帶板測(cè)試得到的載荷值，

根據(jù)測(cè)試結(jié)果，我們能夠?qū)⒖蓽y(cè)試履帶板3個(gè)方向的耦合關(guān)系分解開來，效果顯著，誤差是滿量程的5%.

圖4 拉力方向時(shí)間-載荷曲線(加載值與反算值對(duì)比)

圖6 壓力方向時(shí)間-載荷曲線(加載值與反算值對(duì)比)

3 結(jié)束語

針對(duì)履帶三維力測(cè)試過程中存在維間耦合的問題，采用基于靜態(tài)線性標(biāo)定和響應(yīng)面法的解耦算法，提出了便于在工程應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)的解耦方法，解決了履帶三維力之間的維間耦合問題，研究結(jié)論如下：

1)該方法是通過標(biāo)定試驗(yàn)結(jié)果，建立近似顯函數(shù)的形式對(duì)履帶板三維力進(jìn)行解耦計(jì)算的，易于工程應(yīng)用;

2)利用該方法對(duì)履帶板測(cè)試數(shù)據(jù)解耦得到的三維力與試驗(yàn)臺(tái)施加的標(biāo)準(zhǔn)載荷對(duì)比，誤差是滿量程的5%；

因此，該方法適用于對(duì)履帶板三維力進(jìn)行解耦.

[1] 隋允康,宇慧平.響應(yīng)面方法的改進(jìn)及其對(duì)工程優(yōu)化的應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2010.