邢家省，楊小遠(yuǎn)

(北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100191)

歐拉積分公式[1-3]是數(shù)學(xué)分析中的經(jīng)典結(jié)果.費(fèi)定暉等[1]利用對(duì)含參變量積分的求導(dǎo)方法，給出了歐拉公式的證明，但證明過(guò)程較為繁瑣.華羅庚[3]指出，利用復(fù)圍道積分方法也可得到歐拉積分公式，但這種證明所用的知識(shí)點(diǎn)較多.筆者發(fā)現(xiàn)，利用歐拉積分公式可以對(duì)幾類(lèi)重要的廣義積分[1-14]給出統(tǒng)一的處理，而這幾類(lèi)廣義積分在現(xiàn)有文獻(xiàn)中是分別給予解決的，并且解決的辦法相當(dāng)復(fù)雜.筆者利用積分交換次序定理[1-7]，給出了一類(lèi)廣義積分的計(jì)算結(jié)果，在導(dǎo)出結(jié)果的過(guò)程中完全是利用數(shù)學(xué)分析自身已有的理論方法.

1 一類(lèi)歐拉積分公式的簡(jiǎn)便證明

定理1僅出現(xiàn)在文獻(xiàn)[4-5]中，原因是證明過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，限制了它的傳播.筆者給出了其簡(jiǎn)短的證明過(guò)程.

證明記

文獻(xiàn)[1]中給出了定理2的證明，但證明過(guò)程較為繁瑣.筆者利用對(duì)變量求導(dǎo)的方法，給出了簡(jiǎn)潔的證明過(guò)程，以便于理解和應(yīng)用.

對(duì)-1

定理3得證.

利用定理2，可得如下結(jié)論：

2 歐拉積分公式的直接應(yīng)用

定理6[1-3]設(shè)k>0,λ>-1，則有

定理7[1-3]設(shè)k>0,λ>0，則有

3 歐拉積分公式在廣義菲涅爾積分計(jì)算中的應(yīng)用

證明利用定理8、Γ函數(shù)的性質(zhì)和余元公式，[1-5]可得

證明利用定理10 和Γ函數(shù)的性質(zhì)及余元公式，[1-5]可得

定理12[1-4]設(shè)p>1，則有：

4 歐拉積分公式在一些廣義積分計(jì)算中的應(yīng)用

定理15[1-4,6]設(shè)k>0,-1<λ<1，則有

于是

利用定理15，可得如下結(jié)論：

利用積分交換次序的理論方法，可以證明

(1)

利用(1)式，可得如下結(jié)論：

定理17[2,15]設(shè)k>0,0<λ<1，則有

利用(2)式，可得

于是

證明利用貝塔函數(shù)的性質(zhì)、Γ函數(shù)的性質(zhì)和余元公式，[1-5]可得

文獻(xiàn)[11-12]中，實(shí)際上是利用復(fù)圍道積分的理論方法進(jìn)行兩道路上積分的轉(zhuǎn)換，給出了一類(lèi)廣義積分的計(jì)算，其嚴(yán)格理論方法可見(jiàn)文獻(xiàn)[3].

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