曹智茹，牛玉剛*，宋 軍，何舒平

(1.華東理工大學 信息科學與工程學院，上海 200237；2.安徽大學 電氣工程與自動化學院，安徽 合肥 230601；3.安徽大學 計算智能與信號處理教育部重點實驗室，安徽 合肥 230601)

隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，研究人員開始用隨機模型來描述工業(yè)生產(chǎn)中出現(xiàn)的各種復雜過程.環(huán)境改變、內(nèi)部元件損壞及人為干預等因素的影響，使確定性的系統(tǒng)模型已不能準確描述工業(yè)生產(chǎn)過程，這時就需要用分段系統(tǒng)或跳變系統(tǒng)來描述.Markov跳變系統(tǒng)(Markov jump systems, 簡稱MJSs)是一類時間和事件共同驅(qū)動的混合系統(tǒng)，它用離散的模態(tài)表示不同的子系統(tǒng)，而各子系統(tǒng)又含有連續(xù)時變的狀態(tài)變量，這類系統(tǒng)相對僅含有狀態(tài)變量而無模態(tài)變化的一般系統(tǒng)來說，能夠更加準確描述實際過程.

控制理論中，系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)控制過程的關鍵問題.Lyapunov漸近穩(wěn)定性以假設工作時間無限長為前提，描述系統(tǒng)狀態(tài)的漸進變化，即關注系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能.然而，對于一些實際工程，人們更關心有限(或短暫)時間內(nèi)系統(tǒng)的狀態(tài)變化，如導彈系統(tǒng)及衛(wèi)星姿態(tài)的調(diào)整.因此，有限短時間穩(wěn)定(finite-time stability, 簡稱FTS)在一定程度上變得非常重要，極具研究意義.需要強調(diào)的是，由于Lyapunov穩(wěn)定性和有限短時間穩(wěn)定性是相互獨立的兩個概念，二者關注重點與研究方法也不同.

筆者對近年來Markov跳變系統(tǒng)的有限短時間控制問題進行綜述.首先，闡述Markov跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性、魯棒控制及濾波方法；然后，介紹有限短時間穩(wěn)定性的基本概念及目前Markov跳變系統(tǒng)有限短時間控制的研究現(xiàn)狀；最后，從Markov跳變系統(tǒng)模型及有限短時間控制方法兩個角度，分別提出Markov跳變系統(tǒng)有限短時間控制未來潛在的研究課題.

1 Markov跳變系統(tǒng)

1.1 Markov跳變系統(tǒng)模型

許多工業(yè)過程中，由于外界環(huán)境的突然變化、內(nèi)部各子系統(tǒng)間連接方式的改變、非線性對象工作點范圍的變化、元件損壞及人為干預等，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)會發(fā)生隨機突變，這類系統(tǒng)稱為混雜動態(tài)系統(tǒng)(hybrid dynamic systems, 簡稱HDS)[1].混雜動態(tài)系統(tǒng)可描述實際系統(tǒng)，如電力系統(tǒng)、生化系統(tǒng)以及經(jīng)濟系統(tǒng)等.

混雜動態(tài)系統(tǒng)既描述離散的事件動態(tài)，也描述連續(xù)的變量動態(tài).切換系統(tǒng)(switched systems)描述一類特殊的混合系統(tǒng)，一個由多個子系統(tǒng)組成的切換系統(tǒng)，其系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移僅與該事件是否發(fā)生有關，而與該系統(tǒng)狀態(tài)無關[2].一般地，切換系統(tǒng)由若干個子系統(tǒng)及一個切換信號構(gòu)成，并通過切換信號在子系統(tǒng)間進行切換，以實現(xiàn)預定的性能指標.

Markov跳變系統(tǒng)是一種特殊的切換系統(tǒng)，該系統(tǒng)從一個模態(tài)切換到另一個模態(tài)的過程中沒有固定的切換規(guī)則可以遵循，模態(tài)間切換是隨機的，但這種隨機切換符合一定的統(tǒng)計特性——各模態(tài)間的轉(zhuǎn)移服從Markov跳變過程(Markov jump process)[3-4].因此，Markov跳變系統(tǒng)是一類特殊的隨機系統(tǒng)，也稱為隨機Markov跳變系統(tǒng)(stochastic Markov jump systems, 簡稱SMJSs).

作為特殊的隨機切換系統(tǒng)，Markov跳變系統(tǒng)模型可用來描述很多實際系統(tǒng)，如金融系統(tǒng)、網(wǎng)絡控制系統(tǒng)、多旋翼姿態(tài)控制系統(tǒng)、機器人操作系統(tǒng)及同時涉及隨機決策和連續(xù)控制的系統(tǒng)等.

下面介紹Markov跳變系統(tǒng)模型：

(1) 連續(xù)時間Markov跳變線性系統(tǒng)

連續(xù)時間Markov跳變線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述如下

(1)

其中：x(t)∈Rn，y(t)∈Rp，u(t)∈Rm分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量、控制輸出和控制輸入；A(rt)，B(rt)，C(rt)均為適當維數(shù)的矩陣.{rt,t≥0}為有限集T={1,2,…,N}中取值的齊次Markov過程，具有如下性質(zhì)

(2)

(2) 離散時間Markov跳變線性系統(tǒng)

離散時間Markov跳變線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述如下

(3)

其中：x(k)∈Rn，y(k)∈Rp，u(k)∈Rm分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量、控制輸出和控制輸入；A(rk)，B(rk)，C(rk)均為適當維數(shù)的矩陣.{rk,k≥0}為有限集T={1,2,…,N}中取值的齊次Markov過程，具有如下性質(zhì)

Pr{rk+1=j|rk=i}=πij，

(4)

由上面連續(xù)時間、離散時間Markov跳變線性系統(tǒng)模型可以看出，Markov跳變系統(tǒng)是由若干個子系統(tǒng)組成，不同的模態(tài)代表不同的狀態(tài)空間，各模態(tài)間的跳變服從Markov過程.描述該Markov過程將來時刻的概率分布，僅依賴于現(xiàn)在時刻所給定的量，而與過去時刻的特性無關，Markov跳變系統(tǒng)的這種特性又稱為無后效性.

1.2 Markov跳變系統(tǒng)的分析與綜合

自Markov跳變系統(tǒng)被提出以來，該系統(tǒng)便引起了控制領域?qū)W者的廣泛關注，并取得了大量的成果，主要包括以下幾個方面：

(1) 穩(wěn)定性分析

Markov跳變系統(tǒng)穩(wěn)定性源于矩穩(wěn)定性(moment stability).1969年，文獻[5]由矩穩(wěn)定性推出幾乎必然穩(wěn)定性，使穩(wěn)定性分析有了進一步的發(fā)展.文獻[6]研究了Markov跳變系統(tǒng)的隨機穩(wěn)定(stochastic stability)，在均方穩(wěn)定充分條件的基礎上，進一步研究了系統(tǒng)均方指數(shù)穩(wěn)定(exponential mean square stability)的充要條件.文獻[7]和[8]分別對離散時間和連續(xù)時間的線性Markov跳變系統(tǒng)的幾乎必然穩(wěn)定進行了深入的研究.文獻[9]給出了受Markov鏈和確定性切換影響時線性Markov跳變系統(tǒng)幾乎必然穩(wěn)定的充分條件.

對于含有不確定性參數(shù)的Markov跳變系統(tǒng)，文獻[10]給出了與時變時滯有關的指數(shù)均方穩(wěn)定的充分條件.文獻[11]考慮了線性Markov跳變系統(tǒng)中含有影響系統(tǒng)狀態(tài)和輸入矩陣范數(shù)有界的不確定性，給出了系統(tǒng)幾乎必然穩(wěn)定的充分條件.文獻[12]研究了含有多胞參數(shù)不確定的非線性Markov跳變系統(tǒng)的指數(shù)均方穩(wěn)定問題，通過構(gòu)造依賴系統(tǒng)狀態(tài)和不確定參數(shù)的隨機Lyapunov函數(shù)，給出了非線性Markov跳變系統(tǒng)指數(shù)均方穩(wěn)定的充分條件.

上述討論均是在系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率完全已知的條件下進行的，實際上，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率很難完全已知.文獻[13]對具有時變時滯的離散時間線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題進行研究，考慮轉(zhuǎn)移率為完全已知和完全未知兩種情況，利用時變時滯的上下界信息給出了系統(tǒng)隨機穩(wěn)定的充分條件.文獻[14]和[15]分別對連續(xù)時間和離散時間Markov跳變系統(tǒng)進行了進一步的研究，考慮了轉(zhuǎn)移概率完全未知的情況，利用線性矩陣不等式給出了系統(tǒng)隨機穩(wěn)定的充要條件.

(2) 魯棒控制

Markov跳變系統(tǒng)的魯棒控制一直是控制領域的熱點問題.文獻[16]研究了一類具有參數(shù)不確定性的非線性離散Markov跳變系統(tǒng)的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題，利用隱函數(shù)定理和奇異值分解給出了線性矩陣不等式算法，設計魯棒狀態(tài)反饋控制器使被控系統(tǒng)隨機穩(wěn)定.文獻[17]則對一類同時具有混合時變時滯和參數(shù)不確定的非線性連續(xù)Markov跳變系統(tǒng)進行研究，基于線性矩陣不等式給出了魯棒穩(wěn)定的充分條件.

關于隨機Markov跳變系統(tǒng)魯棒控制的相關研究成果還包括H∞控制問題[18-24]、成本及耗散控制問題[25-26]、模糊控制問題[27-29]及最優(yōu)控制問題[30]等.其中，H∞控制是Markov跳變系統(tǒng)魯棒控制研究中最常用的控制方法，文獻[18]研究了具有不確定轉(zhuǎn)移概率的離散時間Markov跳變系統(tǒng)的H∞控制問題，當不確定轉(zhuǎn)移概率是連續(xù)隨機變化且部分未知時，使用高斯密度函數(shù)對隨機變化的轉(zhuǎn)移概率進行量化處理，設計狀態(tài)反饋控制器保證閉環(huán)系統(tǒng)隨機穩(wěn)定并滿足給定的H∞性能指標.同樣針對具有不確定轉(zhuǎn)移概率的離散時間Markov跳變系統(tǒng)，文獻[19]進一步考慮轉(zhuǎn)移概率具有多胞不確定性且時變的情況，設計魯棒H∞控制器減弱執(zhí)行器飽和帶來的影響.上述工作只考慮了系統(tǒng)狀態(tài)可測的情況，當系統(tǒng)狀態(tài)不可測時，文獻[24]通過模態(tài)依賴和參數(shù)依賴的Lyapunov函數(shù)設計了一個基于觀測器的H∞控制器，使增廣系統(tǒng)不僅能夠隨機穩(wěn)定，還能滿足規(guī)定的H∞性能.

(3) 濾波方法

實際物理系統(tǒng)中，由于干擾、不確定性等，往往不能直接測量系統(tǒng)的狀態(tài)，而只能通過系統(tǒng)輸出來間接估計，因此Markov跳變系統(tǒng)的濾波一直是控制界的研究熱點，常用的濾波方法有Kalman濾波、最小方差濾波、峰值濾波[31]、H∞濾波[32-36]等.由于H∞濾波僅要求能量有界而不需要考慮外部噪聲信息，該濾波方法在Markov跳變系統(tǒng)得到了廣泛應用.文獻[32]針對具有Markov過程的網(wǎng)絡控制系統(tǒng)，考慮系統(tǒng)中含有范數(shù)有界不確定性和隨機丟包現(xiàn)象，設計濾波器使系統(tǒng)滿足H∞性能指標且具有無源性.考慮到轉(zhuǎn)移概率信息不完整的情況，文獻[33]研究了具有多胞型不確定性轉(zhuǎn)移概率的Markov跳變系統(tǒng)H∞濾波問題，文獻[34]研究了同時具有多胞型不確定性和不完整轉(zhuǎn)移概率的Markov跳變系統(tǒng)的H∞濾波問題.當濾波器的模態(tài)與系統(tǒng)模態(tài)異步時，文獻[36]使用T-S模糊方法對非線性Markov系統(tǒng)進行建模，設計異步濾波器保證增廣系統(tǒng)穩(wěn)定.

上述研究都是在Markov跳變系統(tǒng)的模態(tài)信息可獲得的條件下進行的，但實際應用中，有些模態(tài)很難測量，這使得上述方法不能應用到實際中.文獻[37]和[38]分別針對連續(xù)時間和離散時間的線性Markov跳變系統(tǒng)設計了不依賴模態(tài)的魯棒H∞濾波器.對非線性Markov跳變系統(tǒng)，文獻[39]對濾波器與系統(tǒng)模態(tài)異步問題進行研究，設計了不依賴模態(tài)的具有分段同步的異步H∞濾波器保證系統(tǒng)隨機穩(wěn)定.

2 Markov跳變系統(tǒng)的有限短時間控制

2.1 有限短時間控制

有限短時間穩(wěn)定，是指一個有限的時間內(nèi)，系統(tǒng)的狀態(tài)軌線始終不脫離預先給定的范圍[40].圖1展示了一個2維系統(tǒng)的有限短時間穩(wěn)定性在狀態(tài)空間的變化[41].

圖1 一個 2維系統(tǒng)的有限短時間穩(wěn)定性在狀態(tài)空間的變化

在有限短時間穩(wěn)定概念的提出之初，主要是針對如下自治系統(tǒng)

(5)

給定一個初始時間t0，一個正標量T，兩個集合χ0和χt，如果系統(tǒng)(5)滿足條件

x0∈χ0?x(t)∈χt,t∈[t0,t0+T] ，

(6)

則稱該系統(tǒng)有限短時間穩(wěn)定.但是，實際應用中，系統(tǒng)難免會受外界未知擾動的影響，于是文獻[42]擴展了有限短時間狀態(tài)穩(wěn)定的概念，提出了有限短時間有界性(finite-time boundedness, 簡稱FTB).

對一個含有外部擾動的系統(tǒng)

(7)

其中：ω(t)為外部干擾.給定一個初始時間t0，一個正標量T，兩個集合χ0和χt，如果系統(tǒng)(7)滿足條件

(8)

x0∈χ0?x(t)∈χt,t∈[t0,t0+T]，

(9)

則稱該系統(tǒng)有限短時間有界.

文獻[42]提出了輸入輸出有限短時間穩(wěn)定(input-output finite-time stability, 簡稱IO-FTS)概念[43]，即給定一個確定的時間間隔，對于范數(shù)有界輸入信號(即有界的外部擾動)，系統(tǒng)的輸出在該時間間隔內(nèi)不超過規(guī)定的閾值.

對含有外部擾動的動態(tài)系統(tǒng)

(10)

其中：ω(t)為外部干擾.

給定一個初始時間t0，一個正標量T，一個正標量δ，一個集合χt，如果系統(tǒng)(10)滿足條件

(11)

W[t0,t0+T],δ?y(t)∈χt,t∈[t0,t0+T],

(12)

則稱系統(tǒng)輸入輸出有限短時間穩(wěn)定.

值得注意的是，有限短時間穩(wěn)定性與Lyapunov漸近穩(wěn)定性有很大的不同.前者關注系統(tǒng)狀態(tài)的暫態(tài)性能、系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在給定時間間隔內(nèi)的變化及有限短時間間隔內(nèi)能量的變化，后者關注系統(tǒng)狀態(tài)的最終穩(wěn)態(tài)是否趨于零，因此有限短時間穩(wěn)定是更有工程意義的穩(wěn)定性概念.

2.2 Markov跳變系統(tǒng)有限短時間控制研究現(xiàn)狀

有限短時間穩(wěn)定問題因其具有重要的工程意義受到關注，Markov跳變系統(tǒng)的有限短時間控制也是近幾年的研究熱點.文獻[44]首次給出連續(xù)和離散線性隨機跳變系統(tǒng)有限短時間穩(wěn)定、有界和鎮(zhèn)定的定義，并設計出系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制器.文獻[45]提出隨機跳變系統(tǒng)有限短時間穩(wěn)定相關概念后，進而將線性Markov跳變系統(tǒng)有限短時間穩(wěn)定的主要論點推廣到不確定隨機Markov跳變系統(tǒng)，且研究了該類線性連續(xù)隨機跳變系統(tǒng)基于狀態(tài)反饋的有限短時間鎮(zhèn)定問題.文獻[46]研究了伊滕型隨機Markov跳變系統(tǒng)的輸入輸出有限短時間均方鎮(zhèn)定問題，針對外部的有界干擾，設計控制器使系統(tǒng)輸出在給定時間內(nèi)能量的均方值不超過給定的閾值.文獻[47]研究了一類具有高斯型轉(zhuǎn)移概率的Markov跳變系統(tǒng)，利用高斯密度函數(shù)對轉(zhuǎn)移概率中隨機不確定元素進行量化處理，設計了系統(tǒng)模態(tài)依賴的控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)有限短時間有界.

魯棒H∞控制是常用的處理Markov跳變系統(tǒng)有限短時間控制問題的方法.文獻[48]提出了一個新的Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造方法，減少了常規(guī)方法處理時滯問題帶來的保守性，設計的H∞控制器能保證系統(tǒng)有限短時間穩(wěn)定且滿足H∞性能指標.文獻[49]則考慮Markov跳變系統(tǒng)的H∞靜態(tài)輸出反饋控制，引入與原系統(tǒng)狀態(tài)和輸出有關的新變量，給出閉環(huán)系統(tǒng)在特定的性能指標下的隨機有限短時間有界的充分條件.文獻[50]針對一類時滯錐型非線性系統(tǒng)，設計了系統(tǒng)的滑?？刂破?，并給出能保證閉環(huán)系統(tǒng)有限時間有界的充分條件.

對于Markov跳變系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率部分信息未知問題，文獻[51]利用矩陣變換和Gron-wall不等式等方法，給出了有限短時間隨機穩(wěn)定的判定準則，設計出動態(tài)輸出反饋控制器，使系統(tǒng)有限短時間鎮(zhèn)定.文獻[52]考慮了一類連續(xù)時間具有Markov過程的神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)，利用已知的轉(zhuǎn)移概率上下界信息設計控制器，研究系統(tǒng)有限短時間有界問題.文獻[53]針對一類離散時間具有Markov過程的神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)，使用自由權(quán)矩陣方法，討論了系統(tǒng)隨機有限短時間穩(wěn)定和有限短時間有界問題.文獻[54]則考慮了更一般的轉(zhuǎn)移概率部分未知的情況，針對離散的Markov跳變系統(tǒng)，給出與轉(zhuǎn)移概率邊界信息有關的線性矩陣不等式，保證在該條件下系統(tǒng)狀態(tài)在有限短時間間隔內(nèi)不超出給定閾值.

上述研究工作均是在系統(tǒng)狀態(tài)已知條件下進行的，但實際工程中，系統(tǒng)狀態(tài)存在不可直接測得的情況，因此當Markov跳變系統(tǒng)的狀態(tài)不可測時，基于觀測器或估計器的控制器設計也受到關注.文獻[55]針對一類具有時變時滯的連續(xù)時間線性Markov跳變系統(tǒng)，給出基于觀測值新的有限短時間穩(wěn)定的定義，設計狀態(tài)反饋控制器使系統(tǒng)狀態(tài)值在有限短時間內(nèi)不超過給定值.對于離散時間線性Markov跳變系統(tǒng)，文獻[56]考慮轉(zhuǎn)移概率分段時變的情況，利用平均駐留時間設計切換信號，設計估計器對系統(tǒng)狀態(tài)進行估計， 并設計H∞控制器使系統(tǒng)有限短時間有界且滿足性能指標.文獻[57]對具有不可靠通訊的離散時間線性Markov跳變系統(tǒng)進行研究，同時考慮分組丟包、時滯和傳感器非線性，使用Lyapunov-Krasovskii方法，在有限短時間約束下，設計非脆弱狀態(tài)估計器，使得增廣系統(tǒng)有限短時間穩(wěn)定.對于非線性Markov跳變系統(tǒng)，文獻[58]利用T-S模糊模型對系統(tǒng)中的非線性部分進行建模，基于Lyapunov-Krasovskii泛函，構(gòu)造基于觀測器的狀態(tài)反饋控制器，得到一個使Markov跳變系統(tǒng)有限短時間有界的充分條件，并使其在有限短時間內(nèi)滿足H∞性能指標.

3 展 望

從以上的研究現(xiàn)狀可以看到，雖然Markov跳變系統(tǒng)有限短時間控制問題的研究已經(jīng)取得很多成果，但是仍有不少問題值得探索.下面從Markov跳變系統(tǒng)模型及有限短時間控制方法兩個角度，討論未來可能的研究課題：

(1) 更復雜的Markov跳變系統(tǒng)模型

文獻中一般討論的是擁有固定轉(zhuǎn)移概率的Markov跳變系統(tǒng)，而使用這種Markov跳變系統(tǒng)是難以準確描述復雜系統(tǒng)的.更復雜的Markov跳變系統(tǒng)模型有：2維Markov跳變系統(tǒng)[59]、半Markov跳變系統(tǒng)[60]、隱Markov跳變系統(tǒng)[61]、時變Markov跳變系統(tǒng)[62]，這些模型的有限短時間控制問題目前研究不多，將是后續(xù)值得研究的課題.

(2) 更多的有限短時間控制方法

針對Markov跳變系統(tǒng)的有限短時間控制問題，文獻中廣泛使用的均是基于線性反饋控制策略的有限短時間控制方法[63].最近幾年，已有文獻開始關注一些其他更加有效的有限短時間魯棒控制方法，如文獻[64]給出了基于滑?？刂撇呗韵碌囊话惴蔷€性系統(tǒng)有限短時間鎮(zhèn)定方法，文獻[65]基于非Lyapunov方法分析了中立型神經(jīng)網(wǎng)絡的有限短時間穩(wěn)定性.但是，如何將這些新的智能控制方法推廣到Markov跳變系統(tǒng)有限短時間控制領域仍有待進一步的探索.

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