邵旭馗，王素萍

(隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 慶陽(yáng) 745000)

記Sn-1為Rn(n≥2)中的單位球面，其上裝備了Lebesgue 測(cè)度dσ=dσ(z′).設(shè)定義在Rn×Rn上的函數(shù)Ω(x,z)∈L∞(Rn)×Lr(Sn-1)(r≥1), 滿足

(1)

其中

?z∈Rn{0}.

設(shè)Ω滿足條件

Ω(x,λz)=Ω(x,z),?x,z∈Rn,?λ>0,

(2)

稱函數(shù)f(x)∈Lipν(Rn)，如果滿足

(3)

定義Marcinkiewicz積分μΩ如下

(4)

Stein[1]首次定義了Marcinkiewicz積分μΩ，得到當(dāng)Ω∈Lip(Rn)時(shí)μΩ的(p,p)有界性;Torchinsky等[2]又證明了μΩ與函數(shù)b∈BMO(Rn)的交換子μΩ,b加權(quán)有界性.其中

(5)

王婭昕[3]研究了b∈Lipβ(Rn)時(shí)交換子μΩ,b的有界性;Mo等[4]進(jìn)一步考慮了多線性的情形.

(6)

先給出一些定義與記號(hào)：設(shè)k∈Z, 令Bk=B(0,2k)={x∈Rn:|x|≤2k},Ck=BkBk-1，并記χk=χCk為集Ck的特征函數(shù).

(7)

其中

(8)

(9)

其中：S′(Rn)表示Rn上的緩增廣義函數(shù)空間，G(f)是f的Grand極大函數(shù).

定義4[15]設(shè)α∈R,1

suppα?B(0,r)={x∈Rn:|x|≤r}，

定理1設(shè)Ω(x,y)∈L∞(Rn)×Lipν(Sn-1)滿足(2)式，α∈R,b∈Lipβ(Rn)，其中

1 定理的證明

并且有

其中：上式中下確界是在f的所有分解上取得.

引理2設(shè)

如果Ω(x,y)∈L∞(Rn)×Lipν(Sn-1)，b∈Lipβ(Rn)，有

引理2的證明參見(jiàn)文[3].

引理3設(shè)b∈Lipβ(Rn),0≤β<1,有

其中

證明

≤

當(dāng)0

當(dāng)p>1時(shí),由α∈R,有

因此

以下估計(jì)I1,因?yàn)?/p>

所以，有

由x∈Ck,有

由于x∈Ck，y∈Bj,且j≤k-3,故|x-y|～|x|～|x|+2j+1.由H?lder不等式、Minkowski不等式及αj的性質(zhì),有

對(duì)x∈Ck，y∈Bj,且j≤k-3,Ω(x,y)∈L∞(Rn)×Lipν(Sn-1),0<ν≤1,有

可得

對(duì)于E2,由于x∈Ck，y∈Bj,且j≤k-3,又因?yàn)棣?x,y)∈L∞(Rn)×Lipν(Sn-1),應(yīng)用Minkowski不等式可得

其中

因此對(duì)任意的x∈Ck,有

對(duì)任意的λ>0，設(shè)K0是滿足下列條件的最大正整數(shù),有

故對(duì)任意的k>K0,有

因此,有

綜合E1,E2的估計(jì),可得

故可得

至此,定理1證畢.

參考文獻(xiàn)：

[1] STEIN E M. On the functions of littlewood-paley[J]. Trans Amer Soc, 1958, 88: 430-466.

[2] TORCHINSKY A, WANG S. A note on the Marcinkiewicz integral[J]. Colloquium Math, 1990, 60/61: 235-243.

[3] 王婭昕. 關(guān)于Marcinkiewicz積分交換子的一點(diǎn)注記[J]. 浙江大學(xué)學(xué)報(bào) (理學(xué)版), 2003, 30 (6): 606-608.

[4] MO H X, LU S Z. Boundedness of generalized higher commutators of Marcinkiewicz integrals[[J]. Acta Math Scientia, 2007, 27B (4): 852-866.

[5] 邵旭馗, 陶雙平. 帶變量核的Marcinkiewicz積分交換子的加權(quán)Lipschitz估計(jì)[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)， 2012, 37 (2): 915-921.

[6] 邵旭馗， 王素萍. 帶變量核的分?jǐn)?shù)次積分交換子在加權(quán)Morrey-Herz空間的有界性[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 37 (3): 497-506.

[7] XUE Q Y, YABUTAK A.L2-Boundedness of Marcinkiewicz integrals along surfaces with variable kernels[J]. Journal of Inequalities and Applications, 2007: 1-14.

[8] 王素萍， 邵旭馗. 變量核Marcinkiewicz積分交換子在齊次Morrey-Herz空間中的有界性[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)， 2013, 33 (12): 1498-1506.

[9] 邵旭馗, 王素萍. 帶變量核的分?jǐn)?shù)次積分算子在加權(quán)Morrey空間上的有界性[J]. 安徽大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版)， 2015, 39 (1): 21-24.

[10] 王素萍, 岳曉紅, 邵旭馗. 變量核多線性分?jǐn)?shù)次極大算子的一致有界性[J]. 安徽大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版), 2013, 37 (4): 28-31.

[11] 陳冬香, 陸善鎮(zhèn). 具有變量核的積分算子的交換子的估計(jì)[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào), 2010, 30 (4): 884-893.

[12] 邵旭馗, 陶雙平, 王素萍. 帶變量核的參數(shù)Marcinkiewicz積分在弱Hardy 空間上的有界性[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué), 2013, 42 (1): 11-17.

[13] 閆彥宗, 邵旭馗, 王素萍. 變量核的Marcinkiewicz高階交換子在Hardy空間的有界性[J]. 山東大學(xué)學(xué)報(bào) (理學(xué)版), 2013, 48 (2): 67-71.

[14] ZHANG P, LAN S H. Weak type estimates for commutators of the Marcinkiewicz integral on Herz-type spaces[J]. Adv in Math, 2007, 36 (1): 108-114.

[15] LU S Z, YANG D C. The weighted Herz-type Hardy spaces and its applications[J]. Science in China, 1995 (6): 662-673.