陳建恩, 施月奇, 劉 軍, 葛為民, 王肖鋒(天津理工大學(xué)， 天津市先進(jìn)機電系統(tǒng)設(shè)計與智能控制重點實驗室， 天津 300384)

點陣材料是一種模擬分子點陣構(gòu)型制造出的周期性超輕多孔材料,具有高比強度、高比剛度、耐沖擊等特點，并且具有高效散熱、隔熱，吸聲效果佳，吸收電磁波等功能。點陣材料具有良好的可設(shè)計性，根據(jù)不同應(yīng)用需求，可以對其細(xì)觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行多功能、多學(xué)科協(xié)同設(shè)計。點陣材料的研究，在航空航天、交通、海洋采油等高科技領(lǐng)域中有著重要的意義[1-2]。點陣材料被國際上公認(rèn)為最具發(fā)展前景的輕質(zhì)多孔材料[3]，可以在較大程度上對蜂窩、泡沫等傳統(tǒng)多孔材料進(jìn)行替代和補充。

點陣夾芯結(jié)構(gòu)在航空航天領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，如飛機機翼、航空器倉板、衛(wèi)星主體結(jié)構(gòu)等。飛行器在高速飛行中會在氣動載荷等作用下進(jìn)行受迫振動，衛(wèi)星在位姿調(diào)節(jié)時亦會發(fā)生自由振動，這些振動對飛行器存在不同程度的危害。工程結(jié)構(gòu)經(jīng)常因振動而產(chǎn)生疲勞裂紋，而且，振動會加速設(shè)備原有裂紋的發(fā)展直至設(shè)備失效甚至產(chǎn)生災(zāi)難性的后果。因此，研究含裂紋點陣夾芯結(jié)構(gòu)的振動特性和裂紋識別方法，有助于保障飛行器的安全運行，對于航空航天事業(yè)具有重要的意義。目前，對于傳統(tǒng)夾芯結(jié)構(gòu)的振動特性已有了深入研究，例如，Kant等[4]基于高階精化理論，研究了簡支邊界條件下復(fù)合材料夾芯板的固有頻率；Alijani等[5-6]通過基于Lagrange方程的多模態(tài)能量法，利用高階剪切變形理論得到了矩形層合夾芯板動力學(xué)方程，研究了自由邊界條件下夾芯板的非線性振動特性；Zhang等[7]考慮面內(nèi)雙曲應(yīng)力，分析了蜂窩板的屈曲崩潰；Jaouen等[8]提出了一種基于分層三角函數(shù)的簡化模型，并用于預(yù)測泡沫夾層板的低頻振動行為。對于點陣夾芯結(jié)構(gòu)振動特性的研究十分有限，鄭華勇等[9]研究了Kagome點陣夾芯板的抗沖擊性能；婁佳等[10]研究了復(fù)合材料四面體點陣夾芯梁的自由振動特性；Chen等[11]運用折線理論研究了點陣夾芯板的非線性振動特性。

目前，有關(guān)含裂紋結(jié)構(gòu)的研究多集中于對裂紋模型的建立與改進(jìn)，裂紋的載體大多為均質(zhì)梁、管道以及轉(zhuǎn)動軸，余志剛等[12]采用具有正交特性的勒讓德正交多項式作為梁橫向位移場的附加高階形函數(shù),建立了高效而精確的裂紋斜梁動力學(xué)辨識模型；胡家順等[13]根據(jù)線性斷裂力學(xué)理論，推導(dǎo)了非貫穿直裂紋管在軸力、剪力和彎矩聯(lián)合作用下的局部柔度方程，實例分析了裂紋位置、裂紋程度變化對裂紋管結(jié)構(gòu)自振頻率的影響；劉政等[14]基于中性軸法確定裂紋開合，數(shù)值計算了呼吸裂紋引起剛度時變的轉(zhuǎn)子過臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動，分析裂紋大小、方向角和重力對線性加速轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振動的影響，以及定功率加速瞬態(tài)過程中系統(tǒng)振動響應(yīng)及穩(wěn)定性。而針對含裂紋夾芯結(jié)構(gòu)振動特性分析的文章則十分稀少，因此，這一課題具有較大的研究空間。在含裂紋結(jié)構(gòu)的振動特性研究中，一些學(xué)者認(rèn)為裂紋在振動過程中為永久張開的線性模型，然而這些模型卻忽略了裂紋閉合的情況，不能體現(xiàn)含裂紋結(jié)構(gòu)振動的非線性特性。Ke等[15]研究了開裂紋參數(shù)對功能梯度梁的自由振動以及屈曲特性的影響。為了考慮閉合效應(yīng)所導(dǎo)致梁在裂紋所在位置的剛度變化，Kisa等[16]用雙線性剛度模型研究了懸臂裂紋梁的非線性特性。這種模型認(rèn)為裂紋只有完全打開和完全閉合兩種極端的狀態(tài)。然而，Rytter[17]的實驗結(jié)果顯示，裂紋從張開到閉合是一個連續(xù)變化的過程。Cheng等[18]引入了剛度隨時間變化的單自由度模型，研究了懸臂裂紋梁的受迫振動行為，其中梁的時變剛度是用一個簡單的周期函數(shù)來描述的。

等效單自由度模型廣泛應(yīng)用于含裂紋均質(zhì)梁的研究之中。本文首先由能量法獲得夾芯梁的單自由度模型，然后引入附加柔度公式，用隨時間連續(xù)變化的周期函數(shù)來描述呼吸裂紋，進(jìn)而推導(dǎo)單蒙皮裂紋點陣夾芯梁的動力學(xué)方程。計算當(dāng)裂紋完全張開時，梁的一階固有頻率并與有限元法獲得的一階固有頻率進(jìn)行對比，以驗證等效模型的正確性。通過裂紋夾芯梁的強迫振動響應(yīng)，分析裂紋參數(shù)對點陣夾芯梁振動特性的影響，獲得識別裂紋的有效特征。

1 理論計算

1.1 理論假設(shè)

圖1(a)為點陣夾芯梁芯層的一個單胞，其中rc表示桿件半徑，α表示桿件的傾角，l表示桿件長度。圖1(b)為一段點陣夾芯梁的示意圖，d表示上下板中面的距離，h表示梁的總厚度，hc表示芯層的厚度，hf表示蒙皮的厚度。將芯層等效為連續(xù)均勻的材料，其相對密度為

(1)

式中：ρ，ρc分別表示芯層母體材料密度和芯層等效密度；E為芯層材料的彈性模量。給出芯層的等效剪切模量為[19]

(2)

(a) 金字塔點陣芯層的晶胞單元

(b) 點陣夾芯梁示意圖

本文基于Allen的經(jīng)典夾芯梁理論做如下假設(shè)：

(1) 點陣夾芯梁在變形過程中厚度不變，即撓度與z軸無關(guān)；

(2) 只考慮蒙皮的彎曲變形，忽略蒙皮的剪切變形;

(3) 只考慮芯層的剪切變形，忽略其彎曲變形。

該假設(shè)被廣泛應(yīng)用于夾芯結(jié)構(gòu)的研究。由于第一階模態(tài)受裂紋影響較大[20]，故僅研究裂紋對夾芯梁第一階模態(tài)的影響。圖2(a)中，蒙皮裂紋位于上面板距離z軸L0的位置，裂紋深度為a，梁長度為L，梁寬為b。夾芯梁的等效模型如圖2(b)所示，其中μ和m分別表示系統(tǒng)的等效阻尼和等效質(zhì)量，在振動中，等效剛度隨裂紋位置和深度的變化而變化，且被描述成一個隨時間變化的周期函數(shù)k(t)。

1.2 裂紋梁的動力學(xué)方程

1.2.1 夾芯梁的單自由度模型

運用能量法可建立無裂紋點陣夾芯梁動力學(xué)方程。基于Allen假設(shè)，利用哈密頓原理獲得點陣夾芯梁轉(zhuǎn)角和橫向的動力學(xué)方程為

(a) 含裂紋簡支夾芯梁

(b) 等效單自由度模型

Cφx+Cw0,x=0

(3a)

(3b)

其中

(4)

設(shè)各方向上的解為

將式(5)代入式(3)，運用伽遼金法，并求得轉(zhuǎn)角與橫向位移的關(guān)系，可獲得點陣夾芯梁橫向振動的動力學(xué)方程

(6)

其中

S=2I10+I20，

點陣夾芯梁的受迫振動方程可寫為如下形式

(7)

其中m=S，kc=S1。

1.2.2 附加柔度公式

基于單自由度夾芯梁模型，把夾芯梁等效為均質(zhì)梁，運用局部柔度法，將附加柔度引入夾芯梁模型，從而得到含蒙皮裂紋夾芯梁的動力學(xué)模型。對于均質(zhì)梁，當(dāng)彎矩作用在裂紋梁上時，由于裂紋的存在，會使梁產(chǎn)生一個附加轉(zhuǎn)角。在裂紋位置處，附加轉(zhuǎn)角和彎矩是成比例的。設(shè)UT為由裂紋產(chǎn)生的應(yīng)變能，由卡氏定理得附加轉(zhuǎn)角

(8)

其中應(yīng)變能UT由Chondros等[21]給出

(9)

其中b為梁的寬度，JS為應(yīng)變能密度，故有：

(10)

其中E和ν分別為楊氏模量和泊松比。應(yīng)力強度因子K與彎矩有關(guān)，考慮平面應(yīng)變的情況，給出下式

(11)

其中彎曲應(yīng)力σb=6Mb/bh2，裂紋的深度與夾芯梁總厚度比ξ=a/h，F(xiàn)I(ξ)為裂紋深度比ξ的函數(shù)，給出如下

FI(ξ)=1.12-1.4ξ+7.33ξ2-13.1ξ3+14ξ4

(12)

將式(10)～式(12)代入式(9)得

(13)

其中

g(ξ)=19.6ξ10-40.755 6ξ9+47.106 3ξ8-33.035 1ξ7+20.294 8ξ6-9.973 6ξ5+4.594 8ξ4-

1.045 33ξ3+0.627 2ξ2

簡支裂紋梁因裂紋而產(chǎn)生的柔度變化可由Dimarogonas等[22]提出的公式得到

(14)

1.2.3 含裂紋夾芯梁動力學(xué)方程

將夾芯梁等效為均質(zhì)梁，由式(7)中夾芯梁的等效剛度知，裂紋完全閉合時夾芯梁的柔度為

C=1/kc

(15)

所以有，當(dāng)裂紋完全張開時，夾芯梁的柔度為

Co=1/ko=C+ΔC

(16)

由此式可以得到裂紋完全打開時夾芯梁的等效剛度ko。

因而當(dāng)裂紋完全張開和完全閉合時，對應(yīng)于夾芯梁的一階固有頻率分別為

(17)

在振動的過程中，隨著裂紋的開閉，裂紋梁的等效剛度將在kc與ko之間連續(xù)變化，因此可以用以下函數(shù)來描述單自由度系統(tǒng)剛度隨時間的變化[23-24]

k(t)=ko+kΔC[1+cos(ωt)]

(18)

其中，kΔC為等效剛度變化的幅度，由下式給出

(19)

式(18)中的ω為裂紋的呼吸頻率，當(dāng)裂紋完全閉合，即k(t)=kc時，有ωt=2nπ,n=1,2,…；當(dāng)裂紋完全打開即k(t)=ko時，有ωt=(2n-1)π,n=1,2,…。當(dāng)梁做自由振動時，呼吸頻率可近似為

(20)

考慮系統(tǒng)承受簡諧激勵F=fsin(ωt)，獲得簡諧激勵作用下簡支單自由度含蒙皮呼吸裂紋點陣夾芯梁的動力學(xué)方程為

(21)

2 數(shù)值驗證

本文將夾芯梁等效為均質(zhì)梁處理，將附加柔度公式引入無缺陷夾芯梁的動力學(xué)方程，從而得到含蒙皮開裂紋夾芯梁的等效剛度，然后用正弦函數(shù)表示裂紋的呼吸過程，進(jìn)而得到含呼吸裂紋點陣夾芯梁的動力學(xué)方程。因此，為了驗證等效模型的正確性，利用有限元仿真軟件獲得含開裂紋夾芯梁的第一階固有頻率，并與本文中利用開裂紋模型得到的第一階固有頻率進(jìn)行對比。

2.1 有限元仿真

運用UG軟件對含開裂紋點陣夾芯梁進(jìn)行實體建模，模型如圖3(a)所示。然后將模型導(dǎo)入ANSYS workbench中進(jìn)行有限元仿真，采用四面體網(wǎng)格劃分，使用patch conforming算法，單元尺寸控制在裂紋最小尺寸以下，網(wǎng)格劃分如圖3(b)所示。

2.2 固有頻率比較

夾芯梁的蒙皮和芯層的材料均采用鋁合金，材料參數(shù)及夾芯梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)為：材料密度ρ=2 770 kg/m3，彈性模量E=71 GPa，泊松比ν=0.33，芯層桿件半徑rc=1 mm，桿件傾斜角α=45°，芯層高度hc=14.14 mm，蒙皮厚度hf=1.5 mm，夾芯梁長度方向取25個單胞，寬度方向取2個單胞，單胞的底面邊長取28 mm。以當(dāng)裂紋位置比(β=L0/L)等于0.5時，裂紋深度比(ξ=a/hf)取0.2到0.8，以及當(dāng)裂紋深度比ξ等于0.6時，裂紋位置比β取0.1到0.5兩種情況為例，對比夾芯梁的固有頻率。利用式(17)可計算出點陣夾芯梁在裂紋完全張開時的第一階固有頻率。

(a) 含開裂紋金字塔型梁模型圖

(b) 含開裂紋金字塔型梁的網(wǎng)格劃分

圖4給出了用理論方法與有限元仿真獲得的含開裂紋金字塔型點陣夾芯梁第一階固有頻率的對比情況。如圖所示，含開裂紋點陣夾芯梁固有頻率的理論值與有限元仿真所得數(shù)值吻合較好，驗證了用本文方法推導(dǎo)含蒙皮裂紋夾芯梁動力學(xué)模型的正確性。

(a) 裂紋位置比為β=0.5

(b) 裂紋深度比為ξ=0.6

3 裂紋參數(shù)對夾芯梁固有頻率的影響

如圖5所示，將開裂紋夾芯梁、呼吸裂紋夾芯梁的固有頻率與無裂紋夾芯梁的固有頻率之比看作裂紋深度比(ξ=a/hf)和裂紋位置比(β=L0/L)的函數(shù)，可以分析蒙皮裂紋參數(shù)對夾芯梁固有頻率的影響。

(a) 當(dāng)裂紋位置比為β=0.5時，裂紋深度比對固有頻率的影響

(b) 當(dāng)裂紋深度比為ξ=0.8時，裂紋位置比對固有頻率的影響

圖5(a)表示當(dāng)裂紋位置比β=0.5時，隨著裂紋深度比的增加，含有開裂紋和呼吸裂紋夾芯梁固有頻率比的變化情況。如圖所示，隨著裂紋深度的增加，頻率比逐漸減小，且減小的速率越來越快。由圖還可看出，開裂紋夾芯梁的固有頻率比始終低于呼吸裂紋夾芯梁的固有頻率比，即開裂紋模型對結(jié)構(gòu)剛度的削弱程度比呼吸裂紋模型大。若夾芯梁的裂紋在實際振動過程中表現(xiàn)出呼吸行為，使用開裂紋模型則會過高估計夾芯梁的損傷程度。圖5(b)表示當(dāng)裂紋深度比ξ=0.8時，隨著裂紋位置比的增加，含有開裂紋和呼吸裂紋夾芯梁固有頻率比的變化情況。由圖看出，對于兩端簡支的夾芯梁，隨著裂紋位置由兩端向中間變化，開裂紋模型和呼吸裂紋模型的固有頻率比變化情況與圖5(a)基本一致。由此可知，裂紋越靠近中間位置，夾芯梁的結(jié)構(gòu)剛度越小。

4 裂紋參數(shù)對夾芯梁振動響應(yīng)的影響

為了得到無量綱的動力學(xué)方程，引入下列無量綱參數(shù)

(22)

將式(21)無量綱化后可得

(23)

(a) 當(dāng)裂紋位置比為β=0.5時，裂紋深度比的影響

(b) 當(dāng)裂紋深度比為ξ=0.8時，裂紋位置比的影響

圖6(a)表示當(dāng)裂紋位置比β=0.5時，隨著裂紋深度比的增加，夾芯梁在激振力作用下的頻率響應(yīng)曲線。圖中，橫坐標(biāo)表示激勵頻率，縱坐標(biāo)表示第一階模態(tài)的響應(yīng)幅值。如圖所示，隨著裂紋深度的增加，夾芯梁主共振頻率逐漸減小，主共振峰值略微增大。圖6(b)表示當(dāng)裂紋深度比ξ=0.8時，隨著裂紋位置比的增加，夾芯梁在激振力作用下的幅頻響應(yīng)曲線。如圖所示，隨著裂紋位置比的增加，夾芯梁主共振頻率逐漸減小，主共振峰值略微增大。在兩圖中，均出現(xiàn)超諧共振，且超諧共振隨著裂紋加深或位置趨于梁中間位置時更加明顯。由圖6可知，裂紋深度和裂紋位置對兩端簡支夾芯梁的幅頻響應(yīng)的影響主要體現(xiàn)在超諧共振和主共振頻率處，為了進(jìn)一步了解簡諧激勵作用下含蒙皮裂紋夾芯梁的振動情況，下面將分析當(dāng)激勵頻率分別為超諧共振頻率和主共振頻率時，夾芯梁在不同裂紋參數(shù)下的波形圖和相圖。由圖6可看出，隨著裂紋深度比或位置比的增加，主共振峰處的曲線有相交的部分，因此超諧共振頻率取為ω=2.1，而主共振頻率分別取為ω=4.0,4.2。

(a) 激振頻率為ω=4.0

(b) 激振頻率為ω=4.2

(c) 激振頻率為ω=4.0

(d) 激振頻率為ω=4.2

(a) 激振頻率為ω=4.0

(b) 激振頻率為ω=4.2

(c) 激振頻率為ω=4.0

(d) 激振頻率為ω=4.2

圖7和圖8分別表示主共振發(fā)生時，夾芯梁在不同裂紋深度和不同裂紋位置下的波形圖和相圖。由圖7(a)和(c)中的波形圖和相圖可知，隨著裂紋深度的增加，夾芯梁的振幅有較明顯的增加。值得注意的是，當(dāng)激勵頻率ω=4.2，裂紋深度比為ξ=0.8時夾芯梁的振幅要小于裂紋深度比為ξ=0.4時夾芯梁的振幅，如圖7(b)和(d)所示，這是由于裂紋深度不同使得主共振頻率發(fā)生變化的結(jié)果。由上述結(jié)果可知，激勵頻率選取的微小差別，會對裂紋參數(shù)的識別產(chǎn)生較大影響。因此，不宜用其進(jìn)行裂紋參數(shù)的識別。圖8中，夾芯梁隨著裂紋位置比增加而表現(xiàn)出的波形圖和相圖與圖7中的情況類似。且有，單蒙皮裂紋夾芯梁在不同裂紋參數(shù)下的主共振均為單倍周期振動，振動的波形變化較小，相圖曲線呈較規(guī)則的環(huán)形。

圖9和圖10分別表示發(fā)生超諧共振時，夾芯梁在不同裂紋深度和不同裂紋位置下的波形圖和相圖。如圖9(a)所示，隨著裂紋深度增加，夾芯梁波形的負(fù)向波峰變大，而正向波峰減小。圖9(b)中，隨著裂紋深度的增加，相圖曲線變化較大，位移正向的圖形變尖，值變小。與圖7中的相圖相比，該相圖隨裂紋深度的變化更為明顯，即超諧共振的相圖對裂紋深度的變化更為敏感，可以利用其相圖的幾何特征進(jìn)行裂紋識別。圖10為夾芯梁在不同裂紋位置下的波形圖和相圖，其表現(xiàn)出的特點與圖9中的情況類似，在此不再贅述。

5 結(jié) 論

本文在研究含蒙皮裂紋金字塔型點陣夾芯梁振動特性的基礎(chǔ)上，利用超諧共振響應(yīng)的相圖幾何特征進(jìn)行裂紋識別。將單自由度夾芯梁等效為均質(zhì)梁，引入附加柔度公式，獲得含開裂紋夾芯梁的動力學(xué)方程。

(a)

(b)

Fig.9 The displacement responses and phase portraits of a cracked sandwich beam against the crack depth ratio when the crack location ratio isβ=0.5 and the excited frequency isω=2.1

(a)

(b)

Fig.10 The displacement responses and phase portraits of a cracked sandwich beam against the crack location ratio when the crack depth ratio isξ=0.8 and the excited frequency isω=2.1

對于含開裂紋夾芯梁的固有頻率，理論計算結(jié)果和有限元仿真結(jié)果吻合較好，驗證了動力學(xué)模型的正確性。進(jìn)而，獲得了含呼吸裂紋夾芯梁的動力學(xué)方程，分析了呼吸裂紋夾芯梁固有頻率隨裂紋參數(shù)的變化情況。研究結(jié)果顯示，對于兩端簡支、含單個蒙皮裂紋的夾芯梁，隨著裂紋深度的增加，或裂紋位置由一端向中心移動，梁的固有頻率逐漸減小，且減小的速率逐漸加快。在簡諧激勵作用下，隨著裂紋參數(shù)的變化，夾芯梁發(fā)生超諧共振且峰值逐漸增大。此外，由不同裂紋參數(shù)下夾芯梁強迫振動的波形圖和相圖可知，當(dāng)超諧共振發(fā)生時，由于相圖對于裂紋參數(shù)的變化較為敏感，故可以利用相圖的幾何特征進(jìn)行裂紋參數(shù)識別。

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