向 玲， 高 楠， 唐 亮， 郭鵬飛(華北電力大學(xué) 機(jī)械工程系, 河北 保定 071003)

風(fēng)能作為一種資源豐富、分布廣、無(wú)污染的綠色可再生資源，越來(lái)越受到世界各地的重視。風(fēng)力發(fā)電機(jī)齒輪箱是風(fēng)機(jī)的重要組成部分，但由于外部惡劣的工作環(huán)境，加上風(fēng)力發(fā)電機(jī)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)本身傳動(dòng)比大、扭矩高等特點(diǎn)，導(dǎo)致風(fēng)機(jī)齒輪箱頻繁出現(xiàn)故障問(wèn)題，降低了風(fēng)力發(fā)電的效率。因此，風(fēng)電齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究，對(duì)降低齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)故障有重要意義。常見(jiàn)的兆瓦級(jí)風(fēng)力機(jī)齒輪箱是由行星齒輪傳動(dòng)和直齒輪傳動(dòng)組成的，行星齒輪傳動(dòng)具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)效率高、運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)和抗沖擊能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，但行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)含有內(nèi)外同時(shí)嚙合的齒輪，在內(nèi)外激勵(lì)下存在復(fù)雜的非線性因素，所以其非線性振動(dòng)問(wèn)題一直是研究的重點(diǎn)。卜忠紅等[1]從模型、固有特性和動(dòng)態(tài)相應(yīng)計(jì)算等多個(gè)方面綜述了近年來(lái)行星齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)的研究進(jìn)展；邱星輝等[2]也對(duì)風(fēng)力機(jī)組行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究進(jìn)行了綜述；Kahrarman[3]建立了行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的線性純扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型，求解獲得該系統(tǒng)的固有特性和振動(dòng)響應(yīng)；孫智民等[4]建立了2K-H行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，研究了系統(tǒng)在不同參數(shù)條件下的簡(jiǎn)諧、非簡(jiǎn)諧單周期、次諧波、準(zhǔn)周期和混沌穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫響應(yīng)，結(jié)果表明齒側(cè)間隙參數(shù)影響系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為；張慧博等[5]研究了考慮多間隙耦合關(guān)系影響的齒輪副系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性；孫濤等[6-7]采用諧波平衡法對(duì)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的彎扭耦合非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了研究；李晟等[8]分析了激勵(lì)頻率和嚙合阻尼比對(duì)兩級(jí)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)分岔與混沌特性的影響；李同杰等[9]建立了考慮時(shí)變嚙合剛度、綜合嚙合誤差和齒側(cè)間隙非線性因素下的行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型，分析了轉(zhuǎn)速、齒側(cè)間隙和阻尼比對(duì)該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響；Zhao等[10]研究了靜態(tài)傳遞誤差、平均交變力比和時(shí)變嚙合剛度變化對(duì)風(fēng)電齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響；Wang等[11]以風(fēng)電齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)非線性動(dòng)力學(xué)模型為研究對(duì)象，對(duì)比并分析了不同阻尼比對(duì)該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。眾多學(xué)者對(duì)風(fēng)電齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究，本論文在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究風(fēng)電齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的分岔及混沌特性。

以1.5 MW雙饋式風(fēng)力發(fā)電機(jī)組的齒輪箱為研究對(duì)象，建立此齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，分析在內(nèi)外激勵(lì)變化下系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性。以時(shí)間歷程圖、相圖、Poincaré截面圖、FFT頻譜圖、全局分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)圖作為分析手段，詳細(xì)說(shuō)明系統(tǒng)隨著激勵(lì)頻率和綜合嚙合誤差變化下的動(dòng)力學(xué)特性。結(jié)果為風(fēng)電齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、減振和降噪提供理論參考。

1 非線性動(dòng)力學(xué)模型

風(fēng)電齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示，它是由一級(jí)行星齒輪傳動(dòng)加兩級(jí)平行軸齒輪傳動(dòng)組成，所有齒輪為直齒輪。行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)有太陽(yáng)輪s，行星架c，行星輪pi(i=1,2,…,N)，內(nèi)齒圈r；g1、g2為低速級(jí)齒輪；g3、g4為高速級(jí)齒輪，整體采用集中參數(shù)模型對(duì)系統(tǒng)建模。在行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中內(nèi)齒圈固定，行星架c作為輸入端，輸入扭矩為T(mén)in；高速級(jí)g4為輸出端，輸出扭矩為T(mén)out。θm(m=c,s,pi,g1,g2,g3,g4)為行星架(各齒輪)的扭轉(zhuǎn)角度；kj、cj、ej(j=spi,rpi,g1g2,g3g4)分別表示為各齒輪副間的時(shí)變嚙合剛度、嚙合阻尼及綜合嚙合誤差。假設(shè)系統(tǒng)全部構(gòu)件為剛體，不考慮各軸系扭轉(zhuǎn)剛度和齒面摩擦。

在行星齒輪傳動(dòng)中，行星輪同時(shí)與太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈嚙合傳動(dòng)，故各齒輪副嚙合頻率相同。在風(fēng)電齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，視內(nèi)齒圈固定，可根據(jù)行星齒輪傳動(dòng)副傳動(dòng)關(guān)系推導(dǎo)嚙合頻率ωspi(i=1,2,…,N)可表示為

ωspi=ωrpi=ωczr

(1)

式中:ωc為行星架轉(zhuǎn)速;zr為內(nèi)齒圈齒數(shù)。

圖1 系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型

在整個(gè)系統(tǒng)中，行星齒輪級(jí)、低速級(jí)齒輪系和高速級(jí)齒輪系的齒輪副間具有不同的嚙合頻率，根據(jù)傳動(dòng)比關(guān)系，平行軸齒輪副的嚙合頻率是ωg1g2=Λ1ωspi、ωg3g4=Λ1Λ2ωspi，式中Λ1=5，Λ2=3.9分別為行星齒輪傳動(dòng)系和低速級(jí)齒輪系的傳動(dòng)比。

由于直齒輪嚙合副剛度的特點(diǎn)，可采用周期矩形波表示嚙合剛度[12]，其表達(dá)式可利用以嚙合頻率為基頻的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)表示，取一次諧波項(xiàng)即

多增氧：溶氧決定產(chǎn)量，多開(kāi)增氧機(jī)增氧，曝氣、調(diào)水的效果好。使用羅茨風(fēng)機(jī)加納米管或納米盤(pán)增氧，功率可達(dá)10瓦/立方水體，產(chǎn)量也可達(dá)10斤/立方水體。

kj=kmj+kajsin(ωjt+φj)

(2)

式中:kmj,kaj分別為各嚙合副的平均嚙合剛度和剛度變化幅值;φj為各嚙合副嚙合剛度變化幅值的初相位;ωj為各嚙合副的嚙合頻率。

1.1 綜合嚙合誤差

各齒輪系的綜合嚙合誤差包括齒輪副靜態(tài)傳遞誤差和各齒輪的偏心誤差等，可表示為按嚙合頻率變化的正弦函數(shù)形式[13]

ej=Ejsin(ωjt+φej)

(3)

式中:Ej為各齒輪副綜合嚙合誤差幅值；φej為各齒輪副綜合誤差初相位。

1.2 齒側(cè)間隙函數(shù)

齒輪副間隙非線性函數(shù)[14]可表示為

(4)

式中:2b為齒側(cè)間隙;xj為各齒輪副在嚙合線上的相對(duì)位移。

2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)拉格朗日方程建立系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)方程，但由于該方程為半正定、變參數(shù)微分方程，在計(jì)算中存在剛體位移無(wú)法直接求解。為了能夠順利求解，引入相對(duì)坐標(biāo)消除剛體位移xj，公式表示為

xg1g2=rg1θg1+rg2θg2-eg1g2(t),

xg3g4=rg3θg3+rg4θg4-eg3g4(t),

xrpi=rpiθpi-rcθccosα-erpi(t) (i=1,2,…,N)

(5)

(6)

量綱一綜合嚙合誤差為

(7)

式中：Ωj=ωj/ωn，為激勵(lì)頻率。

量綱一齒側(cè)間隙函數(shù)為

(8)

在本文計(jì)算中，視太陽(yáng)輪與低速級(jí)齒輪g1的轉(zhuǎn)速相同，低速級(jí)齒輪g2與高速級(jí)齒輪g3的轉(zhuǎn)速相同，即扭轉(zhuǎn)角相等θs=θg1，θg2=θg3。

根據(jù)以上各式，可以得到本文研究系統(tǒng)的相對(duì)位移坐標(biāo)下的量綱一化動(dòng)力學(xué)方程表達(dá)式

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：

i=1,2,…,N

本文視風(fēng)電機(jī)組額定功率為系統(tǒng)的傳遞功率，其表達(dá)式為

(13)

式中：ρa(bǔ)ir為空氣密度;rblade為葉片半徑;νwind為平均風(fēng)速;Cp為風(fēng)能利用系數(shù)。系統(tǒng)的輸入扭矩和輸出扭矩可表示為

(14)

式中:Λ為風(fēng)電齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)總傳動(dòng)比。

3 系統(tǒng)求解及分析

本文利用4-5階變步長(zhǎng)Runge-Kutta法對(duì)系統(tǒng)量綱一振動(dòng)方程進(jìn)行求解。為了消除系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，計(jì)算所得數(shù)值結(jié)果略去前1 500個(gè)周期，然后以全局分岔圖、最大Lypapunov指數(shù)圖(以下稱LLE)、時(shí)間歷程圖、FFT頻譜圖、相圖及Poincaré截面圖作為分析手段，研究說(shuō)明系統(tǒng)隨參數(shù)變化的分岔及混沌特性。取風(fēng)電齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)基本參數(shù)Pin=1.5 MW，Λ=101，ξ=0.03，α=20°，N=3，ωblade=17 r/min，各齒輪基本參數(shù)如表1所示。

3.1 系統(tǒng)隨激勵(lì)頻率Ω的動(dòng)力學(xué)特性

取系統(tǒng)各齒輪副的綜合嚙合誤差幅值Ej=150 μm，半齒側(cè)間隙bc=300 μm，計(jì)算激勵(lì)頻率Ω在0.001～2之間的系統(tǒng)分岔圖和LLE圖，分別如圖2和圖3所示，由于xrpi的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和xspi類似，故以下僅分析xspi。由兩幅圖可清晰看出系統(tǒng)具有豐富的分岔及混沌特性，且隨著激勵(lì)頻率的增加，系統(tǒng)在周期、擬周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)之間相互切換。激勵(lì)頻率Ω在0.001～0.559變化期間，由分岔圖可知系統(tǒng)處于幅值較小的混沌運(yùn)動(dòng)，期間也會(huì)陣發(fā)性地出現(xiàn)單周期運(yùn)動(dòng)、2周期運(yùn)動(dòng)和擬周期運(yùn)動(dòng)。進(jìn)入混沌道路的途徑主要是激變。配合此期間的LLE圖可知，LLE在正負(fù)間切換即系統(tǒng)在混沌與穩(wěn)態(tài)相互切換；激勵(lì)頻率Ω在0.559～0.771變化期間，系統(tǒng)經(jīng)倍分岔進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，該范圍內(nèi)系統(tǒng)存在單周期運(yùn)動(dòng)、3周期運(yùn)動(dòng)和12周期運(yùn)動(dòng)，期間存在陣發(fā)性混沌，在LLE圖存在LLE正負(fù)間切換的波動(dòng)現(xiàn)象可知系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)與混沌之間相互切換；激勵(lì)頻率Ω在0.771～0.891變化期間，系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)，且混沌位移增大，LLE為正；當(dāng)激勵(lì)頻率Ω=0.891時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)切分岔由混沌響應(yīng)進(jìn)入擬4周期運(yùn)動(dòng)，LLE為-0.001 94，隨后在Ω=0.923，系統(tǒng)重新進(jìn)入混沌；激勵(lì)頻率Ω在0.923～1.081期間，系統(tǒng)仍然處于混沌運(yùn)動(dòng)；激勵(lì)頻率Ω在1.081～1.161期間，系統(tǒng)從混沌倒分岔至2周期運(yùn)動(dòng)，繼而“鎖相”長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)，最終進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，由LLE圖可知，LLE在0附近波動(dòng)，然后激變?yōu)檎?，說(shuō)明系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)與混沌的臨界狀態(tài)波動(dòng)最終演變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)；激勵(lì)頻率Ω在1.161～1.641期間系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)為混沌-擬2周期運(yùn)動(dòng)，配合LLE圖可知激勵(lì)頻率變化下，LLE由正值隨后逐漸回歸負(fù)值；當(dāng)激勵(lì)頻率Ω=1.651時(shí)，系統(tǒng)重新進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)在此時(shí)的LLE突變至0.120 7，之后雖然LLE指數(shù)存在回落，但是其賦值為正，說(shuō)明系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)。

表1 系統(tǒng)基本參數(shù)

圖4～6分別為不同激勵(lì)頻率下系統(tǒng)的FFT頻譜圖、時(shí)間歷程圖、相圖和Poincaré截面圖。從圖4可以看出，當(dāng)激勵(lì)頻率Ω=1.101時(shí)系統(tǒng)是2周期運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的Poincaré截面為兩個(gè)點(diǎn)，其頻譜圖為兩個(gè)尖峰，即除了其基頻外還出現(xiàn)了分頻Ω/2和倍頻nΩ/2(n為整數(shù))；而從圖5可以看出，激勵(lì)頻率Ω=1.141時(shí)系統(tǒng)處于擬2周期運(yùn)動(dòng)，其Poincaré截面為兩個(gè)環(huán)面，F(xiàn)FT頻譜圖的基頻和分頻出現(xiàn)了微小的次諧和超諧成分；在此之后，系統(tǒng)的Poincaré截面圖會(huì)出現(xiàn)環(huán)面破裂形成奇怪吸引子即進(jìn)入了混沌運(yùn)動(dòng)，但隨著激勵(lì)頻率的增加，系統(tǒng)從混沌回歸至擬2周期運(yùn)動(dòng)。最后系統(tǒng)重新進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，圖6所示為Ω=1.745時(shí)，系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)，其Poincaré截面出現(xiàn)一個(gè)奇怪吸引子且在FFT譜圖出現(xiàn)連續(xù)頻帶。

圖2 激勵(lì)頻率Ω變化下的分岔圖

圖3 激勵(lì)頻率Ω變化下的最大Lypapunov指數(shù)圖

在風(fēng)電齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，由于風(fēng)速的隨機(jī)性，導(dǎo)致隨機(jī)輸入的存在，同時(shí)會(huì)引起激勵(lì)頻率的變化，使系統(tǒng)進(jìn)入混沌?；煦邕\(yùn)動(dòng)是系統(tǒng)不斷地由某種軌道突跳到另一個(gè)軌道上去的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，表示了系統(tǒng)不可預(yù)測(cè)的行為和軌道的永不重復(fù)性，使系統(tǒng)受到影響，常會(huì)導(dǎo)致疲勞、產(chǎn)生噪聲甚至發(fā)生故障，進(jìn)而影響機(jī)器壽命。在設(shè)計(jì)中，應(yīng)避開(kāi)混沌狀態(tài)的范圍，采取安全、符合要求的作業(yè)范圍。通過(guò)全局分岔圖、時(shí)間歷程圖、FFT頻譜圖、相圖及Poincaré截面圖可以定性對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，利用全局或單點(diǎn)最大Lyapunov指數(shù)圖可以定量的對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，從而可以更為精確的確定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，保證機(jī)器的正常運(yùn)行。

圖7 綜合嚙合誤差變化下的分岔圖

圖8 綜合嚙合誤差變化下的最大Lypapunov指數(shù)圖

輪齒之間的設(shè)計(jì)誤差和齒輪的偏心誤差等其他的誤差綜合來(lái)說(shuō)對(duì)于系統(tǒng)的作業(yè)狀態(tài)具有很大的影響。在設(shè)計(jì)時(shí)要盡可能提高零件精度，在制造安裝方面盡量減少誤差，這對(duì)提高整個(gè)系統(tǒng)的可靠性及穩(wěn)定性具有明顯的作用，同時(shí)也可達(dá)到降低噪聲和減小振動(dòng)的目的。

圖11 激勵(lì)頻率Ω變化下的分岔圖

圖12 激勵(lì)頻率Ω變化下的分岔圖

4 結(jié) 論

(1) 本文建立了風(fēng)電齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)非線性動(dòng)力學(xué)模型，以風(fēng)力發(fā)電機(jī)額定功率1.5 MW為傳遞功率，采用4-5階變步長(zhǎng)Runge-Kutta法進(jìn)行求解得到系統(tǒng)非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)結(jié)果。

(2) 利用多種工具對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行分析，在時(shí)變嚙合剛度、綜合嚙合誤差和齒側(cè)間隙強(qiáng)非線性因素的作用下，系統(tǒng)在激勵(lì)頻率的變化下表現(xiàn)出豐富的分岔特性及混沌現(xiàn)象，如周期運(yùn)動(dòng)、擬周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)的途徑以倍分岔或激變途徑為主。

(3) 綜合嚙合誤差對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分岔特性的影響顯著。隨著綜合嚙合誤差的增加，系統(tǒng)由周期響應(yīng)進(jìn)入混沌響應(yīng)最后進(jìn)入擬周期響應(yīng)；取不同的綜合嚙合誤差進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明綜合嚙合誤差的減小能夠減少混沌現(xiàn)象并減弱系統(tǒng)的混沌的區(qū)域，使系統(tǒng)更傾向于穩(wěn)態(tài)。因此，在設(shè)計(jì)中，盡量減小整個(gè)系統(tǒng)誤差以提高設(shè)備的可靠性和壽命。

[1] 卜忠紅, 劉更, 吳立言. 行星齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)研究進(jìn)展[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2010, 29(9)：161-166.

BU Zhonghong, LIU Geng, WU Liyan. Research advances in planetary gear trains dynamics[J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(9)：161-166.

[2] 邱星輝, 韓勤鍇, 褚福磊. 風(fēng)力機(jī)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究綜述[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào),2014, 50(11)：23-36.

QIU Xinghui, HAN Qinkai, CHU Fulei. Review on dynamic analysis of wind turbine geared transmission system[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2014, 50(11)：23-36.

[3] KAHRARMAN A. Free torsional vibration characteristics of compound planetary gear sets[J]. Mech Mach Theory, 2001, 36：953-971.

[4] 孫智民, 季林紅, 沈允文. 2K-H行星齒輪傳動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)[J]. 清華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2003, 43(5)：636-639.

SUN Zhimin, JI Linhong, SHEN Yunwen. Nonlinear dynamics of 2K-H planetary gear train[J]. J Tsinghua Univ(Sci&Tech), 2003, 43(5)：636-639.

[5] 張慧博, 王然, 陳子坤,等. 考慮多間隙耦合關(guān)系的齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)分析[J].振動(dòng)與沖擊, 2015,34(8):144-150.

ZHANG Huibo, WANG Ran, CHEN Zikun, et al. Nonlinear dynamic analysis of a gear-rotor system with coupled multi-clearance[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(8):144-150.

[6] 孫濤, 沈允文, 孫智民，等. 行星齒輪傳動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)模型方程[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2002, 38(3)：6-10.

SUN Tao, SHEN Yunwen, SUN Zhimin， et al. Study on nonlinear dynamic behavior of planetary gear train dynamic model and governing equations[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2002, 38(3)：6-10.

[7] 孫濤, 胡海巖. 基于離散傅里葉變換與諧波平衡法的行星齒輪非線性動(dòng)力學(xué)分析[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2002, 38(11)：58-61.

SUN Tao, HU Haiyan. Nonlinear dynamics of planetary gear transmission by harmonic balance method based on DFT[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2002, 38(11)：58-61.

[8] 李晟, 吳慶鳴, 張志強(qiáng)，等. 兩級(jí)行星齒輪系分岔與混沌特性研究[J]. 中國(guó)機(jī)械工程, 2014, 25(7)：931-937.

LI Sheng, WU Qingming, ZHANG Zhiqiang， et al. Bifurcation and chaos characteristics of two-stage planetary gear train sets[J]. China Mechanical Engineering, 2014, 25(7)：931-937.

[9] 李同杰, 朱如鵬, 鮑和云，等. 行星齒輪系扭轉(zhuǎn)非線性振動(dòng)建模與運(yùn)動(dòng)分岔特性研究[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2011, 47(21)：76-83.

LI Tongjie, ZHU Rupeng, BAO Heyun， et al. Nonlinear torsional vibration modeling and bifurcation characteristic study of a planetary gear train[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2011, 47(21)：76-83.

[10] ZHAO M M, JI J C. Nonlinear torsional vibrations of a wind turbine gearbox[J]. Applied Mathematical Modelling, 2015, 39：4928-4950.

[11] WANG Xiaosun, WU Shijing. Nonlinear dynamic modeling and numerical simulation of the wind turbine’s gear train[C]∥International Conference on Electrical and Control Engineering. Yichang, China: ICECE, 2011.

[12] LIN J, PARKER R G. Planetary gear parametric instability caused by mesh variation[J]. Journal of Soundand Vibration, 2002(1)： 129-145.

[13] PARKER R G. A physical explanation for the effectiveness of planet phasing to suppress planetary gear vibration[J]. Journal of Sound and Vibration, 2000, 236(4)：561-573.

[14] 李潤(rùn)方, 王建軍. 齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)——振動(dòng)、沖擊、噪聲[M]. 北京：科學(xué)出版社, 1997.