袁秋帆，霍明英，*，齊乃明，曹世磊，肖余之

（1.哈爾濱工業(yè)大學 航天學院，哈爾濱 150001； 2.上海航天技術(shù)研究院，上海 201109）

式中：d31為壓電常數(shù)；Ep為壓電材料彈性模量；wp為壓電片寬度；εi為第 i片壓電陶瓷片長度方向上的應變；lp為壓電片長度。

利用歐拉-伯努利梁假設，可得應變與撓度關(guān)系：

新的航天任務對在軌飛行器的機動能力提出了更高的要求。一類可完成快速跟蹤和精確定向等任務的機動飛行器日益受到重視，其特點是軌道機動和姿態(tài)機動可同時進行。機動過程的執(zhí)行機構(gòu)多采用推力發(fā)動機，其干擾將激發(fā)飛行器上的撓性附件振動。隨著航天技術(shù)的發(fā)展，撓性附件的尺寸和撓性越來越大，振動模態(tài)頻率也越來越低。由于飛行器本體和撓性結(jié)構(gòu)之間的耦合動力學，大撓性結(jié)構(gòu)的振動會影響飛行器本體的姿態(tài)和軌道控制效果，尤其是對角速度和速度控制穩(wěn)定度產(chǎn)生較大的影響，而角速度和速度控制穩(wěn)定度是跟蹤定向精度的一個重要評估指標。

對大撓性結(jié)構(gòu)進行振動抑制能夠改善飛行器姿態(tài)和軌道控制效果，抑制方法可以分為被動振動抑制和主動振動抑制。被動振動抑制方法［1］通過改變結(jié)構(gòu)、增加阻尼材料、增大模態(tài)阻尼，將振動能量轉(zhuǎn)化為其他形式的能量，達到振動抑制的目的，此方法簡單可靠，但靈活性低，抑制效果不明顯。主動振動抑制方法可分為2種：一種是前饋控制方法，包括分力合成方法［2］和輸入成型方法［3］；另一種是閉環(huán)反饋控制方法，其采用智能材料［4］，通過實時測量振動，再用執(zhí)行器對撓性體施加作用力或力矩，達到振動抑制的目的，多采用分布粘貼的執(zhí)行器布局形式，執(zhí)行器作動器一般是壓電陶瓷或記憶合金等。主動振動抑制方法靈活性高，可以改變結(jié)構(gòu)剛度和結(jié)構(gòu)模態(tài)，有能力應對不斷變化的外部環(huán)境（如負載變化或形狀變化）和內(nèi)部環(huán)境（如損壞或故障）。采用壓電陶瓷片實現(xiàn)主動振動抑制時，通常采用同位控制［5］，即壓電執(zhí)行器和壓電傳感器對位分別貼于薄板結(jié)構(gòu)兩側(cè)，控制方法有速率反饋控制、諧振控制［6］、正向位置反饋（Positive Position Feedback，PPF）［7］和改進型正向位置反饋（Modified Positive Position Feedback，MPPF）［8］等。

Moheimani和 Andrew［9］在薄板智能結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)中引入了饋通項作為對截斷模態(tài)的補償，設計了相應的PPF控制器，對穩(wěn)定性進行了重新推導。并通過懸臂梁試驗驗證了PPF控制器的有效性。PPF控制器同時具有阻尼和剛度補償性能，當提高控制阻尼時，控制器角頻率會發(fā)生偏移，從而降低剛度補償?shù)男Ч?。Mahmoodi等［10］根據(jù)PPF的缺點，提出了MPPF，引入了剛度和阻尼2個補償器，解決了傳統(tǒng)PPF控制器參數(shù)選擇困難的問題，并采用懸臂梁進行了試驗驗證。

目前針對撓性飛行器的動力學建模，大多僅考慮撓性結(jié)構(gòu)與中心剛體的轉(zhuǎn)動耦合特性。Gennaro［11］建立了簡化的撓性飛行器姿態(tài)動力學模型，考慮了撓性結(jié)構(gòu)與中心剛體的轉(zhuǎn)動耦合特性。胡慶雷和馬廣富［12］根據(jù) Gennaro［11］提出的簡化撓性飛行器姿態(tài)動力學模型，設計了變結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制器，并采用壓電智能元件作為執(zhí)行器設計了PPF振動抑制控制器，采用最優(yōu)二次型的原理對多模態(tài)抑制的PPF控制器參數(shù)進行了優(yōu)化。袁國平等［13］采用H∞振動抑制控制器和自適應魯棒姿態(tài)控制器相結(jié)合的方法，提高了姿態(tài)控制的精度。

針對機動飛行器，當撓性附件的撓性較大時，對撓性結(jié)構(gòu)的振動抑制不僅需要考慮撓性附件與中心剛體的轉(zhuǎn)動耦合特性，還應當考慮平移耦合特性。Sabatini等［14-15］對具有對稱帆板布局的飛行器動力學進行了研究，將平移耦合模態(tài)和轉(zhuǎn)動耦合模態(tài)描述為對稱模態(tài)和反對稱模態(tài)；且提出了幾種前饋振動抑制控制方法提高姿態(tài)控制效果，并且在一個氣浮式模擬器上進行了試驗驗證。

本文在同時考慮轉(zhuǎn)動耦合模態(tài)和平移耦合模態(tài)的基礎(chǔ)上，采用壓電元件對大撓性結(jié)構(gòu)進行主動振動抑制。首先建立了包含轉(zhuǎn)動耦合和平移耦合模態(tài)的動力學模型，推導了耦合模態(tài)參數(shù)；然后基于MPPF控制律，設計了對轉(zhuǎn)動耦合模態(tài)和平移耦合模態(tài)同時進行抑制的主動振動控制器，并采用M范數(shù)方法進行了參數(shù)優(yōu)化，采用壓電智能材料構(gòu)建了主動振動控制系統(tǒng)。

1 機動飛行器耦合動力學模型與耦合模態(tài)參數(shù)

針對處于無約束狀態(tài)的機動飛行器建立完整的耦合動力學模型。將帶有雙側(cè)對稱帆板的飛行器簡化為中心剛體加撓性梁的模型，為了研究方便，僅考慮面內(nèi)的運動，坐標系定義如圖1所示，圖中OXYZ為慣性坐標系；飛行器軌道機動位移為z；姿態(tài)機動角度為 θ；帆板動撓度為w（y，t），其中y為帆板上某點與帆板安裝點的距離。

圖1 帶有雙側(cè)對稱帆板的飛行器模型Fig.1 Spacecraft model with two-side symmetric solar planes

1.1 耦合動力學模型

帶撓性附件的飛行器為多柔體結(jié)構(gòu)，多采用混合坐標法描述其動力學特性。通常，混合坐標法中的耦合系數(shù)通過懸臂狀態(tài)下帆板的有限元模型計算得到，當飛行器在空間中處于自由-自由的狀態(tài)時，撓性結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)和頻率與懸臂狀態(tài)不相同。為了建立自由-自由狀態(tài)下的動力學模型，將帶有雙側(cè)對稱帆板的飛行器簡化為一個無約束梁模型，對應懸臂狀態(tài)下帆板的第1階模態(tài)，飛行器整體的耦合模態(tài)振型［14-15］如圖2所示。

當飛行器做平移運動時，平移耦合模態(tài)振型被激發(fā)；當飛行器做轉(zhuǎn)動運動時，轉(zhuǎn)動耦合模態(tài)振型被激發(fā)。對于同時進行姿態(tài)和軌道機動的機動飛行器，其撓性結(jié)構(gòu)的振動同時存在這2個模態(tài)。推而廣之，針對撓性帆板在懸臂狀態(tài)下的某一階彎曲模態(tài)，總是對應著自由-自由狀態(tài)下飛行器整體的兩階彎曲模態(tài)：平移耦合模態(tài)和轉(zhuǎn)動耦合模態(tài)。僅考慮前N階模態(tài)，帶有雙側(cè)對稱帆板的機動飛行器耦合動力學描述為

圖2 飛行器整體的耦合模態(tài)振型［14-15］Fig.2 Global coupling model shape of spacecraft［14-15］

式中：m和J分別為中心剛體的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量；T∈ R1×N和 F∈R1×N分 別 為 在 質(zhì) 心 坐標 系 下描述的撓性帆板平移耦合系數(shù)和轉(zhuǎn)動耦合系數(shù)；ηt∈RN和ηr∈RN分別為平移耦合模態(tài)坐標和轉(zhuǎn)動耦合模態(tài)坐標；H＝diag（ξk），Ω＝diag（ωk），ξk和ωk分別為撓性帆板在懸臂狀態(tài)下測量得到的第k階模態(tài)阻尼和模態(tài)頻率；uF和uM分別為驅(qū)動力和力矩。

1.2 耦合模態(tài)參數(shù)

其中：Kt＝diag（κtk），κtk＝diag（κrk），κrk＝F和T的第k個元素。

一般來說帆板的質(zhì)量較輕，但慣量較大，針對其中第k階模態(tài)，各個頻率存在以下關(guān)系：κtk＜κrk?ωk＜ωtk＜ωrk，ωtk和 ωrk分別為 Ωt和 Ωr對角線上第k個元素，表示平移耦合模態(tài)頻率和轉(zhuǎn)動耦合模態(tài)頻率。目前飛行器的質(zhì)量慣量分布仍是中心剛體占優(yōu)，ωk、ωtk和 ωrk比較接近。

2 控制系統(tǒng)設計

飛行器在機動時，其撓性帆板的振動包含平移耦合模態(tài)和轉(zhuǎn)動耦合模態(tài)。為了防止因振動而導致軌道控制和姿態(tài)控制的精度降低，甚至發(fā)散，采用壓電元件對撓性帆板進行振動抑制。設計振動抑制控制器時，要考慮2種模態(tài)的存在，針對這2種模態(tài)進行振動抑制。將壓電傳感器和壓電執(zhí)行器對位粘貼在撓性帆板表面，設在帆板長度方向上布有p對傳感器執(zhí)行器，Si為第i號傳感器，Ai為第i號執(zhí)行器，帆板安裝坐標系OXpYpZp如圖3所示，壓電片長度方向坐標為（yi1，yi2），寬度方向中軸坐標為x0，帆板的長度為l。

2.1 壓電傳感器建模

壓電片式傳感器利用壓電效應，當傳感器發(fā)生應變時，傳感器上下表面的電極會產(chǎn)生電荷，通過線性電荷放大器，得到電壓模擬量，從而測量得到傳感器處的平均應變。壓電片式傳感器具有一個主方向，其電荷量的變化與主方向上的應變成正比，壓電片式傳感器的主方向為Yp方向，即帆板的長度方向。

當飛行器做姿態(tài)和軌道機動時，壓電片式傳感器測量得到的應變是整體機動產(chǎn)生的應變和撓性振動產(chǎn)生的應變的疊加，如圖4所示。

設帆板上某一點撓度為w（y，t），根據(jù)歐拉-伯努利梁假設，可得

式（3）等號右邊第1項為整體轉(zhuǎn)動運動導致的撓度變化，第2項為整體平移運動導致的撓度變化，第3項為撓性帆板振動帶來的撓度變化。前2項是整體機動帶來的測量偏置量。

壓電片式傳感器所產(chǎn)生的電荷量Qi與應變關(guān)系［9］為

式中：d31為壓電常數(shù)；Ep為壓電材料彈性模量；wp為壓電片寬度；εi為第i片壓電陶瓷片長度方向上的應變；lp為壓電片長度。

利用歐拉-伯努利梁假設，可得應變與撓度關(guān)系：

式中：u（y）為階躍函數(shù)；tb和tp分別為帆板和壓電片的厚度。

將式（3）、式（5）代入式（4）得

圖3 壓電元件基本配置Fig.3 Basic configuration of piezoelectric elements

圖4 撓性結(jié)構(gòu)彎曲引起壓電片應變Fig.4 Strain of piezoelectric elements caused by bending of flexible structure

傳感器兩端的轉(zhuǎn)角差值，ψki＝φ′k（yi1）-φ′k（yi2）為第k階模態(tài)振型在第i個傳感器兩端的導數(shù)差，φ′k（y）＝?φk（y）/?y；yi＝（yi1+yi2）/2。

設電荷放大器增益為gs，則電荷放大器輸出電壓為

如果不考慮整體機動帶來的偏置量，則輸出電壓與模態(tài)坐標之間的關(guān)系為

2.2 壓電執(zhí)行器建模

壓電執(zhí)行器的原理是逆壓電效應，在壓電片式執(zhí)行器2個表面電極上施加電壓，會在其主方向上產(chǎn)生應變，從而對帆板產(chǎn)生彎矩的作用，第i個執(zhí)行器電壓Vai（t）與彎矩M i的關(guān)系如下：

2.3 控制器設計

針對第k階模態(tài)，并只考慮對位安裝一個壓電傳感器和一個壓電執(zhí)行器，即i＝1，令 τk＝τk1，γk＝γk1，MPPF控制律的基本結(jié)構(gòu)為

式中：第1行為第k階模態(tài)的動力學方程；第2行為剛度補償器；第3行為阻尼補償器；ξck為控制器阻尼；ωck為控制器頻率，一般選擇 ξck?ξk，ωck＝ωk；αk和 βk分別為剛度增益和阻尼增益；μk和νk為控制器中間變量。

考慮前Nc階平移耦合模態(tài)和前Nc階轉(zhuǎn)動耦合模態(tài)，MPPF控制系統(tǒng)可描述為

式中：

其中：12Nc為全1列矢量；?為克羅內(nèi)克積；變量的下標中，t和r分別表示平移耦合模態(tài)和轉(zhuǎn)動耦合模態(tài)，Htc＝diag（ξtck），ξtck為第k階平移耦合模態(tài)對應的控制器阻尼；μt＝［μt1，μt2，…，μtNc］T，νt＝［νt1，νt2，…，νtNc］T，μtk和 νtk為第k階平移耦合模態(tài)對應的控制變量，同樣的方式可以定義第k階平移耦合模態(tài)對應的參數(shù) αtk、βtk、γtk和 τtk，以及其他對應第k階轉(zhuǎn)動耦合模態(tài)的參數(shù)。

利用文獻［8］中的定理 2，可得式（12）描述的系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，即矩陣A和B滿足

結(jié)構(gòu)振動在模態(tài)頻率處有最大的振幅，如果將模態(tài)頻率處傳遞函數(shù)的增益降低到最小，并滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件式（13），就能達到最優(yōu)的振動抑制效果。為了獲得最優(yōu)的控制器參數(shù)矩陣，令D＝HΩ，并考慮在執(zhí)行器上施加激勵干擾d，系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述如下：

設置評價函數(shù)［16］為M范數(shù)

式中：λk為根據(jù)每個振動模態(tài)的重要性設計的權(quán)重。

3 仿真分析

為了驗證所設計控制器的有效性，設置中心剛體加雙側(cè)撓性板構(gòu)型的結(jié)構(gòu)，如圖5所示，圖中慣性坐標系定義與圖1相同，單塊撓性板質(zhì)量為2.5 kg，長度為 1 700mm，寬度為 200mm，相對于中心剛體旋轉(zhuǎn)軸的慣量為5 kg·m2，中心剛體為圓柱形，直徑800 mm，高300 mm，質(zhì)量為 260 kg，繞X軸的慣量為60 kg·m2，壓電元件的粘貼位置如圖所示，設置一對傳感器/執(zhí)行器（S1/A1）對位于板根部，壓電元件的長度為40mm，寬度20mm，厚度 0.2mm，壓電常數(shù)d31＝-190 pC/N。

圖5 仿真配置Fig.5 Simulation configuration

3.1 參數(shù)優(yōu)化

撓性板的振動主要是前兩階振動，取截斷模態(tài)階數(shù)N＝2，且Nc＝2，采用有限元的方法得懸臂狀態(tài)下?lián)闲园宓哪B(tài)頻率（單位為rad/s）為

結(jié)構(gòu)阻尼設置為

計算撓性板懸臂狀態(tài)下前兩階彎曲模態(tài)的耦合系數(shù)

頻率大小滿足Ω＜Ωt＜Ωr。

采用以上參數(shù)，構(gòu)成式（14），閉環(huán)系統(tǒng)具有2個輸入，u＝［uF，uM］，驅(qū)動力激發(fā)平移耦合模態(tài)，驅(qū)動力矩激發(fā)轉(zhuǎn)動耦合模態(tài)，分別采用M范數(shù)根據(jù)系統(tǒng)頻率響應特性對控制參數(shù)A和B進行優(yōu)化，得

加入優(yōu)化參數(shù)后，振動抑制控制與不加振動抑制控制的系統(tǒng)的頻率響應曲線如圖6所示。

由圖中可以看出，經(jīng)過參數(shù)優(yōu)化后，2種輸入下的幅頻響應曲線在共振頻率點的增益與不進行抑制相比均大大降低。

圖6 系統(tǒng)幅頻響應曲線Fig.6 System amplitude frequency response curves

3.2 仿真算例及結(jié)果分析

3.2.1 仿真算例 1

采用MATLAB/Simulink構(gòu)建仿真模型，飛行器采用路徑規(guī)劃的方法生成指令路徑，采用PID控制器進行位姿閉環(huán)控制，推力器的開關(guān)指令由PWM調(diào)制器生成，控制周期和調(diào)制周期均為100ms，考慮位姿傳感器測量誤差和系統(tǒng)時延等的干擾，初始位置為（0，-3 266，1 878）mm，歐拉角描述的初始姿態(tài)為（-5.02 6°，0°，0°），目標位置為（0，-3 266，2 878）mm，目標角度為（0°，0°，0°），以完成一次典型的跟蹤指向任務，在機動過程中撓性板的振動被激發(fā)。

以Z方向速度跟蹤誤差、繞X軸角速度跟蹤誤差和撓性帆板與中心剛體相互作用的力矩為最終評價指標，如圖7～圖12所示，圖中無抑制表示不加振動抑制控制，抑制表示進行振動抑制控制。

從根部力矩的FFT變換上可以看出在0.761Hz頻率附近存在平移耦合模態(tài)頻率0.77 Hz和轉(zhuǎn)動耦合模態(tài)頻率 0.82 Hz，振幅較大，在 9.025 Hz附近存在平移耦合模態(tài)頻率9.05Hz，該平移耦合模態(tài)被輕微激發(fā)，但加入振動抑制后，被抑制下來，幾乎沒有振幅，轉(zhuǎn)動耦合模態(tài)沒有被激發(fā)，帆板的振動主要是第1階面外彎曲模態(tài)振動，對應著機動飛行器整體的第1階平移耦合模態(tài)振動和第1階轉(zhuǎn)動耦合模態(tài)振動。從X軸角速度曲線上可以看出，在不進行振動抑制時，撓性帆板的振動會使角速度出現(xiàn)小的波動，這將影響機動過程中的跟蹤指向精度。帆板的質(zhì)量相比中心剛體的質(zhì)量來說很小，因此帆板的振動對Z向位置和速度的影響不大。從撓性帆板根部力矩曲線上可以看出，當整體做位姿機動時，帆板根部力矩有一定的偏置量，不進行振動抑制時撓性振動被激發(fā)，而且衰減的很慢，即使飛行器整體穩(wěn)定下來，具有一定的殘余振動，采用MPPF控制器可以很好的將撓性帆板的振動抑制下來。從根部力矩的FFT變換曲線上可以看出，采用MPPF控制器進行抑制后的平移運動耦合模態(tài)和轉(zhuǎn)動耦合模態(tài)頻率位置的能量要遠小于不進行抑制時對應頻率位置的振動能量，進一步說明了所設計的控制器的有效性。

圖9 帆板根部力矩（算例1）Fig.9 Solar plane root moment（Example1）

圖10 帆板根部力矩的FFT變換（算例1）Fig.10 FFT transform of solar planerootmoment（Example1）

圖11 傳感器采集電壓（算例1）Fig.11 Sensor voltage（Example 1）

圖12 執(zhí)行器輸入電壓（算例1）Fig.12 Actuator input voltage（Example 1）

3.2.2 仿真算例 2

設計較為極端的條件進行考核控制器的性能，令機動飛行器受到一個幅值為0.015 N·m、頻率為0.82 Hz的繞X軸的簡諧振蕩的外界干擾力矩，仿真結(jié)果如圖13～圖18所示。

圖13 Z向速度（算例2）Fig.13 Z-direction velocity（Example 2）

圖14 X軸角速度（算例2）Fig.14 X-axis angular velocity（Example 2）

圖15 帆板根部力矩（算例2）Fig.15 Solar plane rootmoment（Example 2）

圖16 帆板根部力矩的FFT變換（算例2）Fig.16 FFT transform of solar plane rootmoment（Examp le 2）

圖17 傳感器采集電壓（算例2）Fig.17 Sensor voltage（Example 2）

圖18 執(zhí)行器輸入電壓（算例2）Fig.18 Actuator input voltage（Example 2）

可以看出，當加入干擾力矩后，如果不進行振動抑制，帆板的振動出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，Z向速度和X軸角速度的跟蹤誤差也由于耦合作用而出現(xiàn)振蕩發(fā)散的現(xiàn)象，Z向位置與X軸角度出現(xiàn)了偏差。加入MPPF振動抑制后，帆板根部力矩振蕩被很好地抑制下來，第1階平移耦合模態(tài)和轉(zhuǎn)動耦合模態(tài)的振動幅值衰減了90%，沒有出現(xiàn)發(fā)散的情況，第2階平移耦合模態(tài)和轉(zhuǎn)動耦合模態(tài)的振動幅值均有較大的衰減，同時Z向位置和X軸角度的跟蹤精度較高，沒有出現(xiàn)耦合振蕩發(fā)散的情況。

4 結(jié) 論

本文針對集成壓電元件的機動飛行器撓性結(jié)構(gòu)振動抑制控制方法進行了研究。

1）首先建立了自由自由狀態(tài)下的機動飛行器耦合動力學模型，基于經(jīng)典歐拉伯努利梁理論，給出了壓電執(zhí)行器模型和壓電傳感器模型。

2）根據(jù)耦合動力學模型的特點，設計了整合的MPPF控制律，并提出了相應的振動抑制控制器設計方法。

3）使用MATLAB/Simulink對設計的控制系統(tǒng)進行了仿真，結(jié)果表明所設計的控制器能夠很好的實現(xiàn)機動飛行器自由自由狀態(tài)下機動飛行器撓性結(jié)構(gòu)的振動抑制，根部的力矩振動較快收斂，提高了機動飛行器的跟蹤精度。

本文所提出的MPPF控制系統(tǒng)同時考慮了機動飛行器撓性結(jié)構(gòu)與中心剛體之間的平移耦合模態(tài)和轉(zhuǎn)動耦合模態(tài)，能夠較好的實現(xiàn)撓性結(jié)構(gòu)的主動振動抑制控制，對提高機動飛行器的跟蹤精度具有積極作用。

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