李琳，薛錚，范雨，*

（1.北京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，北京 100083；2.先進(jìn)航空發(fā)動(dòng)機(jī)協(xié)同創(chuàng)新中心，北京 100083； 3.空間物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100076）

為了進(jìn)一步提高傳統(tǒng)飛行器的性能并實(shí)現(xiàn)飛行器的智能化，基于智能材料的自適應(yīng)機(jī)翼結(jié)構(gòu)已逐漸成為研究熱點(diǎn)，尤其是在高速發(fā)展的無(wú)人飛行器（UAV）設(shè)計(jì)領(lǐng)域。其中，“Morphing”（變體）［1-3］的概念在機(jī)翼的設(shè)計(jì)中得到了廣泛關(guān)注。人們希望能夠通過(guò)對(duì)機(jī)翼的變形控制實(shí)現(xiàn)對(duì)飛行的控制或?qū)︼w行器結(jié)構(gòu)參數(shù)的調(diào)整。相關(guān)的研究主要包括可變弧形翼（翼面展向彎曲）［4-5］、上反角可調(diào)機(jī)翼［6］和可扭曲機(jī)翼［7-9］幾種形式。最早提出的變形設(shè)計(jì)方案是通過(guò)改變機(jī)翼扭轉(zhuǎn)角的分布來(lái)提高飛行性能和控制能力。但在早期的剛性機(jī)翼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中卻因結(jié)構(gòu)重量和剛度而難以實(shí)現(xiàn)。隨著飛行器的小型化、無(wú)人化，并得益于材料科學(xué)與技術(shù)的發(fā)展，越來(lái)越多的飛行器開(kāi)始采用柔性構(gòu)件［10］。柔性機(jī)翼的出現(xiàn)也使得可扭轉(zhuǎn)機(jī)翼的設(shè)計(jì)重新受到研究者們的關(guān)注。特別是在柔性結(jié)構(gòu)中采用主動(dòng)材料結(jié)構(gòu)一體化設(shè)計(jì)的方式，其有著傳統(tǒng)驅(qū)動(dòng)方式無(wú)可比擬的優(yōu)勢(shì)。利用智能材料的特性人為驅(qū)動(dòng)機(jī)翼扭曲變形可為機(jī)翼減輕陣風(fēng)和機(jī)動(dòng)載荷、提高升力和取代傳統(tǒng)控制面。因此對(duì)自適應(yīng)機(jī)翼扭曲變形的研究尤為重要。

壓電纖維材料（Macro Fiber Composite，MFC）［11］克服了傳統(tǒng)壓電材料易損、難結(jié)合的缺點(diǎn)，具有高輸出、高帶寬及能量密度高的優(yōu)點(diǎn)，因此在飛行器自適應(yīng)結(jié)構(gòu)中具有更好的應(yīng)用前景［12-13］。在采用壓電材料對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行形狀控制的一些基本研究中，文獻(xiàn)［14］研究了指定扭曲變形下壓電片厚度、布置位置和驅(qū)動(dòng)電壓的優(yōu)化。文獻(xiàn)［15］通過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化基板結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了壓電驅(qū)動(dòng)扭曲變形效率的提升。文獻(xiàn)［16］采用非矩形壓電片對(duì)壓電復(fù)合板進(jìn)行扭曲變形控制。文獻(xiàn)［17］針對(duì)形狀控制的應(yīng)用優(yōu)化了壓電片的幾何形狀。已有的研究多是基于傳統(tǒng)壓電片進(jìn)行形狀控制的分析，而采用MFC來(lái)進(jìn)行形狀控制也多是基于45°的對(duì)稱鋪設(shè)的方案［18］。這些研究忽略了壓電纖維方向?qū)π螤羁刂频挠绊?，同時(shí)也缺少壓電纖維材料與不同驅(qū)動(dòng)方案結(jié)合所帶來(lái)不同效果的相關(guān)研究。

板結(jié)構(gòu)作為機(jī)翼結(jié)構(gòu)最基本構(gòu)成形式，如何設(shè)計(jì)才能使得復(fù)合板在壓電纖維材料的驅(qū)動(dòng)下獲得更高的扭曲變形效率，對(duì)于采用這種主動(dòng)復(fù)合材料的自適應(yīng)機(jī)翼的性能提升有著重要的參考意義。本文基于 Ritz法假設(shè)雙向梁函數(shù)組合級(jí)數(shù)的位移場(chǎng)，建立了壓電纖維材料驅(qū)動(dòng)下復(fù)合板變形的求解方法。在此基礎(chǔ)上針對(duì)壓電纖維材料的方向性以及正負(fù)輸出的差異性（MFC的電壓驅(qū)動(dòng)范圍是 -500～1 500 V，導(dǎo)致正負(fù)輸出能力不對(duì)稱）對(duì)壓電纖維材料驅(qū)動(dòng)下復(fù)合板扭曲變形效率進(jìn)行了詳細(xì)分析，為 MFC鋪設(shè)角度的選擇、獲得單層和雙層壓電纖維復(fù)合板的最佳扭曲變形提供了理論依據(jù)。

1 MFC復(fù)合板分析模型

圖1 MFC復(fù)合板的幾何結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)系Fig.1 Geometry and coordinate system of MFC composite plate

在自適應(yīng)結(jié)構(gòu)中為了獲得較大的形變量多采用薄板結(jié)構(gòu)。本文的分析亦基于薄板理論，采用的坐標(biāo)系如圖1所示，其中x軸為板長(zhǎng)方向，y軸為板寬方向，z軸垂直于板面；①和②分別對(duì)應(yīng)具有單層MFC和雙層MFC的復(fù)合板結(jié)構(gòu)。采用單層MFC時(shí)材料主軸方向與x軸夾角為θ，雙層MFC時(shí)，上下兩層材料主軸方向與x軸夾角分別為 θup和 θdown。t為復(fù)合板厚度，t1和t2分別為單層和雙層MFC復(fù)合板厚度，ta為MFC厚度，tb為基板厚度，L和W分別為板的長(zhǎng)度和寬度。以下分析不受外力作用的MFC復(fù)合板在電壓驅(qū)動(dòng)下的變形。

設(shè)u，v，w為板內(nèi)任意一點(diǎn)（x，y，z）沿 3個(gè)坐標(biāo)方向的位移分量；u0和v0分別為板的中面沿x和y方向的位移分量。根據(jù)薄板理論，在薄板整體坐標(biāo)系中有如下關(guān)系式：

由式（1）的位移關(guān)系可得 MFC復(fù)合板應(yīng)變向量的表達(dá)式為

式中：ε0為中面應(yīng)變向量。κ為中面曲率變化向量。這2個(gè)變量的表達(dá)式為（式中右上方標(biāo)“0”的變量對(duì)應(yīng)中面的變量）：

在沒(méi)有外力作用的情況下，主動(dòng)材料結(jié)構(gòu)的變形可通過(guò)改變外界電壓（電流、磁場(chǎng)或溫度場(chǎng)）引起，稱對(duì)應(yīng)的應(yīng)變?chǔ)珵橹鲃?dòng)應(yīng)變。在復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中主動(dòng)材料的變形受到被動(dòng)材料的限制，因此MFC復(fù)合板的應(yīng)變?chǔ)庞?部分組成：

設(shè)第k層應(yīng)變?yōu)橹鲃?dòng)應(yīng)變?chǔ)玨，則與該應(yīng)變對(duì)應(yīng)的等效加載應(yīng)力為

式中：Qk為復(fù)合板坐標(biāo)系下第k層材料的剛度矩陣。當(dāng)該層材料主軸坐標(biāo)系與復(fù)合板坐標(biāo)系的夾角為θup時(shí)，Qk與材料主軸坐標(biāo)系下的剛度矩陣

式中：T為各層纖維方向與主軸夾角所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)換矩陣。復(fù)合板坐標(biāo)系下主動(dòng)纖維材料的輸出應(yīng)變?chǔ)玨與其在材料主軸坐標(biāo)系下的應(yīng)變的關(guān)系為

根據(jù)復(fù)合板應(yīng)力、應(yīng)變的關(guān)系可以推導(dǎo)出復(fù)合板內(nèi)力與位移的關(guān)系。

對(duì)應(yīng)板中的彈性變形，復(fù)合板厚度上單位長(zhǎng)度的內(nèi)力N和內(nèi)力矩M為

式中：zk為各層界面在復(fù)合板坐標(biāo)系下所對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)。將式（2）和式（5）代入式（9）并化簡(jiǎn)得到

式中：矩陣A、B和D構(gòu)成了主動(dòng)復(fù)合板的剛度矩陣。同理，由式（6）可得對(duì)應(yīng)主動(dòng)應(yīng)變的等效驅(qū)動(dòng)力NΛ和等效驅(qū)動(dòng)力矩MΛ為

式中：λ為 MFC復(fù)合板層數(shù)，單層時(shí) λ＝2，雙層時(shí) λ＝3。

基于上述復(fù)合板內(nèi)力與變形的關(guān)系即可獲得主動(dòng)復(fù)合板的能量表達(dá)式，進(jìn)而可利用最小勢(shì)能原理對(duì)復(fù)合板的形變進(jìn)行求解。

復(fù)合板的應(yīng)變勢(shì)能U為

主動(dòng)材料驅(qū)動(dòng)應(yīng)變的等效力和等效力矩做功WΛ為

通過(guò)式（12）和式（13）相減得到主動(dòng)復(fù)合板的總勢(shì)能Et為

根據(jù)最小勢(shì)能原理，在所有滿足變形協(xié)調(diào)和邊界位移條件的結(jié)構(gòu)位移中，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)實(shí)際位移的勢(shì)能最小。以下應(yīng)用Ritz法，將復(fù)合板的位移表示成具有待定系數(shù)的、一系列滿足位移邊界條件的雙向梁函數(shù)（Ritz基）的組合，然后通過(guò)對(duì)復(fù)合板的總勢(shì)能求極值來(lái)確定位移表達(dá)式中的待定系數(shù)。假設(shè)主動(dòng)復(fù)合板的位移場(chǎng)為

式中：Θi（x）為復(fù)合板在x方向的 Ritz基函數(shù)；Θj（y）為復(fù)合板在y方向的 Ritz基函數(shù)。根據(jù)Ritz法原理，Θi（x）和 Θj（y）僅需滿足位移邊界條件，因此取滿足位移邊界條件的梁振型函數(shù)作為Ritz基函數(shù)。I和J分別為在x和y方向所采用的梁函數(shù)階數(shù)為待定系數(shù)。對(duì)應(yīng)不同邊界條件的各階次梁函數(shù)在有關(guān)振動(dòng)基礎(chǔ)理論方面的著作中均可查到［19-20］。

將基于位移場(chǎng)表達(dá)式（15）的主動(dòng)復(fù)合板的應(yīng)變場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)代入式（9）～式（14），即可推導(dǎo)出主動(dòng)復(fù)合板總勢(shì)能的表達(dá)式，再將該表達(dá)式代入式（16）便可得到位移場(chǎng)待定系數(shù)的求解方程組：

式中：p為位移場(chǎng)待定系數(shù)向量；q為與主動(dòng)材料輸出相關(guān)的常數(shù)向量；C為3IJ×3IJ階系數(shù)矩陣，可以劃分為9個(gè)子塊矩陣

C中的每個(gè)子塊均為I×J階矩陣。經(jīng)推導(dǎo)各子塊矩陣中元素表達(dá)式為

式（20）中：Aij、Bij、Dij（i＝1，2，6；j＝1，2，6）分別為式（10）中矩陣 A、B、D中的元素；gi、gij和hi、hij為與所選取梁函數(shù)相關(guān)的積分值，其中g(shù)i、gij為與x方向梁函數(shù)相關(guān)的積分值，表達(dá)式為

將式（26）中的i，m，Θi（x）和L分別替換為j，n，∏j（y）和W，可以得到與y方向梁函數(shù)有關(guān)的積分值。

將各積分值及式（18）～式（26）逐次代入到式（17），式（21）作為一個(gè)以 p為未知元的向量方程，其系數(shù)矩陣C和常數(shù)矩陣q得到完備，由

便可求得假設(shè)位移場(chǎng)中梁函數(shù)組合級(jí)數(shù)的待定系數(shù)，從而獲得 MFC復(fù)合板驅(qū)動(dòng)變形的位移結(jié)果。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文所建立的分析模型、所采用的基本假設(shè)以及計(jì)算方法在求解MFC主動(dòng)應(yīng)變驅(qū)動(dòng)下復(fù)合板位移場(chǎng)時(shí)的有效性，對(duì)由2片 M-8528-F1 MFC構(gòu)成的MFC復(fù)合板試件進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)測(cè)試。MFC、基板的材料參數(shù)和試件的幾何參數(shù)分別在表1、表2中給出，其中E、υ和G分別為材料的彈性模量、泊松比和剪切模量，1、2表示材料的主軸方向。

表1 MFC和基板的材料參數(shù)Table1 Material parameters of MFC and substrate

表2 試件的幾何參數(shù)Table2 Geometric parameters of specimen

測(cè)試時(shí)復(fù)合板的固定方式為固定1個(gè)邊，其余3邊為自由狀態(tài)（見(jiàn)圖2）。2片MFC均采用最高正電壓驅(qū)動(dòng)（1500V/1500V），對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)應(yīng)變參見(jiàn)表1。采用激光位移傳感器對(duì)MFC復(fù)合板上沿x方向的 5條等距線（L0，L1，…，L4）進(jìn)行了撓度測(cè)試，從而獲得復(fù)合板不同位置處相應(yīng)位置的位移。

測(cè)試之前先對(duì)測(cè)試狀態(tài)下復(fù)合板的形變按本文第1節(jié)給出的方法進(jìn)行理論預(yù)測(cè)。在計(jì)算中x方向選取固支-自由邊界條件對(duì)應(yīng)的梁函數(shù)Θ（x），y方向選取自由-自由邊界條件對(duì)應(yīng)的梁函數(shù)，上下層 MFC纖維的角度分別為45°和 -45°；在函數(shù)階次選取方面，采用滿足邊界條件的梁函數(shù)作為李茲基函數(shù)來(lái)模擬板的靜力彎曲變形時(shí)，一般取前3階即可以得到較好的結(jié)果。而復(fù)合板在電壓驅(qū)動(dòng)下不僅產(chǎn)生彎曲變形還同時(shí)產(chǎn)生扭曲變形。理論上Ritz法隨函數(shù)階數(shù)的增加會(huì)提高精度但取值的無(wú)限增加會(huì)急劇的加大計(jì)算量；綜合考慮計(jì)算量和精度，在x和y方向均取前10階梁函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，所得MFC復(fù)合板試件的位移場(chǎng)如圖3所示。

圖2 MFC復(fù)合板扭曲實(shí)驗(yàn)測(cè)試Fig.2 Experimental test of twist actuation of MFC composite plate

實(shí)驗(yàn)所測(cè)得的撓度同計(jì)算得到的位移進(jìn)行了對(duì)比，對(duì)比結(jié)果在圖4中給出。圖中離散點(diǎn)為測(cè)試結(jié)果，連續(xù)的線段為理論計(jì)算結(jié)果。

圖4中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果吻合得較好，驗(yàn)證了第1節(jié)所建立的模型、基本假設(shè)及計(jì)算方法在求解MFC驅(qū)動(dòng)下復(fù)合板位移場(chǎng)的有效性。通過(guò)該模型可以對(duì)MFC復(fù)合板的相關(guān)參數(shù)特性進(jìn)行準(zhǔn)確分析。

圖3 MFC復(fù)合板試件在MFC驅(qū)動(dòng)下的位移場(chǎng)預(yù)測(cè)Fig.3 Predicted displacement field of specimen（MFC composite plate）under actuation of MFC

圖4 MFC復(fù)合板多點(diǎn)撓度測(cè)試與計(jì)算結(jié)果的對(duì)比Fig.4 Comparison of deflection measurement on multipoints and calculation results of MFC composite plate

3 受MFC驅(qū)動(dòng)的復(fù)合板的扭曲變形效率

理論與實(shí)測(cè)結(jié)果表明，主動(dòng)纖維驅(qū)動(dòng)下復(fù)合板產(chǎn)生了彎扭耦合變形。如何布置MFC纖維的方向并選擇合理的驅(qū)動(dòng)方式才能獲得更大的扭曲變形效率是本文分析的主要目的。本文針對(duì)MFC在自適應(yīng)翼面中應(yīng)用的2種典型模式（見(jiàn)圖5）進(jìn)行研究，其力學(xué)模型可以分別簡(jiǎn)化為邊界條件為1邊固支3邊自由（CFFF，對(duì)應(yīng)圖5（a）中的應(yīng)用模式）和2邊固支2邊自由（CFCF，對(duì)應(yīng)圖5（b）中的應(yīng)用模式）的復(fù)合板。

為了衡量MFC復(fù)合板的扭曲變形程度，定義與固支邊平行的任意截面相對(duì)固支邊的等效扭轉(zhuǎn)角為：變形后該截面中線兩端點(diǎn)連線與固支邊所形成的夾角β，如圖6所示。

圖5 主動(dòng)材料在一體化自適應(yīng)翼面中的典型應(yīng)用模式Fig.5 Typical application modes of active material in integrated adaptive wing surface

圖6 MFC復(fù)合板等效扭轉(zhuǎn)角βFig.6 Equivalent torsional angleβof MFC composite plate

根據(jù)幾何關(guān)系有如下表達(dá)式：

式中：wL（x）和wR（x）分別為垂直于固定邊的兩側(cè)邊的撓度；若其中一個(gè)邊也被固定，以y＝0的一側(cè)邊被固定為例，則有wL（x）＝0。顯然與固定邊相對(duì)的自由端截面（x＝L時(shí)）的等效扭轉(zhuǎn)角為最大扭轉(zhuǎn)角。

為了衡量MFC復(fù)合板的彎曲變形程度，定義與固支邊平行的任意截面相對(duì)固定截面的等效彎轉(zhuǎn)角α的正切為：該截面中線撓度的均值與該截面至固定端的距離之比（如圖7所示）：

式中：Wi（x）為垂直固定邊的第i個(gè)截面中線的撓度；n為所計(jì)算或所測(cè)試的垂直固定邊的截面撓度個(gè)數(shù)。顯然與固定邊相對(duì)的自由端截面（x＝L）的等效彎轉(zhuǎn)角為最大彎轉(zhuǎn)角。

即使受到同樣的電壓驅(qū)動(dòng)，對(duì)應(yīng)不同的結(jié)構(gòu)形式、電壓驅(qū)動(dòng)方式或不同的 MFC纖維方向，復(fù)合板所獲得的扭曲程度也不同，扭曲變形越大說(shuō)明扭曲變形效率越高。為了評(píng)估MFC復(fù)合板在不同條件下的驅(qū)動(dòng)效果，定義壓電纖維復(fù)合板驅(qū)動(dòng)扭曲變形效率為

式中：β（L）為與固定截面平行的截面中最大的等效扭轉(zhuǎn)角，即自由端截面（x＝L）的等效扭轉(zhuǎn)角。該效率的物理意義是單位面積的壓電纖維材料復(fù)合板所能實(shí)現(xiàn)的扭曲變形程度。

由式（30）可知，當(dāng)復(fù)合板的幾何尺寸一定時(shí)，復(fù)合板自由端截面（x＝L）的等效扭轉(zhuǎn)角β（L）（式（28））即可被用來(lái)衡量復(fù)合板的扭曲變形效率。

以下在對(duì)MFC復(fù)合板驅(qū)動(dòng)扭曲變形效率的計(jì)算分析中，MFC和基板采用表1中所給出的相關(guān)參數(shù)。

圖7 MFC復(fù)合板等效彎轉(zhuǎn)角αFig.7 Equivalent bending angleαof MFC composite plate

3.1 單層 MFC驅(qū)動(dòng)下復(fù)合板扭曲變形效率分析

由于正電壓下MFC的驅(qū)動(dòng)能力高于負(fù)電壓，單層MFC復(fù)合板一般采用正電壓驅(qū)動(dòng)模式。在單層MFC驅(qū)動(dòng)下，壓電纖維布置的方向?qū)FC復(fù)合板扭曲變形效率的影響是分析的重點(diǎn)。根據(jù)復(fù)合板扭曲變形效率的定義，對(duì)于給定的復(fù)合板，在最高正電壓（1 500 V）驅(qū)動(dòng)下自由端截面等效扭轉(zhuǎn)角隨MFC鋪設(shè)角度的變化就反映了扭曲變形效率隨MFC鋪設(shè)角度的變化。

3.1.1 CFFF約束下單層MFC驅(qū)動(dòng)下復(fù)合板的扭曲變形效率

此次調(diào)研的科研眾包培育平臺(tái)中，除了純市場(chǎng)化經(jīng)營(yíng)的商業(yè)平臺(tái)外，也有以公益性為主的公共服務(wù)平臺(tái)。調(diào)研發(fā)現(xiàn)，在平臺(tái)盈利模式上，純商業(yè)化的平臺(tái)大都摸索出如服務(wù)傭金、高附加值產(chǎn)品開(kāi)發(fā)提成、廣告收入、平臺(tái)增值服務(wù)(專利項(xiàng)目申報(bào)、科技人才獵頭)等盈利模式，為平臺(tái)的深入發(fā)展和持續(xù)創(chuàng)新提供現(xiàn)金流支撐。公益性為主的平臺(tái)也在服務(wù)中慢慢探索能夠“自我造血”的商業(yè)模式(見(jiàn)表1)。

在復(fù)合板的結(jié)構(gòu)參數(shù)中，復(fù)合板的長(zhǎng)寬比例與纖維的布置方向關(guān)系密切。圖8給出了具有不同長(zhǎng)寬比的單層MFC驅(qū)動(dòng)復(fù)合板扭曲變形隨壓電纖維鋪設(shè)角度的變化；利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，θup的取值范圍為0°～90°。

由圖8可以看出，隨著壓電纖維鋪設(shè)角θnp的增加，MFC驅(qū)動(dòng)下復(fù)合板的自由邊截面等效扭轉(zhuǎn)角均為先遞增后減小的規(guī)律。而隨著復(fù)合板長(zhǎng)寬比（L/W）的減小，自由邊截面等效扭轉(zhuǎn)角極值所對(duì)應(yīng)的鋪設(shè)角度值（圖中點(diǎn)劃線與每條曲線的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的θup角度）逐漸遞增。所得到的結(jié)果表明對(duì)于具有CFFF邊界條件的單層MFC復(fù)合板，為了獲得更高的扭曲變形效率，其壓電纖維的鋪設(shè)角度一般不為45°或復(fù)合板對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的角度，而是具備隨長(zhǎng)寬比減小而增加的規(guī)律。

圖8 單層MFC驅(qū)動(dòng)下壓電纖維方向?qū)?fù)合板的自由邊截面等效扭轉(zhuǎn)角的影響（CFFF）Fig.8 Effect of piezoelectric fiber direction on equivalent torsional angle at free edge section of composite plate actuated by single layer of MFC（CFFF）

3.1.2 CFCF約束下單層MFC驅(qū)動(dòng)下復(fù)合板的扭曲變形效率

邊界條件為CFCF的單層MFC驅(qū)動(dòng)復(fù)合板的扭曲變形效率如圖9所示。

圖9 單層MFC驅(qū)動(dòng)下壓電纖維方向?qū)?fù)合板的自由邊截面等效扭轉(zhuǎn)角的影響（CFCF）Fig.9 Effect of piezoelectric fiber direction on equivalent torsional angle at free edge section of composite plate actuated by single layer of MFC（CFCF）

對(duì)應(yīng)不同的長(zhǎng)寬比，扭曲變形效率隨壓電纖維鋪設(shè)角的增大也具有先增加后減小的規(guī)律。與CFFF邊界條件不同的是其壓電纖維的優(yōu)選鋪設(shè)角度（圖中點(diǎn)劃線與每條曲線的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的θnp角度）隨復(fù)合板長(zhǎng)寬比的增加而增加。由于邊界條件的對(duì)稱性，在復(fù)合板長(zhǎng)寬比為1時(shí)，壓電纖維的鋪設(shè)角應(yīng)選為45°。

3.2 雙層 MFC驅(qū)動(dòng)下復(fù)合板扭曲變形效率分析

相對(duì)單層 MFC復(fù)合板，雙層 MFC復(fù)合板（MFC分設(shè)于基板的上下層，參見(jiàn)圖1）存在更為多樣性的驅(qū)動(dòng)模式，驅(qū)動(dòng)電壓模式可分為2種，2層MFC均采用正電壓（+/+）驅(qū)動(dòng)和一正一負(fù)（+/-）的電壓驅(qū)動(dòng)模式。壓電材料的特性使得MFC的驅(qū)動(dòng)電壓在正負(fù)范圍內(nèi)不對(duì)稱，一般的電壓驅(qū)動(dòng)范圍為（-500～1 500 V）。本節(jié)分別討論正電壓取1 500 V、負(fù)電壓取-500 V情況下（此時(shí)對(duì)應(yīng) MFC的最大驅(qū)動(dòng)能力），正電壓（+/+）對(duì)稱驅(qū)動(dòng)和一正一負(fù)（+/-）非對(duì)稱驅(qū)動(dòng)方式下壓電纖維的鋪設(shè)方向?qū)εで冃涡实挠绊?。設(shè)θup和θdown分別為上下壓電纖維鋪設(shè)角度，取值范圍均為-90°～90°。

3.2.1 CFFF約束下雙層MFC驅(qū)動(dòng)下復(fù)合板扭曲變形效率

圖10和圖11分別給出了雙層MFC（+/+）電壓驅(qū)動(dòng)模式和（+/-）電壓驅(qū)動(dòng)模式下復(fù)合板的自由邊截面等效扭轉(zhuǎn)角（圖 10（a）、11（a））和等效彎轉(zhuǎn)角（圖 10（b）、11（b））隨上下層壓電纖維方向（θup和θdown）的變化規(guī)律。如前述，在驅(qū)動(dòng)電壓保持不變的條件下（+/+）驅(qū)動(dòng)模式的驅(qū)動(dòng)電壓為（1 500 V/1500 V），（+/-）驅(qū)動(dòng)模式的驅(qū)動(dòng)電壓為（1 500 V/-500 V），復(fù)合板的自由邊截面等效扭轉(zhuǎn)角的變化就代表了扭曲變形效率的變化。

圖10和圖11的結(jié)果是在復(fù)合板長(zhǎng)寬比為1的條件下得出的。對(duì)比不同長(zhǎng)寬比的計(jì)算結(jié)果表明，圖10和圖11所展現(xiàn)出的規(guī)律不受復(fù)合板長(zhǎng)寬比的影響，不同長(zhǎng)寬比改變的是等效扭轉(zhuǎn)角和等效彎轉(zhuǎn)角的極值。因此在以下的分析中，2種驅(qū)動(dòng)模式所獲得的自由邊截面等效扭轉(zhuǎn)角及對(duì)應(yīng)的纖維鋪設(shè)角不再以云圖的結(jié)果展示，僅以表3形式列出。

圖10 雙層MFC復(fù)合板在（+/+）電壓驅(qū)動(dòng)模式下自由邊截面等效扭轉(zhuǎn)角、彎轉(zhuǎn)角隨壓電纖維方向的變化（L/W＝1，CFFF）Fig.10 Evolution of equivalent torsional and bending angles at free edge section of composite plate with piezoelectric fiber direction（two layers of MFC，（+/+）actuation mode，L/W＝1，CFFF）

從表3中可以看出：①對(duì)于具有同一長(zhǎng)寬比的復(fù)合板，（+/+）電壓驅(qū)動(dòng)模式所能獲得的自由邊截面等效扭轉(zhuǎn)角大于（+/-）電壓驅(qū)動(dòng)模式下的自由邊截面等效扭轉(zhuǎn)角，因此在CFFF的邊界條件下，（+/+）電壓驅(qū)動(dòng)方式是更佳的驅(qū)動(dòng)方案。②對(duì)于（+/+）的電壓驅(qū)動(dòng)方式，上下兩層的壓電纖維鋪設(shè)角度滿足關(guān)系式 θup＝θdown時(shí)扭曲變形效率最高。從圖10（a）可看出，當(dāng) θup＝θdown時(shí)復(fù)合板自由邊截面的等效扭轉(zhuǎn)角最大；圖 10（b）表明在滿足對(duì)稱軸條件 θup＝θdown時(shí)復(fù)合板的等效彎轉(zhuǎn)角為零，由此解釋了此時(shí)扭曲變形效率最大的原因。如第1節(jié)實(shí)驗(yàn)中采用的反對(duì)稱鋪設(shè)的MFC復(fù)合板在MFC驅(qū)動(dòng)下，復(fù)合板在y＝W/2的軸線上不存在平面外的位移（矩形板的中間對(duì)稱線即圖2中的L2沒(méi)有產(chǎn)生撓度）。這一特性具有較大的工程意義，它使得設(shè)計(jì)和制備都相對(duì)簡(jiǎn)單。在設(shè)計(jì)時(shí)，最佳的上下兩層壓電纖維的鋪設(shè)角度便可簡(jiǎn)化到在滿足關(guān)系 θup＝θdown的方案中尋找。

圖11 雙層MFC復(fù)合板在（+/-）電壓驅(qū)動(dòng)模式下自由邊截面等效扭轉(zhuǎn)角、彎轉(zhuǎn)角隨壓電纖維方向的變化（L/W＝1，CFFF）Fig.11 Evolution of equivalent torsional and bending angles at free edge section of composite plate with piezoelectric fiber direction（two layers of MFC，（+/-）actuation mode，L/W＝1，CFFF）

當(dāng)滿足關(guān)系θup＝-θdown時(shí)，扭曲變形效率隨鋪設(shè)角的變化如圖12所示。

圖12所得到的關(guān)系與單層MFC驅(qū)動(dòng)下的規(guī)律相似，即對(duì)應(yīng)最高扭曲變形效率的鋪設(shè)角度（圖中點(diǎn)劃線與每條曲線的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度）隨著復(fù)合板長(zhǎng)寬比的減小而增加。然而相對(duì)單層MFC復(fù)合板，該效率對(duì)板的長(zhǎng)寬比的敏感性要小得多，長(zhǎng)寬比從0.25到2增加了7倍，反映扭曲變形效率的自由邊截面等效扭轉(zhuǎn)角僅變化了3°左右。此外圖12還表明，在最高扭曲變形效率所對(duì)應(yīng)的鋪設(shè)角度附近，復(fù)合板扭曲變形效率對(duì)鋪設(shè)角度的變化不敏感。因此從MFC復(fù)合板制備工藝的角度來(lái)看，采用 θup＝-θdown的鋪設(shè)工藝時(shí)，長(zhǎng)寬比的影響可以忽略。

表3 CFFF約束的MFC復(fù)合板在2種驅(qū)動(dòng)模式下的自由邊截面等效扭轉(zhuǎn)角極值Table 3 Maxim um equivalent torsional angles of free edge section of MFC composite plate under two actuation modes with constraint condition of CFFF

圖12 雙層MFC復(fù)合板 （+/+）電壓驅(qū)動(dòng)模式下壓電纖維鋪設(shè)角度（θup＝-θdown）對(duì)復(fù)合板扭曲變形效率的影響（CFFF）Fig.12 Effect of piezoelectric fiber laying angle（θup＝-θdown）on efficiency of twist deformation of bimorph MFC composite plate under（+/+）actuation mode（CFFF）

3.2.2 CFCF約束下雙層MFC驅(qū)動(dòng)下復(fù)合板扭曲變形效率

CFCF約束的雙層復(fù)合板在2種電壓驅(qū)動(dòng)模式下的自由邊截面等效扭轉(zhuǎn)角和等效彎轉(zhuǎn)角隨上下層壓電纖維方向的變化規(guī)律如圖13、圖14所示。同CFFF邊界條件，該規(guī)律也不受復(fù)合板長(zhǎng)寬比的影響，不同長(zhǎng)寬比改變的是自由邊截面等效扭轉(zhuǎn)角和等效彎轉(zhuǎn)角的極值。2種電壓驅(qū)動(dòng)模式下的自由邊截面等效扭轉(zhuǎn)角在表4中列出。

圖13 雙層MFC復(fù)合板在 （+/+）電壓驅(qū)動(dòng)模式下自由邊截面等效扭轉(zhuǎn)角、等效彎轉(zhuǎn)角隨壓電纖維方向的變化（L/W＝1，CFCF）Fig.13 Evolution of equivalent torsional and bending angles at free edge section of composite plate with piezoelectric fiber direction（two layers of MFC，（+/+）actuation-mode，L/W＝1，CFCF）

圖14 雙層MFC復(fù)合板在（+/-）電壓驅(qū)動(dòng)模式下自由邊截面.等效扭轉(zhuǎn)角、等效彎曲角隨壓電纖維方向的變化（L/W＝1，CFCF）Fig.14 Evolution of equivalent torsional and bending angles at free edge section of composite plate with piezoelectric fiber direction（two layers of MFC，（+/-）actuation-mode，L/W＝1，CFCF）

表4 CFCF約束的MFC復(fù)合板在2種驅(qū)動(dòng)模式下的自由邊截面等效扭轉(zhuǎn)角極值Table 4 Maxim um equivalent torsional angles of free edge section of MFC composite plate under two actuation modes with constraint condition of CFCF

與CFFF邊界條件的復(fù)合板相反，相同長(zhǎng)寬比的復(fù)合板在（+/+）電壓驅(qū)動(dòng)下所能獲得的自由邊截面等效扭轉(zhuǎn)角總是低于（+/-）驅(qū)動(dòng)模式產(chǎn)生的自由邊截面等效扭轉(zhuǎn)角，因此在CFCF的邊界條件下，（+/-）的電壓驅(qū)動(dòng)方式是更優(yōu)的驅(qū)動(dòng)方案。不過(guò)二者的差別不像CFFF約束的復(fù)合板那樣顯著，而且除了方板（L/W＝1）外，2種電壓驅(qū)動(dòng)模式下最高扭曲變形效率的MFC鋪設(shè)方案都不再滿足關(guān)系式θup＝-θdown的特點(diǎn)。

由圖14（a）中的等高關(guān)系可看到在（+/-）電壓驅(qū)動(dòng)模式下，最大扭曲變形效率對(duì)MFC纖維的鋪設(shè)角度不是特別敏感。這說(shuō)明在一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用中采用θup＝θdown＝45°的傳統(tǒng)鋪設(shè)方案也可以得到不錯(cuò)的驅(qū)動(dòng)效率。

4 結(jié) 論

在自適應(yīng)翼面等結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，盡可能提高M(jìn)FC驅(qū)動(dòng)下復(fù)合板結(jié)構(gòu)的扭曲變形效率至關(guān)重要。為了對(duì)MFC驅(qū)動(dòng)復(fù)合板變形特性進(jìn)行分析，本文推導(dǎo)了MFC的主動(dòng)應(yīng)變與復(fù)合板的內(nèi)力與變形之間的關(guān)系，建立了復(fù)合板受主動(dòng)應(yīng)變驅(qū)動(dòng)時(shí)的位移求解方程，所得分析結(jié)果經(jīng)由實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。為了評(píng)價(jià)具有彎扭耦合變形特點(diǎn)的MFC復(fù)合板對(duì)扭曲變形的驅(qū)動(dòng)效果，本文定義了MFC復(fù)合板在主動(dòng)應(yīng)變驅(qū)動(dòng)下的等效扭轉(zhuǎn)角和等效彎轉(zhuǎn)角，并提出了主動(dòng)復(fù)合板驅(qū)動(dòng)扭曲變形效率的概念。在此基礎(chǔ)上，研究了2種約束條件的壓電纖維復(fù)合板結(jié)構(gòu)受電壓驅(qū)動(dòng)的扭曲變形效率，得到以下結(jié)論：

1）單層MFC復(fù)合板受電壓驅(qū)動(dòng)時(shí)，其最大扭曲變形效率對(duì)應(yīng)的MFC鋪設(shè)角度與復(fù)合板長(zhǎng)寬比相關(guān)；板邊界的約束為CFFF形式時(shí)，長(zhǎng)寬比越小，MFC鋪設(shè)角度越大。板邊界的約束為CFCF形式時(shí)則相反，且長(zhǎng)寬比為1時(shí)對(duì)應(yīng)最大扭曲變形效率的鋪設(shè)角度為45°。

2）雙層MFC復(fù)合板受電壓驅(qū)動(dòng)的模式可以分為（+/+）對(duì)稱驅(qū)動(dòng)和（+/-）非對(duì)稱驅(qū)動(dòng)2類。板邊界的約束為CFFF形式時(shí)，（+/+）電壓驅(qū)動(dòng)模式的扭曲變形效率較高。在這種電壓驅(qū)動(dòng)模式下，為實(shí)現(xiàn)高扭曲變形效率，上下2層MFC的鋪設(shè)角應(yīng)滿足關(guān)系θup＝θdown。

3）在CFCF邊界條件下，雙層MFC復(fù)合板的驅(qū)動(dòng)電壓應(yīng)選擇上下層（+/-）驅(qū)動(dòng)模式。在該種驅(qū)動(dòng)模式下對(duì)應(yīng)高扭曲變形效率的鋪設(shè)角度可選范圍較大（即在這種情況下扭曲變形效率對(duì)纖維方向的改變不敏感），可取 θup＝θdown＝45°的傳統(tǒng)鋪設(shè)方案。

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