鄭廣超 劉崇新 王琰

(西安交通大學電氣工程學院,電力設備電氣絕緣國家重點實驗室,西安 710049)

(2017年10月31日收到;2017年11月23日收到修改稿)

1 引 言

自19世紀60年代Lorenz[1]首次提出混沌系統(tǒng)以來,發(fā)現(xiàn)了大量的三維混沌系統(tǒng),如R?ssler系統(tǒng)[2],Chen系統(tǒng)[3],Liu系統(tǒng)[4]以及其他一些典型三維混沌系統(tǒng)[5?8],這些混沌動力學系統(tǒng)在保密通信學、經(jīng)濟學、工程學等領域得到了廣泛的應用.在混沌系統(tǒng)中,存在的吸引子一般分為兩種,自激吸引子和隱藏吸引子.自激吸引子由不穩(wěn)定的平衡點產(chǎn)生,而隱藏吸引子的吸引盆與任何不穩(wěn)定的平衡點均不相交.長期以來,人們認為混沌系統(tǒng)的吸引子與其平衡點之間存在著密切的聯(lián)系,混沌判定的定性準則也主要是通過Shilnikov定理[9]來進行,即混沌的產(chǎn)生至少需要一個不穩(wěn)定的平衡點,同時這個不穩(wěn)定的平衡點也對應著混沌系統(tǒng)中的一個吸引子.然而,自從Leonov和Kuznetsov[10]基于Chua系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)隱藏吸引子以來,許多學者對具有隱藏吸引子的混沌系統(tǒng)產(chǎn)生了極大的興趣,取得了很多成果[11?17].這些特殊的混沌系統(tǒng)僅有一個穩(wěn)定平衡點[11,12],甚至沒有平衡點[13,14]或者有無窮多平衡點[15],這對傳統(tǒng)混沌判定的準則提出了新的挑戰(zhàn).此外,由于混沌吸引子不能用一般的數(shù)值分析方法來尋找,在一定程度上增加了混沌系統(tǒng)動力學行為的復雜性和不易預測性,這對于實際工程應用,尤其是保密通信領域有重要的理論研究價值.目前,對于具有隱藏吸引子的混沌系統(tǒng)的研究,既有文獻大多是關于整數(shù)階系統(tǒng)的研究,關于分數(shù)階系統(tǒng)的研究相對較少.

分數(shù)階微積分幾乎與整數(shù)階微積分有一樣長的歷史,但是由于缺乏實際工程應用背景,分數(shù)階微積分的發(fā)展相對緩慢.直到近三十年來,人們發(fā)現(xiàn)用分數(shù)階微積分描述復雜的系統(tǒng)時,其物理意義更清晰,表述更簡潔,特別是當研究對象本身帶有分數(shù)階特性時,能更好地揭示對象的本質及其行為特性,由此分數(shù)階微積分逐漸得到人們的重視,其在工程領域和物理方面的應用成為了研究的熱點.長期以來,由于缺乏有效的數(shù)學工具來描述許多實際物理系統(tǒng)的無限記憶功能和遺傳特性,幾乎所有的系統(tǒng)都采用整數(shù)階模型來描述,這在很大程度上忽略了系統(tǒng)的真實性.分數(shù)階系統(tǒng)作為整數(shù)階系統(tǒng)的推廣,具有普遍意義,能更清晰地描述系統(tǒng)的物理特性,且具備特有的歷史記憶功能.

隨著對分數(shù)階混沌系統(tǒng)的研究不斷深入,人們認識到分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步在保密通信和信息科學等領域的應用前景比整數(shù)階混沌系統(tǒng)更加廣泛[18].自從1990年美國海軍實驗室Pecora和Carroll[19]提出了混沌同步概念和方法以來,隨著混沌同步研究的不斷深入,混沌同步已成為混沌和控制領域的研究熱點,許多有效的混沌同步控制方法相繼被提出.然而,由于分數(shù)階混沌系統(tǒng)實現(xiàn)同步的復雜性,相比整數(shù)階系統(tǒng),對分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制的研究起步較晚.2003年,李春光等[20]通過數(shù)值仿真第一次實現(xiàn)了分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步,這極大地激發(fā)了人們對分數(shù)階混沌系統(tǒng)同步問題開展研究的興趣,提出了更多實現(xiàn)分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步方法[21?24].其中,針對分數(shù)階混沌系統(tǒng)有限時間同步問題,趙靈冬等[24]提出了分數(shù)階系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性理論,實現(xiàn)了分數(shù)階系統(tǒng)有限時間同步,且與完全同步對比效果十分顯著.

基于以上研究,考慮將分數(shù)階微積分推廣到具有隱藏吸引子的系統(tǒng)中,并實現(xiàn)有限時間同步,這對混沌技術在實際工程領域的應用有重要的研究價值,尤其是在保密通信領域,可以實現(xiàn)更復雜的動力學行為,提高通信系統(tǒng)的安全度.

本文基于Sprott E系統(tǒng),構建了一種僅有一個穩(wěn)定平衡點的分數(shù)階混沌系統(tǒng),其在不同階次下會處于周期、倍周期和混沌狀態(tài),分析了該系統(tǒng)的一些基本動力學行為,如平衡點、吸引子、Poincare映射和分岔等.另外,運用分數(shù)階有限時間同步控制理論實現(xiàn)了同步控制并進行了數(shù)值仿真.

2 分數(shù)階系統(tǒng)模型及動力學分析

2.1 分數(shù)階微分概述

在分數(shù)階微積分的研究過程中,對微分和積分概念提出了許多種定義[25],主要有Grunwald-Letnikov(G-L)定義、Riemann-Liouville(R-L)定義以及Caputo定義等,其中Riemann-Liouville定義和Caputo定義較為常用,Riemann-Liouville定義多用于純數(shù)學領域中,Caputo定義更適用于工程應用領域,適合分數(shù)階微分方程初始值問題的描述.

一般在實際應用中常用Caputo定義,且Caputo定義可取非同質的初始條件.本文采用Caputo分數(shù)階微分定義.

定義1Caputo分數(shù)階微分定義為

式中C表示此定義為Caputo分數(shù)階微分定義,q為微分算子的階次,n為大于q的最小整數(shù),且n?1＜q＜n,t,a分別為運算的上下限,Γ(·)為Gamma函數(shù).

Caputo分數(shù)階微分相關的性質如下.

性質1[25]

考慮一般的分數(shù)階微分方程可描述為

該方程的通解為

其中Mittag-Leffter函數(shù)為

2.2 系統(tǒng)模型及平衡點

SprottE系統(tǒng)最早是由美國學者J.C.Sprott[26]通過計算機窮舉法發(fā)現(xiàn)的,由兩個二次非線性項的五項多項式組成,是最簡的三維混沌系統(tǒng)之一,其物理實現(xiàn)相對容易.Sprott E系統(tǒng)在平衡點處的特征根中有一對共軛的純虛根,通過對系統(tǒng)加入小的擾動項,很容易使這對共軛的純虛根轉變成為一對具有負實部的共軛特征根,從而使系統(tǒng)具有穩(wěn)定的特征根,且能夠使系統(tǒng)的混沌特性保留下來.在實際應用中,混沌系統(tǒng)很容易受小干擾的影響而使特征根的性質發(fā)生變化,Sprott E系統(tǒng)便是符合這種情況的典型混沌系統(tǒng)之一.文獻[12]基于Sprott E系統(tǒng)構建了一種具有一個穩(wěn)定平衡點的整數(shù)階混沌系統(tǒng),并通過相軌跡圖、時域圖、李雅普諾夫指數(shù)圖和頻率譜進行了分析.本文在此基礎上,將其推廣到分數(shù)階,構造一種含隱藏吸引子的新分數(shù)階混沌系統(tǒng):

式中q為系統(tǒng)((5)式)的階次,且0＜q≤1,a為加入的系統(tǒng)參數(shù),取a=0.005.

令(5)式右側為0,得到系統(tǒng)的平衡點方程為

通過求解(6)式得到系統(tǒng)僅具有一個平衡點O(0.25,0.0625,?0.08).

在此平衡點O處,系統(tǒng)的雅可比矩陣為

令其特征多項式det(λI?J)=0,得到相應的特征值為

觀察(8)式中三個特征值的實部可見,λ1為負實數(shù),λ2和λ3的實部均為負數(shù),因此可以確定平衡點O為一個穩(wěn)定的平衡點.且經(jīng)后面的混沌特性分析可知,系統(tǒng)((5)式)是一個混沌系統(tǒng),其吸引子類型為隱藏吸引子.由Shilnikov定理[9]可知,系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的條件要求至少存在一個不穩(wěn)定的平衡點,同時吸引子也來源于這個不穩(wěn)定的平衡點,而這類具有隱藏吸引子的混沌系統(tǒng)的出現(xiàn),對傳統(tǒng)的混沌判定準則提出了新的挑戰(zhàn).

2.3 混沌特性分析

分岔圖是非線性動力學研究中的一個重要工具,可以顯示系統(tǒng)隨某個參數(shù)的動力學變化.以系統(tǒng)((5)式)的階次q為變化量,令初始值為[x(0),y(0),z(0)]=(0.5,0,0.2),得到狀態(tài)變量x隨著階次變化的分岔圖,如圖1所示,此分岔圖采用最大值法繪制.

觀察圖1可知,系統(tǒng)((5)式)處于混沌運動狀態(tài)的階次范圍很小,大部分區(qū)域都是穩(wěn)定狀態(tài),并且到了一定數(shù)值后,對于階次變化非常敏感.當q＜0.987時,系統(tǒng)的運行軌跡趨于一穩(wěn)定值,表明系統(tǒng)的運動特性是穩(wěn)定的.當0.987≤q＜0.990時,系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔.當0.990≤q≤1.000時,系統(tǒng)已完全進入混沌運動狀態(tài).

圖1 變量x隨階次q變化的分岔圖Fig.1.Bifurcation diagram of variable x with order q.

通過相軌跡圖、Poincare映射、功率譜進一步分析系統(tǒng)的非線性動力學特征.結合對分岔圖的分析,取q=0.990,初始值[x(0),y(0),z(0)]=(0.5,0,0.2),進行數(shù)值仿真分析.

首先,取仿真時間Tsim=500 s,步長h=0.005,利用預估校正數(shù)值算法,得到系統(tǒng)的相軌跡圖和變量x的時域圖分別如圖2和圖3所示.顯然,系統(tǒng)((5)式)處于混沌狀態(tài),同時表現(xiàn)出單渦卷特性,且具有一個混沌吸引子,由伸展的螺旋運動和折返的單向運動組成,其隨機性主要在于折返運動的不確定性.該系統(tǒng)僅有一個穩(wěn)定平衡點,按照Shilnikov定理[9]要求至少存在一個不穩(wěn)定的平衡點才會出現(xiàn)混沌的判定標準,該系統(tǒng)不會出現(xiàn)混沌,然而圖2和圖3表現(xiàn)出顯著的混沌行為,也與圖1分岔圖的表現(xiàn)相對應,因此系統(tǒng)((5)式)是一個分數(shù)階混沌系統(tǒng).

取z=0的截面,得到系統(tǒng)((5)式)的Poincare截面圖,如圖4所示,可以看出其Poincare截面由沿著不可數(shù)點的兩條線構成,對應著吸引子伸展的螺旋運動,具有分形結構的密集分布特點.取采樣頻率為1.5 Hz,仿真時間Tsim=1000 s,得到系統(tǒng)((5)式)的功率譜如圖5所示,可以看出系統(tǒng)的功率譜是連續(xù)譜,且無明顯的峰值.由此,從Poincare截面和功率譜進一步得出系統(tǒng)處于明顯的混沌狀態(tài).

圖2 系統(tǒng)((5)式)的相軌跡圖 (a)在x-y-z空間;(b)在x-y平面上;(c)在x-z平面上;(d)在y-z平面上Fig.2.Phase portraits of system(Eq.(5)):(a)In the x-y-z state space;(b)in the x-y plane;(c)in the x-z plane;(d)in the y-z plane.

圖3 x時域圖Fig.3.Time series of state variable x.

圖4 z=0時x-y平面上的Poincare映射Fig.4.Poincare mapping on x-y phase plane with z=0.

圖5 功率譜Fig.5.Frequency spectrum.

3 分數(shù)階系統(tǒng)有限時間同步

3.1 分數(shù)階系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性理論

分數(shù)階混沌同步在保密通信領域具有更大的潛力,得到了人們的廣泛關注,各種分數(shù)階混沌同步方法被提出,如Lyapunov方程法、驅動-響應法、廣義同步法、線性分離投影同步法等.其中,趙靈冬等[24]提出了一種分數(shù)階系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性理論,能夠實現(xiàn)同步誤差在有限時間內穩(wěn)定,具有同步速度快、魯棒性強等優(yōu)點.本文運用分數(shù)階系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性理論實現(xiàn)系統(tǒng)同步控制.

定理1[24]考慮一般的分數(shù)階系統(tǒng),滿足

式中v=x(xq)T.

引理1當滿足a,b＞0且0＜c＜1時,可得如下不等式:

令系統(tǒng)((5)式)為驅動系統(tǒng),其中q=0.99,則相應的響應系統(tǒng)為

式中u1,u2,u3為根據(jù)定理1所加入的控制器.

設e1=x1?x,e2=y1?y,e3=z1?z為驅動系統(tǒng)((5)式)與響應系統(tǒng)((12)式)的同步誤差,則得到誤差系統(tǒng)為

由定理1,設計相應的控制器u1,u2,u3:

式中k和β為控制器的相關參數(shù).

加入(14)式的控制器后,分數(shù)階誤差系統(tǒng)((13)式)可以在有限時間t內達到穩(wěn)定,

證明由誤差系統(tǒng)((13)式)和所設計控制器((14)式),得到同步誤差為

根據(jù)(9)式推導可得

由引理1的不等式得

因此可得

顯然,(19)式滿足定理1的條件,故誤差系統(tǒng)((13)式)可以在有限時間t內達到穩(wěn)定,即驅動-響應系統(tǒng)在有限時間內實現(xiàn)同步,

3.2 數(shù)值仿真

采用MATLAB R2017a進行數(shù)值仿真,用預估校正法求解微分方程.令仿真的步長tΔ=0.001,仿真時間Tsim=12 s,分數(shù)階系統(tǒng)的階次取q=0.99,驅動系統(tǒng)((5)式)和響應系統(tǒng)((12)式)的初值分別取為[x(0),y(0),z(0)]=(0.5,0,0.2)及[x1(0),y1(0),z1(0)]=(1.2,0.3,2).設計控制器的相關參數(shù)取值為k=1.5,β=0.8.根據(jù)這些參數(shù)編寫程序,得到誤差系統(tǒng)和各狀態(tài)變量同步情況的仿真圖,如圖6和圖7所示.

圖6 同步誤差曲線圖Fig.6.Synchronization error curves.

由圖6可以看出,加入控制器后誤差系統(tǒng)e1,e2和e3在3 s內均能收斂于零點,即誤差系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài),由圖7也可看出,驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)的各狀態(tài)變量在3 s內達到了完全同步狀態(tài),由此可見設計的控制器效果非常顯著.

圖7 加入控制器后各狀態(tài)變量同步圖 (a)變量x-x1;(b)變量y-y1;(c)變量z-z1Fig.7.Synchronization phase plots of state variables with controller added:(a)x-x1;(b)y-y1;(c)z-z1.

4 結 論

基于Sprott E系統(tǒng),構建了僅有一個穩(wěn)定平衡點的分數(shù)階混沌系統(tǒng),研究含有隱藏吸引子的分數(shù)階混沌系統(tǒng),通過平衡點、吸引子、Poincare映射和分岔等詳細分析了該系統(tǒng)的基本動力學行為.基于分數(shù)階有限時間同步控制理論,設計了有限時間同步控制器,實現(xiàn)了帶有隱藏吸引子分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制,數(shù)值仿真結果證實了該方法的有效性.構建的分數(shù)階混沌系統(tǒng)具有以下特點和優(yōu)勢:首先,用分數(shù)階微積分進行描述和研究,其物理意義更清晰,描述更精確,能更好地揭示對象的本質及其行為特性;其次,構建的改進分數(shù)階Sprott E系統(tǒng)在平衡點處有一對具有負實部的共軛特征根,系統(tǒng)具有穩(wěn)定的平衡點,吸引子類型為隱藏吸引子;最后,構建的分數(shù)階混沌系統(tǒng)具有更復雜、更豐富的混沌動力學特性,參數(shù)選擇范圍更大、更加靈活,且系統(tǒng)對這些參數(shù)的變化較為敏感,這樣在構造混沌振蕩器應用于保密通信、圖像加密等實際領域時,密鑰更多更復雜,增強了不可預測性,提高了應用中的可靠性和安全性.

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