常潤(rùn)澤

(欒川縣第一高級(jí)中學(xué) 河南 洛陽(yáng) 471500)

張懷華

(焦作市第十一中學(xué) 河南 焦作 454000)

1 引言

近日，有網(wǎng)友在飛行途中無(wú)意中拍攝到了如圖1所示的飛機(jī)螺旋槳照片，畫(huà)面十分詭異，讓人費(fèi)解.

眾所周知，飛機(jī)的螺旋槳應(yīng)該是如圖2所示的模樣，為什么在飛行途中拍到的照片卻如此詭異呢？

圖1 飛機(jī)螺旋槳運(yùn)動(dòng)時(shí)的照片

圖2 飛機(jī)螺旋槳靜止時(shí)的照片

2 探究飛機(jī)螺旋槳在數(shù)碼照片中扭曲的原因

原來(lái)，常見(jiàn)的數(shù)碼相機(jī)使用的都是CMOS傳感器，這種傳感器采用的是電子卷簾下拉快門(mén).電子卷簾下拉快門(mén)利用通斷電控制傳感器，使其不同部分在不同時(shí)間內(nèi)對(duì)光的敏感度不同，從而實(shí)現(xiàn)逐行曝光，快門(mén)線(xiàn)上的像素被記錄和存儲(chǔ).隨著快門(mén)線(xiàn)的運(yùn)動(dòng)，所有像素都被記錄和存儲(chǔ)[1].因?yàn)槭侵鹦衅毓猓邢扔泻?，?dāng)用數(shù)碼相機(jī)拍攝高速運(yùn)動(dòng)的物體時(shí)，照片將會(huì)發(fā)生扭曲.

那么，螺旋槳的旋轉(zhuǎn)角速度與電子卷簾快門(mén)的運(yùn)動(dòng)速度是如何影響拍攝效果的呢？

下面通過(guò)求解螺旋槳輪廓線(xiàn)與運(yùn)動(dòng)快門(mén)線(xiàn)的交點(diǎn)函數(shù)，繪制函數(shù)圖像，探究引發(fā)螺旋槳照片扭曲的原因.

2.1 探究螺旋槳照片扭曲的數(shù)學(xué)方程

為了便于分析，不妨用古典數(shù)學(xué)中的玫瑰曲線(xiàn)模擬五葉螺旋槳.若設(shè)螺旋槳在數(shù)碼相機(jī)的CMOS傳感器上所成的像的半徑為1，則以螺旋槳中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，其在極坐標(biāo)系下的方程為

ρ=sin(5θ)

(1)

若螺旋槳的旋轉(zhuǎn)角速度為ω，則螺旋槳的輪廓線(xiàn)方程轉(zhuǎn)化為

ρ=sin[5(θ+ωt)]

(2)

若電子卷簾快門(mén)水平，在豎直方向上運(yùn)動(dòng)，速度為v，且掃描范圍在區(qū)間[-1,1]內(nèi)，使掃描范圍恰好覆蓋螺旋槳成像區(qū)域，則快門(mén)線(xiàn)的極坐標(biāo)系方程為

(3)

此時(shí)，式(2)、(3)所對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)的交點(diǎn)，就是被CMOS傳感器記錄和儲(chǔ)存的像素點(diǎn).由式(2)、(3)可得，螺旋槳曲線(xiàn)與水平快門(mén)線(xiàn)的交點(diǎn)在極坐標(biāo)系下的軌跡方程為

(4)

顯然，軌跡方程式(4)的圖像，對(duì)應(yīng)的就是數(shù)碼照片上螺旋槳扭曲后的像.

2.2 繪制螺旋槳照片扭曲方程的圖像

為了在科學(xué)計(jì)算軟件Mathematica中繪制式(4)的圖像，需要將式(4)由極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系.

已知極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(5)

由式(4)、(5)可知，式(4)可轉(zhuǎn)化為

(6)

為了讓式(6)的兩個(gè)分段函數(shù)在同一個(gè)區(qū)間內(nèi)顯示，在科學(xué)計(jì)算軟件Mathematica中，將式(6)轉(zhuǎn)化為如下代碼

x,-1,1,y,-1,1]]

(7)

在Mathematica中執(zhí)行式(7)中的代碼，可得螺旋槳曲線(xiàn)與水平快門(mén)線(xiàn)的交點(diǎn)軌跡如圖3所示.

圖3 參數(shù)時(shí)的交點(diǎn)軌跡圖像

圖4 參數(shù)時(shí)的交點(diǎn)軌跡圖像

圖5 參數(shù)時(shí)的交點(diǎn)軌跡圖像

圖6 參數(shù)時(shí)的交點(diǎn)軌跡圖像

圖7 參數(shù)時(shí)的交點(diǎn)軌跡圖像

圖8 參數(shù)時(shí)的交點(diǎn)軌跡圖像

對(duì)比圖4和圖1可以發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)的玫瑰曲線(xiàn)與水平快門(mén)線(xiàn)交點(diǎn)軌跡圖像和利用數(shù)碼相機(jī)拍攝的高速旋轉(zhuǎn)的螺旋槳照片相比較，在槳葉扭曲方面有著很高的相似度.

對(duì)比圖3至圖8可以發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)快門(mén)周期內(nèi)，螺旋槳轉(zhuǎn)過(guò)的角度越大，拍攝出來(lái)的畫(huà)面就越扭曲.

3 結(jié)論

由上述研究可以發(fā)現(xiàn)，用數(shù)碼相機(jī)拍攝螺旋槳時(shí)之所以會(huì)扭曲，是由于螺旋槳快速轉(zhuǎn)動(dòng)而導(dǎo)致的.用數(shù)碼相機(jī)拍攝照片時(shí)，照片上每一個(gè)像素所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻都不相同，數(shù)碼相機(jī)拍攝的照片本質(zhì)上是由一系列不同時(shí)刻的對(duì)應(yīng)像素組成的.因此，在快門(mén)時(shí)間內(nèi)，被拍攝物體運(yùn)動(dòng)越快，位置變化越大，照片越扭曲.

在用數(shù)碼相機(jī)拍攝高速運(yùn)動(dòng)的物體時(shí)，縮短快門(mén)時(shí)間，照片的扭曲現(xiàn)象可以得到一定程度的緩解.

1 劉智,柴華，李娜娜,等.CMOS圖像傳感器中卷簾式快門(mén)特性及其應(yīng)用.光學(xué)精密工程,2009,17(8):2 017～2 023