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        探究求解帶電粒子在磁場中運(yùn)動問題的方法

        2018-03-27 07:38:08陳俊昆成金德
        物理通報 2018年4期
        關(guān)鍵詞:帶電粒子圓心磁場

        陳俊昆 成金德

        (義烏市第二中學(xué) 浙江 義烏 322000)

        帶電粒子在磁場中運(yùn)動的問題既與物理學(xué)中的洛倫茲力、圓周運(yùn)動、牛頓運(yùn)動定律的知識相結(jié)合,還與數(shù)學(xué)中的平面幾何、三角函數(shù)的知識相聯(lián)系,是一類綜合性強(qiáng)、能力要求高的物理問題.這類問題能很好地考查學(xué)生掌握知識的水平和綜合運(yùn)用知識的能力,正因如此,這類問題往往成為高考的熱點(diǎn)問題,同時也成為學(xué)生學(xué)習(xí)中難度較大的問題.筆者認(rèn)為,要有效地解答帶電粒子在磁場中運(yùn)動的問題,必須做好“過五關(guān),斬六題”.

        1 過五關(guān)

        1.1 知識關(guān)

        帶電粒子在磁場中運(yùn)動的問題所涉及的物理知識主要是洛倫茲力的特點(diǎn)和勻速圓周運(yùn)動的特征.

        (1)洛倫茲力.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動時,洛倫茲力的大小f=qvBsinθ,其中θ是運(yùn)動方向與磁場方向間的夾角,當(dāng)θ=90°時,洛倫茲力的大小f=qvB.

        (2)洛倫茲力的方向.洛倫茲力的方向總與運(yùn)動方向和磁場方向垂直,三者方向滿足左手定則.

        (3)帶電粒子垂直于磁場方向射入勻強(qiáng)磁場時,若帶電粒子只受洛倫茲力作用,則帶電粒子將做勻速圓周運(yùn)動.根據(jù)牛頓第二定律可得

        則帶電粒子運(yùn)動的半徑為

        帶電粒子運(yùn)動的周期為

        1.2 數(shù)學(xué)關(guān)

        求解帶電粒子在磁場中的運(yùn)動問題,在確定半徑時,數(shù)學(xué)知識起決定性作用.其中常用的數(shù)學(xué)知識有如下3個方面.

        (1)三角函數(shù).主要是三角函數(shù)的定義式、和差化積、半角和倍角公式等.利用三角函數(shù)知識的目的是求解圓周運(yùn)動的半徑.

        (2)平面幾何.在求解帶電粒子在磁場中運(yùn)動的問題時,平面幾何中的三角形知識和圓的知識有著廣泛的應(yīng)用.運(yùn)用數(shù)學(xué)知識是構(gòu)建帶電粒子運(yùn)動的物理學(xué)模型的關(guān)鍵.

        (3)圓心角α與弦切角的關(guān)系.利用圓心角α與弦切角的關(guān)系,可求出帶電粒子在磁場中的運(yùn)動時間.運(yùn)動時間t和轉(zhuǎn)過的圓心角α之間的關(guān)系為

        1.3 圓心關(guān)

        確定帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的圓心是解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).一般說來,確定圓心有如下幾種常見方法:

        (1)已知兩點(diǎn)及速度方向.在兩點(diǎn)上分別作速度方向的垂線,兩垂線的交點(diǎn)即為圓軌跡的圓心,如圖1所示.

        圖1 已知兩點(diǎn)及速度方向確定圓心

        (2)已知兩點(diǎn)及某點(diǎn)的速度方向.在已知速度方向的點(diǎn)作速度方向的垂線,同時畫出兩點(diǎn)連線的中垂線,兩垂線的交點(diǎn)即為圓軌跡的圓心,如圖2所示.

        圖2 已知兩點(diǎn)及某點(diǎn)的速度方向,確定圓心

        (3)已知某點(diǎn)的速度方向及半徑R.在該點(diǎn)作速度方向的垂線,垂線上距該點(diǎn)R處的點(diǎn)即為圓軌跡的圓心(利用左手定則判斷圓心在已知位置的哪一側(cè)),如圖3所示.

        圖3 已知某點(diǎn)的速度方向及半徑,確定圓心

        (4)已知3點(diǎn).若已知帶電粒子經(jīng)過磁場中的3點(diǎn)A,B,C,則可先做AB的中垂線,再做BC的中垂線,兩條線相交點(diǎn),即為圓心O.

        (5)已知入射方向和出射方向及半徑.延長粒子兩速度方向所在的直線,作兩直線的角平分線,在角平分線上找到與兩直線距離為R的點(diǎn),該點(diǎn)即為圓心,如圖4所示.

        圖4 已知入射方向和出射方向及半徑,確定圓心

        1.4 規(guī)律關(guān)

        帶電粒子進(jìn)入磁場做圓周運(yùn)動時,應(yīng)用數(shù)學(xué)知識得到的一些規(guī)律,應(yīng)該熟記并適時應(yīng)用,有時可使問題大大簡化.

        規(guī)律1:如果帶電粒子沿著具有直線邊界的磁場進(jìn)入,則它的運(yùn)動具有對稱性,如圖5所示.

        圖5 帶電粒子沿具有直線邊界的磁場進(jìn)入

        規(guī)律2:射向圓形勻強(qiáng)磁場中心的帶電粒子,都好像是從勻強(qiáng)磁場中心射出來,如圖6所示.

        圖6 帶電粒子射向圓形勻強(qiáng)磁場中心

        規(guī)律3:若帶電粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡半徑等于圓形磁場半徑,則沿任意方向射入的帶電粒子,出射時的速度方向必與過入射點(diǎn)O的圓形磁場的切線平行,如圖7所示.

        圖7 帶電粒子軌道半徑等于圓形磁場半徑

        1.5 方法關(guān)

        (1)基本方法.求解和分析帶電粒子在磁場中的運(yùn)動問題,基本的方法包含以下3個方面.

        1)畫軌跡.根據(jù)題給條件,畫出帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡圓,并確定圓心位置,這是解題的關(guān)鍵步驟.

        3)用規(guī)律.應(yīng)用牛頓第二定律和圓周運(yùn)動的規(guī)律,再結(jié)合周期公式和半徑公式,列方程求解.

        (2)輔助方法.分析帶電粒子在磁場中運(yùn)動的問題時,常常運(yùn)用一些輔助方法,以幫助建立物理模型,尋找解題的突破口.其中以下2種方法最為實(shí)用.

        1)舒張手指圓法(放大圓法)

        如圖8所示,一束帶負(fù)電的粒子垂直射入勻強(qiáng)磁場,若初速度方向相同,大小不同,所有粒子運(yùn)動軌跡的圓心都在垂直于初速度方向的直線上,軌道半徑隨速度增大而增大,通過舒張手指圓法可以方便地找出與右邊界相切的臨界軌跡.

        圖8 舒張手指圓法情境圖

        舒張手指圓法是指由兩只手的大拇指和食指構(gòu)成一個圓,如圖9所示,調(diào)整手指重疊部分的多少,可以獲得半徑不同的圓,從而有效確定臨界圓.這種方法既方便,又隨時可用.

        圖9 舒張手指圓法展示圖

        2)滾動手指圓法(旋轉(zhuǎn)圓法)

        圖10 滾動手指圓法情境圖

        2 斬六題

        要掌握求解帶電粒子在磁場中運(yùn)動問題的方法,就必須深刻理解和正確把握以下6種題型的解題技巧和方法.

        題型1:極值問題

        帶電粒子在磁場中運(yùn)動的問題,常出現(xiàn)諸如求最大速度、最短時間、最長距離等極值問題.求解時需弄清產(chǎn)生極值的條件,再應(yīng)用相應(yīng)的物理知識和數(shù)學(xué)知識.速度的極值根據(jù)臨界圓的半徑判斷,半徑越大速度越大.時間的極值根據(jù)臨界軌跡的圓心角判斷,圓心角越大時間越長.

        【例1】如圖11所示,某空間存在著兩個勻強(qiáng)磁場,其分界線是半徑為R的圓,兩側(cè)的磁場方向相反且垂直于紙面,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B.現(xiàn)有一質(zhì)量為m,電荷量為q的帶正電離子(不計(jì)重力)從A點(diǎn)沿OA方向射出.求:

        (1)離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期;

        (2)若向外的磁場范圍足夠大,離子自A點(diǎn)射出后在兩個磁場不斷地飛進(jìn)飛出,最后又能返回到A點(diǎn),求其返回到A點(diǎn)的最短時間及對應(yīng)離子的速度;

        (3)若向外的磁場是有界的,分布在以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為R和2R的兩圓之間的區(qū)域,上述離子仍從A點(diǎn)沿OA方向射出,且離子仍能返回A點(diǎn),求其返回A點(diǎn)的最短時間.(可能用到的三角函數(shù)值:sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)

        圖11 例1題圖

        分析:(1)由于離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動,根據(jù)牛頓第二定律得

        由周期公式知

        解以上兩式可求出離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期為

        (2)畫出離子在磁場中運(yùn)動的軌跡圖,由于軌跡有多種可能,這里僅畫出兩種情況,如圖12和圖13所示.

        顯然,離子從A點(diǎn)射出后,按如圖12所示的運(yùn)動,即離子只有一次進(jìn)出向里的磁場返回A時所用的時間最短.

        由對稱性和幾何關(guān)系可得,最短時間為

        由幾何關(guān)系可知離子做圓周運(yùn)動的半徑為

        由牛頓第二定律得

        解以上各式得

        圖12 離子在磁場中運(yùn)動的軌跡圖1

        圖13 離子在磁場中運(yùn)動的軌跡圖2

        (3)離子從A點(diǎn)射出后,要使離子回到A處的時間最短,則離子射入外磁場時所做的圓周運(yùn)動的半徑必須最大,由此作出如圖14所示的軌跡圖.由幾何關(guān)系可知離子運(yùn)動軌跡不超出邊界的條件為

        解得

        圖14 離子從A點(diǎn)射出后的軌跡圖

        由對稱性和幾何關(guān)系得

        解得

        n≥4.86

        由于n必須取整數(shù),因此,當(dāng)n=5時,離子從A點(diǎn)出發(fā)到返回A的時間最短.

        由離子軌跡得

        題型2:有界磁場問題

        帶電粒子進(jìn)入有邊界的磁場時,由于邊界條件的不同,將會產(chǎn)生臨界問題和多解問題.此類問題綜合性較強(qiáng),難度較大.解答這類問題既要熟練應(yīng)用洛倫茲力、圓周運(yùn)動的知識,又要正確選用平面幾何和三角函數(shù)知識,還要特別注意弄清邊界條件和臨界條件.

        圖15 例2題圖

        分析:電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動,根據(jù)牛頓第二定律得

        求得半徑

        當(dāng)r>L時,根據(jù)電子受力情況和磁場的邊界條件,畫出電子運(yùn)動的軌跡圖,如圖16所示.

        圖16 r>L時電子的軌跡圖

        由幾何關(guān)系知

        則磁場左邊界距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為

        x1=b-L-a-r1-cosθcotθ

        解得

        當(dāng)r

        解得

        所以,磁場的左邊界距坐標(biāo)原點(diǎn)的可能距離為

        圖17 r

        題型3:臨界問題

        帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動時,由于磁場邊界的存在及速度大小和方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向的不確定性,往往引起粒子運(yùn)動的臨界問題.解決臨界問題的關(guān)鍵是畫出“臨界軌跡”,注意利用帶電粒子剛好穿出磁場邊界的條件,即帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡圓與邊界必相切.

        【例3】如圖18所示,正方形abcd區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場,O點(diǎn)是cd邊的中點(diǎn).一個帶正電的粒子(重力忽略不計(jì))若從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi),經(jīng)過時間t0剛好從c點(diǎn)射出磁場.現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點(diǎn)沿紙面以與Od成30°的方向(如圖中虛線所示),以各種不同的速率射入正方形內(nèi),那么下列說法中正確的是( )

        A.該帶電粒子不可能剛好從正方形的某個頂點(diǎn)射出磁場

        B.若該帶電粒子從ab邊射出磁場,它在磁場中經(jīng)歷的時間可能是t0

        圖18 例3題圖

        分析:帶正電的粒子從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi),并剛好從c點(diǎn)射出磁場時,帶電粒子的運(yùn)動軌跡正好是半個圓,即它的運(yùn)動周期T=2t0.

        當(dāng)帶電粒子從O點(diǎn)沿紙面以與Od成30°角的方向,以各種不同的速率射入正方形內(nèi),帶電粒子將在磁場中做半徑不同的圓周運(yùn)動.

        應(yīng)用舒張手指圓法,可畫出幾個具有臨界條件的軌跡圓(圖中只畫出軌跡圓在磁場中的部分),即如圖19中的②③④圖線.顯然,帶電粒子不可能剛好從正方形的某個頂點(diǎn)射出磁場,選項(xiàng)A正確.

        結(jié)合幾何關(guān)系,先求出帶電粒子分別過B,D,F3點(diǎn)的時間為

        從cd邊射出的粒子,在磁場中運(yùn)動的軌跡圓弧所對應(yīng)的圓心角都相等,都等于300°,在磁場中運(yùn)動的時間均為

        所以,選項(xiàng)D正確.

        圖19 應(yīng)用舒張手指圓法畫例3軌跡圖

        題型4:多解問題

        帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動時,由于帶電粒子的電性、速度方向和磁場方向的不確定性,由于臨界狀態(tài)不唯一和帶電粒子運(yùn)動的周期性等因素,造成多解情況.求解時必須認(rèn)真分析產(chǎn)生多解的原因,弄清出現(xiàn)多解的各種因素,以便準(zhǔn)確無誤地求出各種結(jié)果.

        【例4】如圖20所示,一個質(zhì)量為m,電荷量為q的正離子,從A點(diǎn)正對著圓心O以速度v射入半徑為R的絕緣圓筒中.圓筒內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B.要使該正離子與圓筒內(nèi)壁碰撞多次后仍從A點(diǎn)射出,求正離子在磁場中運(yùn)動的時間t.設(shè)離子與圓筒內(nèi)壁碰撞時無能量和電荷量損失,不計(jì)離子的重力.

        圖20 例4題圖

        分析:由于離子與圓筒內(nèi)壁碰撞時無能量損失和電荷量損失,根據(jù)離子在有界磁場中的運(yùn)動特點(diǎn)可知,每次碰撞后離子的速度方向都沿半徑方向指向圓心,并且離子運(yùn)動的軌跡是對稱的,這樣可畫出離子與圓筒內(nèi)壁碰撞的各種情形,如圖21所示是碰撞2次的情形,如圖22所示是碰撞3次的情形,依次可畫出碰撞多次的情形(這里未畫出).

        圖21 碰撞兩次的軌跡

        圖22 碰撞3次的軌跡

        離子運(yùn)動的周期為

        根據(jù)牛頓第二定律得

        所以離子在磁場中運(yùn)動的時間為

        題型5:變化磁場問題

        帶電粒子在變化磁場(最為典型的是交變磁場)中運(yùn)動時,由于運(yùn)動情況不僅與磁場的變化規(guī)律有關(guān),還與粒子進(jìn)入磁場的時間有關(guān),所以,這是一類集復(fù)雜性和綜合性于一身的難題.解題時一定要從粒子的受力分析入手,弄清帶電粒子在不同時間間隔內(nèi)的運(yùn)動情況,抓住運(yùn)動特征(往往具有周期性和對稱性),熟練巧妙地運(yùn)用相關(guān)規(guī)律.

        (2)粒子從開始時刻起經(jīng)多長時間到達(dá)y軸;

        (3)粒子是否還可以返回原點(diǎn),如果可以,則經(jīng)多長時間返回原點(diǎn).

        圖23 例5題圖

        分析:(1)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動,由洛倫茲力提供向心力有

        則半徑為

        根據(jù)周期公式得

        圖個運(yùn)動周期內(nèi)粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡圖

        第一段時間末,粒子的坐標(biāo)為

        y=R+O1Asin 30°=0.6 m

        故運(yùn)動時間為

        圖25 3個時間段內(nèi)的運(yùn)動軌跡

        (3)根據(jù)磁場的變化情況,畫出帶電粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡,如圖26所示.顯然,帶電粒子在磁場中做周期性運(yùn)動,根據(jù)對稱性和周期性可知,其中圓心O2,O6,O10構(gòu)成一個正三邊形.帶電粒子在磁場中一共運(yùn)動了6個大圓弧和6個小圓弧,故從原點(diǎn)出發(fā)至回到原點(diǎn)的總時間為

        圖26 粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡

        題型6: 組合磁場問題

        求解帶電粒子在組合磁場中的運(yùn)動問題時,不僅要弄清帶電粒子在各個磁場中的運(yùn)動情況,還要注意應(yīng)用組合磁場連接處的邊界條件,最后注意準(zhǔn)確應(yīng)用有關(guān)規(guī)律建立方程.

        【例6】為了使帶正電粒子經(jīng)過一系列的運(yùn)動后,又以原來的速率沿相反方向回到原位,可設(shè)計(jì)如下的一個磁場區(qū)域,如圖27所示,區(qū)域Ⅰ(梯形PQCD)內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B;區(qū)域Ⅱ(三角形APD)內(nèi)的磁場方向與Ⅰ內(nèi)相同,但是大小可以不同,區(qū)域Ⅲ(虛線PD之上、三角形APD以外)的磁場與Ⅱ內(nèi)大小相等、方向相反.已知等邊三角形AQC的邊長為2l,P和D分別為AQ和AC的中點(diǎn).帶正電的粒子從O點(diǎn)以某一速度v0射入?yún)^(qū)域Ⅰ,再從P點(diǎn)垂直AQ射入?yún)^(qū)域Ⅲ,又經(jīng)歷一系列運(yùn)動后返回O點(diǎn).(粒子重力忽略不計(jì))求:

        (1)該粒子的比荷;

        (2)粒子從O點(diǎn)出發(fā)再回到O點(diǎn)的整個運(yùn)動過程所需時間.

        圖27 例6題圖

        分析:(1)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動,根據(jù)牛頓第二定律得

        由幾何關(guān)系得R=l,代入上式解得

        圖28 粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)的運(yùn)動情形1

        解得

        其中n= 0,1,2,…

        帶電粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)通過的總路程為

        則帶電粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)運(yùn)動的時間為

        所以,帶電粒子在磁場中運(yùn)動的總時間為

        AP=4nr+ 3r=l

        解得

        其中n= 0,1,2,…

        圖29 粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)的運(yùn)動情形2

        帶電粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)通過的總路程為

        則帶電粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)運(yùn)動的時間為

        所以,帶電粒子在磁場中運(yùn)動的總時間為

        總之,求解帶電粒子在磁場中的運(yùn)動問題時,要善于突破知識上的5關(guān),掌握6種題型的解法.要在善于分析帶電粒子的運(yùn)動軌跡,熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)知識確定圓周運(yùn)動的半徑,把握帶電粒子運(yùn)動的各個細(xì)節(jié)上下功夫,從而突破解題的思維障礙.

        1 成金德. 帶電粒子在電磁場中運(yùn)動的問題求解策略. 物理報,2002-12-24

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