陳俊昆 成金德

(義烏市第二中學(xué) 浙江 義烏 322000)

帶電粒子在磁場中運(yùn)動的問題既與物理學(xué)中的洛倫茲力、圓周運(yùn)動、牛頓運(yùn)動定律的知識相結(jié)合，還與數(shù)學(xué)中的平面幾何、三角函數(shù)的知識相聯(lián)系，是一類綜合性強(qiáng)、能力要求高的物理問題.這類問題能很好地考查學(xué)生掌握知識的水平和綜合運(yùn)用知識的能力，正因如此，這類問題往往成為高考的熱點(diǎn)問題，同時也成為學(xué)生學(xué)習(xí)中難度較大的問題.筆者認(rèn)為，要有效地解答帶電粒子在磁場中運(yùn)動的問題，必須做好“過五關(guān)，斬六題”.

1 過五關(guān)

1.1 知識關(guān)

帶電粒子在磁場中運(yùn)動的問題所涉及的物理知識主要是洛倫茲力的特點(diǎn)和勻速圓周運(yùn)動的特征.

(1)洛倫茲力.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動時，洛倫茲力的大小f=qvBsinθ，其中θ是運(yùn)動方向與磁場方向間的夾角，當(dāng)θ=90°時，洛倫茲力的大小f=qvB.

(2)洛倫茲力的方向.洛倫茲力的方向總與運(yùn)動方向和磁場方向垂直，三者方向滿足左手定則.

(3)帶電粒子垂直于磁場方向射入勻強(qiáng)磁場時，若帶電粒子只受洛倫茲力作用，則帶電粒子將做勻速圓周運(yùn)動.根據(jù)牛頓第二定律可得

則帶電粒子運(yùn)動的半徑為

帶電粒子運(yùn)動的周期為

1.2 數(shù)學(xué)關(guān)

求解帶電粒子在磁場中的運(yùn)動問題，在確定半徑時，數(shù)學(xué)知識起決定性作用.其中常用的數(shù)學(xué)知識有如下3個方面.

(1)三角函數(shù).主要是三角函數(shù)的定義式、和差化積、半角和倍角公式等.利用三角函數(shù)知識的目的是求解圓周運(yùn)動的半徑.

(2)平面幾何.在求解帶電粒子在磁場中運(yùn)動的問題時，平面幾何中的三角形知識和圓的知識有著廣泛的應(yīng)用.運(yùn)用數(shù)學(xué)知識是構(gòu)建帶電粒子運(yùn)動的物理學(xué)模型的關(guān)鍵.

(3)圓心角α與弦切角的關(guān)系.利用圓心角α與弦切角的關(guān)系，可求出帶電粒子在磁場中的運(yùn)動時間.運(yùn)動時間t和轉(zhuǎn)過的圓心角α之間的關(guān)系為

或

1.3 圓心關(guān)

確定帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的圓心是解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).一般說來，確定圓心有如下幾種常見方法：

(1)已知兩點(diǎn)及速度方向.在兩點(diǎn)上分別作速度方向的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為圓軌跡的圓心，如圖1所示.

圖1 已知兩點(diǎn)及速度方向確定圓心

(2)已知兩點(diǎn)及某點(diǎn)的速度方向.在已知速度方向的點(diǎn)作速度方向的垂線，同時畫出兩點(diǎn)連線的中垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為圓軌跡的圓心，如圖2所示.

圖2 已知兩點(diǎn)及某點(diǎn)的速度方向，確定圓心

(3)已知某點(diǎn)的速度方向及半徑R.在該點(diǎn)作速度方向的垂線，垂線上距該點(diǎn)R處的點(diǎn)即為圓軌跡的圓心(利用左手定則判斷圓心在已知位置的哪一側(cè))，如圖3所示.

圖3 已知某點(diǎn)的速度方向及半徑，確定圓心

(4)已知3點(diǎn).若已知帶電粒子經(jīng)過磁場中的3點(diǎn)A,B,C，則可先做AB的中垂線，再做BC的中垂線，兩條線相交點(diǎn)，即為圓心O.

(5)已知入射方向和出射方向及半徑.延長粒子兩速度方向所在的直線，作兩直線的角平分線，在角平分線上找到與兩直線距離為R的點(diǎn)，該點(diǎn)即為圓心，如圖4所示.

圖4 已知入射方向和出射方向及半徑，確定圓心

1.4 規(guī)律關(guān)

帶電粒子進(jìn)入磁場做圓周運(yùn)動時，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識得到的一些規(guī)律，應(yīng)該熟記并適時應(yīng)用，有時可使問題大大簡化.

規(guī)律1：如果帶電粒子沿著具有直線邊界的磁場進(jìn)入，則它的運(yùn)動具有對稱性，如圖5所示.

圖5 帶電粒子沿具有直線邊界的磁場進(jìn)入

規(guī)律2：射向圓形勻強(qiáng)磁場中心的帶電粒子，都好像是從勻強(qiáng)磁場中心射出來，如圖6所示.

圖6 帶電粒子射向圓形勻強(qiáng)磁場中心

規(guī)律3：若帶電粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡半徑等于圓形磁場半徑，則沿任意方向射入的帶電粒子，出射時的速度方向必與過入射點(diǎn)O的圓形磁場的切線平行，如圖7所示.

圖7 帶電粒子軌道半徑等于圓形磁場半徑

1.5 方法關(guān)

(1)基本方法.求解和分析帶電粒子在磁場中的運(yùn)動問題，基本的方法包含以下3個方面.

1)畫軌跡.根據(jù)題給條件，畫出帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡圓，并確定圓心位置，這是解題的關(guān)鍵步驟.

3)用規(guī)律.應(yīng)用牛頓第二定律和圓周運(yùn)動的規(guī)律，再結(jié)合周期公式和半徑公式，列方程求解.

(2)輔助方法.分析帶電粒子在磁場中運(yùn)動的問題時，常常運(yùn)用一些輔助方法，以幫助建立物理模型，尋找解題的突破口.其中以下2種方法最為實(shí)用.

1)舒張手指圓法(放大圓法)

如圖8所示，一束帶負(fù)電的粒子垂直射入勻強(qiáng)磁場，若初速度方向相同，大小不同，所有粒子運(yùn)動軌跡的圓心都在垂直于初速度方向的直線上，軌道半徑隨速度增大而增大，通過舒張手指圓法可以方便地找出與右邊界相切的臨界軌跡.

圖8 舒張手指圓法情境圖

舒張手指圓法是指由兩只手的大拇指和食指構(gòu)成一個圓，如圖9所示，調(diào)整手指重疊部分的多少，可以獲得半徑不同的圓，從而有效確定臨界圓.這種方法既方便，又隨時可用.

圖9 舒張手指圓法展示圖

2)滾動手指圓法(旋轉(zhuǎn)圓法)

圖10 滾動手指圓法情境圖

2 斬六題

要掌握求解帶電粒子在磁場中運(yùn)動問題的方法，就必須深刻理解和正確把握以下6種題型的解題技巧和方法.

題型1:極值問題

帶電粒子在磁場中運(yùn)動的問題，常出現(xiàn)諸如求最大速度、最短時間、最長距離等極值問題.求解時需弄清產(chǎn)生極值的條件，再應(yīng)用相應(yīng)的物理知識和數(shù)學(xué)知識.速度的極值根據(jù)臨界圓的半徑判斷，半徑越大速度越大.時間的極值根據(jù)臨界軌跡的圓心角判斷，圓心角越大時間越長.

【例1】如圖11所示，某空間存在著兩個勻強(qiáng)磁場，其分界線是半徑為R的圓，兩側(cè)的磁場方向相反且垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B.現(xiàn)有一質(zhì)量為m,電荷量為q的帶正電離子(不計(jì)重力)從A點(diǎn)沿OA方向射出.求：

(1)離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期；

(2)若向外的磁場范圍足夠大，離子自A點(diǎn)射出后在兩個磁場不斷地飛進(jìn)飛出，最后又能返回到A點(diǎn)，求其返回到A點(diǎn)的最短時間及對應(yīng)離子的速度;

(3)若向外的磁場是有界的，分布在以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為R和2R的兩圓之間的區(qū)域，上述離子仍從A點(diǎn)沿OA方向射出，且離子仍能返回A點(diǎn)，求其返回A點(diǎn)的最短時間.(可能用到的三角函數(shù)值：sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)

圖11 例1題圖

分析：(1)由于離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律得

由周期公式知

解以上兩式可求出離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期為

(2)畫出離子在磁場中運(yùn)動的軌跡圖，由于軌跡有多種可能，這里僅畫出兩種情況，如圖12和圖13所示.

顯然，離子從A點(diǎn)射出后，按如圖12所示的運(yùn)動，即離子只有一次進(jìn)出向里的磁場返回A時所用的時間最短.

由對稱性和幾何關(guān)系可得，最短時間為

由幾何關(guān)系可知離子做圓周運(yùn)動的半徑為

由牛頓第二定律得

解以上各式得

圖12 離子在磁場中運(yùn)動的軌跡圖1

圖13 離子在磁場中運(yùn)動的軌跡圖2

(3)離子從A點(diǎn)射出后，要使離子回到A處的時間最短，則離子射入外磁場時所做的圓周運(yùn)動的半徑必須最大，由此作出如圖14所示的軌跡圖.由幾何關(guān)系可知離子運(yùn)動軌跡不超出邊界的條件為

解得

圖14 離子從A點(diǎn)射出后的軌跡圖

由對稱性和幾何關(guān)系得

即

解得

n≥4.86

由于n必須取整數(shù)，因此，當(dāng)n=5時，離子從A點(diǎn)出發(fā)到返回A的時間最短.

由離子軌跡得

題型2:有界磁場問題

帶電粒子進(jìn)入有邊界的磁場時，由于邊界條件的不同，將會產(chǎn)生臨界問題和多解問題.此類問題綜合性較強(qiáng)，難度較大.解答這類問題既要熟練應(yīng)用洛倫茲力、圓周運(yùn)動的知識，又要正確選用平面幾何和三角函數(shù)知識，還要特別注意弄清邊界條件和臨界條件.

圖15 例2題圖

分析：電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律得

求得半徑

當(dāng)r>L時，根據(jù)電子受力情況和磁場的邊界條件，畫出電子運(yùn)動的軌跡圖，如圖16所示.

圖16 r>L時電子的軌跡圖

由幾何關(guān)系知

則磁場左邊界距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為

x1=b-L-a-r1-cosθcotθ

解得

當(dāng)r

解得

所以，磁場的左邊界距坐標(biāo)原點(diǎn)的可能距離為

或

圖17 r

題型3:臨界問題

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動時，由于磁場邊界的存在及速度大小和方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向的不確定性，往往引起粒子運(yùn)動的臨界問題.解決臨界問題的關(guān)鍵是畫出“臨界軌跡”，注意利用帶電粒子剛好穿出磁場邊界的條件，即帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡圓與邊界必相切.

【例3】如圖18所示，正方形abcd區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，O點(diǎn)是cd邊的中點(diǎn).一個帶正電的粒子(重力忽略不計(jì))若從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間t0剛好從c點(diǎn)射出磁場.現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點(diǎn)沿紙面以與Od成30°的方向(如圖中虛線所示)，以各種不同的速率射入正方形內(nèi)，那么下列說法中正確的是( )

A.該帶電粒子不可能剛好從正方形的某個頂點(diǎn)射出磁場

B.若該帶電粒子從ab邊射出磁場，它在磁場中經(jīng)歷的時間可能是t0

圖18 例3題圖

分析：帶正電的粒子從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，并剛好從c點(diǎn)射出磁場時，帶電粒子的運(yùn)動軌跡正好是半個圓，即它的運(yùn)動周期T=2t0.

當(dāng)帶電粒子從O點(diǎn)沿紙面以與Od成30°角的方向，以各種不同的速率射入正方形內(nèi)，帶電粒子將在磁場中做半徑不同的圓周運(yùn)動.

應(yīng)用舒張手指圓法，可畫出幾個具有臨界條件的軌跡圓(圖中只畫出軌跡圓在磁場中的部分)，即如圖19中的②③④圖線.顯然，帶電粒子不可能剛好從正方形的某個頂點(diǎn)射出磁場，選項(xiàng)A正確.

結(jié)合幾何關(guān)系，先求出帶電粒子分別過B,D,F3點(diǎn)的時間為

從cd邊射出的粒子，在磁場中運(yùn)動的軌跡圓弧所對應(yīng)的圓心角都相等，都等于300°，在磁場中運(yùn)動的時間均為

所以，選項(xiàng)D正確.

圖19 應(yīng)用舒張手指圓法畫例3軌跡圖

題型4：多解問題

帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動時，由于帶電粒子的電性、速度方向和磁場方向的不確定性，由于臨界狀態(tài)不唯一和帶電粒子運(yùn)動的周期性等因素，造成多解情況.求解時必須認(rèn)真分析產(chǎn)生多解的原因，弄清出現(xiàn)多解的各種因素，以便準(zhǔn)確無誤地求出各種結(jié)果.

【例4】如圖20所示，一個質(zhì)量為m,電荷量為q的正離子，從A點(diǎn)正對著圓心O以速度v射入半徑為R的絕緣圓筒中.圓筒內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B.要使該正離子與圓筒內(nèi)壁碰撞多次后仍從A點(diǎn)射出，求正離子在磁場中運(yùn)動的時間t.設(shè)離子與圓筒內(nèi)壁碰撞時無能量和電荷量損失，不計(jì)離子的重力.

圖20 例4題圖

分析：由于離子與圓筒內(nèi)壁碰撞時無能量損失和電荷量損失，根據(jù)離子在有界磁場中的運(yùn)動特點(diǎn)可知，每次碰撞后離子的速度方向都沿半徑方向指向圓心，并且離子運(yùn)動的軌跡是對稱的，這樣可畫出離子與圓筒內(nèi)壁碰撞的各種情形，如圖21所示是碰撞2次的情形，如圖22所示是碰撞3次的情形，依次可畫出碰撞多次的情形(這里未畫出).

圖21 碰撞兩次的軌跡

圖22 碰撞3次的軌跡

離子運(yùn)動的周期為

根據(jù)牛頓第二定律得

所以離子在磁場中運(yùn)動的時間為

題型5:變化磁場問題

帶電粒子在變化磁場(最為典型的是交變磁場)中運(yùn)動時，由于運(yùn)動情況不僅與磁場的變化規(guī)律有關(guān)，還與粒子進(jìn)入磁場的時間有關(guān)，所以，這是一類集復(fù)雜性和綜合性于一身的難題.解題時一定要從粒子的受力分析入手，弄清帶電粒子在不同時間間隔內(nèi)的運(yùn)動情況，抓住運(yùn)動特征(往往具有周期性和對稱性)，熟練巧妙地運(yùn)用相關(guān)規(guī)律.

(2)粒子從開始時刻起經(jīng)多長時間到達(dá)y軸;

(3)粒子是否還可以返回原點(diǎn),如果可以，則經(jīng)多長時間返回原點(diǎn).

圖23 例5題圖

分析：(1)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由洛倫茲力提供向心力有

則半徑為

根據(jù)周期公式得

圖個運(yùn)動周期內(nèi)粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡圖

第一段時間末，粒子的坐標(biāo)為

y=R+O1Asin 30°=0.6 m

故運(yùn)動時間為

圖25 3個時間段內(nèi)的運(yùn)動軌跡

(3)根據(jù)磁場的變化情況，畫出帶電粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡，如圖26所示.顯然，帶電粒子在磁場中做周期性運(yùn)動，根據(jù)對稱性和周期性可知，其中圓心O2,O6,O10構(gòu)成一個正三邊形.帶電粒子在磁場中一共運(yùn)動了6個大圓弧和6個小圓弧，故從原點(diǎn)出發(fā)至回到原點(diǎn)的總時間為

圖26 粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡

題型6: 組合磁場問題

求解帶電粒子在組合磁場中的運(yùn)動問題時，不僅要弄清帶電粒子在各個磁場中的運(yùn)動情況，還要注意應(yīng)用組合磁場連接處的邊界條件，最后注意準(zhǔn)確應(yīng)用有關(guān)規(guī)律建立方程.

【例6】為了使帶正電粒子經(jīng)過一系列的運(yùn)動后，又以原來的速率沿相反方向回到原位，可設(shè)計(jì)如下的一個磁場區(qū)域,如圖27所示,區(qū)域Ⅰ(梯形PQCD)內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；區(qū)域Ⅱ(三角形APD)內(nèi)的磁場方向與Ⅰ內(nèi)相同，但是大小可以不同，區(qū)域Ⅲ(虛線PD之上、三角形APD以外)的磁場與Ⅱ內(nèi)大小相等、方向相反.已知等邊三角形AQC的邊長為2l，P和D分別為AQ和AC的中點(diǎn).帶正電的粒子從O點(diǎn)以某一速度v0射入?yún)^(qū)域Ⅰ，再從P點(diǎn)垂直AQ射入?yún)^(qū)域Ⅲ，又經(jīng)歷一系列運(yùn)動后返回O點(diǎn).(粒子重力忽略不計(jì))求：

(1)該粒子的比荷；

(2)粒子從O點(diǎn)出發(fā)再回到O點(diǎn)的整個運(yùn)動過程所需時間.

圖27 例6題圖

分析：(1)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律得

由幾何關(guān)系得R=l，代入上式解得

圖28 粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)的運(yùn)動情形1

解得

其中n= 0，1，2,…

帶電粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)通過的總路程為

則帶電粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)運(yùn)動的時間為

所以，帶電粒子在磁場中運(yùn)動的總時間為

AP=4nr+ 3r=l

解得

其中n= 0，1，2,…

圖29 粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)的運(yùn)動情形2

帶電粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)通過的總路程為

則帶電粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)運(yùn)動的時間為

所以，帶電粒子在磁場中運(yùn)動的總時間為

總之，求解帶電粒子在磁場中的運(yùn)動問題時，要善于突破知識上的5關(guān)，掌握6種題型的解法.要在善于分析帶電粒子的運(yùn)動軌跡，熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)知識確定圓周運(yùn)動的半徑，把握帶電粒子運(yùn)動的各個細(xì)節(jié)上下功夫，從而突破解題的思維障礙.

1 成金德. 帶電粒子在電磁場中運(yùn)動的問題求解策略. 物理報，2002-12-24