杜 宇 靜

(吉林農(nóng)業(yè)科技學(xué)院 文理學(xué)院, 吉林 吉林 132101)

動(dòng)態(tài)模型描述系統(tǒng)正常工作變量剩余壽命分布的當(dāng)前狀態(tài)與失效歷史有關(guān), 即動(dòng)態(tài)模型反映系統(tǒng)變量的失效會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的改變, 一個(gè)變量的失效會(huì)影響其他變量剩余壽命的分布, Kamps[1]提出的序貫k-out-of-n系統(tǒng)就是一個(gè)動(dòng)態(tài)可靠性模型. Balakrishnan等[2]研究了序貫k-out-of-n系統(tǒng)在序約束下參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷, 并得到正常工作變量的失效率隨變量的失效數(shù)而改變; Deshpande等[3]給出了多元失效時(shí)間模型的一個(gè)動(dòng)態(tài)方法; Sutar等[4]研究了動(dòng)態(tài)負(fù)荷分享系統(tǒng)加速失效時(shí)間模型的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題和假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題. 在可靠性和壽命數(shù)據(jù)分析中, 通?？紤]協(xié)變量的影響, 文獻(xiàn)[5-6]研究了帶協(xié)變量的動(dòng)態(tài)模型; 文獻(xiàn)[7]研究了帶有協(xié)變量的序貫k-out-of-n模型在序約束下參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題.

本文考慮帶有協(xié)變量的序貫(n-r+1)-out-of-n系統(tǒng), 從該系統(tǒng)中得到一個(gè)Ⅱ型刪失抽樣, 即觀測(cè)到系統(tǒng)前r個(gè)變量的壽命, 其余變量的壽命隨機(jī)刪失, 并研究該模型的參數(shù)及一些重要的可靠性特征(如可靠度函數(shù)、 分位數(shù)函數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷等).

1 帶有協(xié)變量的動(dòng)態(tài)可靠性模型

對(duì)系統(tǒng)(n-r+1)-out-of-n, 可觀察到系統(tǒng)前r個(gè)最小變量的壽命, 其余變量壽命隨機(jī)刪失. 令Y1,Y2,…,Yr表示前r個(gè)次序變量的壽命, 相應(yīng)的觀察值為y1

λ(yi|yi-1)=αi[g(yi)-g(yi-1)],yi>yi-1,i=1,2,…,r,

其中:g(t)連續(xù), 關(guān)于t(t>0)是單調(diào)遞增的函數(shù);αi為成比例的參數(shù), 且為正實(shí)數(shù). 函數(shù)g(t)在應(yīng)用時(shí)的一個(gè)重要形式是Weibull風(fēng)險(xiǎn)形式g(t)=tγ(γ>0)[9-10].

在可靠性分析中, 通常要考慮協(xié)變量對(duì)系統(tǒng)變量失效時(shí)間的影響, 所以這里考慮帶有協(xié)變量的Weibull風(fēng)險(xiǎn)形式, 參數(shù)γ依賴p個(gè)協(xié)變量x=(x1,x2,…,xp)T,γ(x)的一個(gè)最簡(jiǎn)單形式為

γ(x)=xTβ=β1x1+β2x2+…+βpxp>0,

其中β=(β1,β2,…,βp)T是參數(shù)向量. 基于Weibull分布最小次序統(tǒng)計(jì)量的分布仍為Weibull分布, 給定Yi-1=yi-1第i個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量Yi的個(gè)體條件風(fēng)險(xiǎn)可表示為

(1)

其中:xTβ>0;αi(i=1,2,…,r)是正實(shí)數(shù). 則給定Yi-1=yi-1,Yi的條件密度函數(shù)為

Balakrishnan等[11]研究了來(lái)自Markov鏈的連續(xù)分布的次序統(tǒng)計(jì)量, 給定前i個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量Y1,Y2,…,Yi, 則第j個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量Yj(j>i)僅依賴于第i個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量, 與前面(i-1)個(gè)變量Y1,Y2,…,Yi-1相互獨(dú)立. 因此Y1,Y2,…,Yr的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

其中: 0

2 似然推斷

假設(shè)在一個(gè)壽命試驗(yàn)中有s個(gè)獨(dú)立同分布的(n-r+1)-out-of-n系統(tǒng), 可觀測(cè)到每個(gè)系統(tǒng)前r個(gè)次序變量的壽命, 令第j個(gè)系統(tǒng)前r個(gè)次序變量的觀測(cè)值為y1,j

其中:y0,j恒為0;xTβ>0;αi(i=1,2,…,r)為正實(shí)數(shù).

證明: 對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

則參數(shù)α和β的最大似然估計(jì)可通過(guò)解下列似然方程組得到：

文獻(xiàn)[12-14]研究了相依情形下最大似然估計(jì)的漸近性質(zhì), 并討論了在正則條件下模型參數(shù)最大似然估計(jì)的相合性; 文獻(xiàn)[14]還討論了相依數(shù)據(jù)最大似然估計(jì)的漸近正態(tài)性.

其中zq是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的q分位數(shù). 因?yàn)槟Ｐ蛥?shù)是正實(shí)數(shù), 所以也可基于對(duì)數(shù)最大似然估計(jì)得到置信區(qū)間:

(3)

研究表明, 對(duì)數(shù)最大似然估計(jì)的置信區(qū)間在覆蓋概率和平均寬度上均比最大似然估計(jì)的置信區(qū)間好, 因此本文只考慮基于對(duì)數(shù)最大似然估計(jì)的置信區(qū)間.

3 數(shù)值模擬

下面對(duì)本文所得的統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬. 考慮一個(gè)帶有協(xié)變量x1和x2的序貫3-out-of-5系統(tǒng), 協(xié)變量x1和x2均服從均值為0.5的指數(shù)分布, 模擬結(jié)果分別列于表1～表3. 表1列出了通過(guò)R軟件計(jì)算得到的參數(shù)最大似然估計(jì)的偏差和均方誤差(括號(hào)內(nèi)), 均進(jìn)行1 000次模擬. 其中：α1,α2,α3,β1,β2表示參數(shù)的真實(shí)值; 表2和表3中模型參數(shù)的真實(shí)值均為α1=0.5,α2=0.75,α3=1,β1=0.5,β2=1.

表1 模型參數(shù)最大似然估計(jì)的偏差和均方誤差(括號(hào)內(nèi))

由表1可見(jiàn), 參數(shù)估計(jì)的均方誤差隨獨(dú)立系統(tǒng)個(gè)數(shù)s的增加而減少, 即使對(duì)較小的s, 最大似然估計(jì)的結(jié)果也較合理. 表2列出了第i(i=1,2,3)個(gè)失效變量可靠度函數(shù)Ri(t)(i=1,2,3)的最大似然估計(jì), 相應(yīng)地可計(jì)算出90%分位數(shù)的平均最大似然估計(jì)分別為0.4,0.995,1.295個(gè)單位.

表2 可靠度函數(shù)Ri(t)(i=1,2,3)的平均最大似然估計(jì)

基于log-MLEs得到置信區(qū)間式(3)的平均寬度(AW)、 覆蓋概率(CP)、 左刪失概率(LMP)和右刪失概率(RMP)結(jié)果列于表3. 由表3可見(jiàn): 置信區(qū)間的平均寬度隨樣本容量的增加而減少, 置信區(qū)間的覆蓋概率接近期望的水平, 特別對(duì)較大的s=30,50; LMP與RMP值接近, 置信區(qū)間對(duì)稱.

表3 置信區(qū)間的平均寬度、 模型參數(shù)的覆蓋概率、 左刪失概率和右刪失概率

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