包含區(qū)域D. 設(shè)Γ1=?B1,n1為Γ1的單位外法向量. 給定Γ1上的切向量λ, Calderon算子Ge:Y(Γ1)→Y(Γ1)是D-t-N算子:

其中Es滿足:

令a:H(curl;Ω1)×H(curl;Ω1)→為半線性形式:

a(E,v)=0, ?v∈HD(curl;Ω1),

(8)

其中

HD(curl;Ω1)={v∈H(curl;Ω1): 在ΓD上,n×v=0}.

文獻(xiàn)[8]給出了變分問題(8)解的存在唯一性. 由文獻(xiàn)[7]中引理1可知, 存在常數(shù)C>0, 使得下列inf-sup條件成立:

?u∈HD(curl;Ω1).

(9)

圖1 優(yōu)化PML的構(gòu)造Fig.1 Structure of optimal PML

2 優(yōu)化PML方法的構(gòu)造

對三維時諧散射問題引入優(yōu)化的PML層, 令區(qū)域

B2={x∈3: |xi|

包含區(qū)域B1, 如圖1所示. 假設(shè)

θ∶=1+d1/L1=1+d2/L2=1+d3/L3,

α(t)=η(t)+iσ(t),t≥0,

其中

(10)

(11)

(12)

其中m≥2.

證明:

證畢.

外問題(5)-(7)的解Es滿足

(13)

(16)

其中μ=Ge(λ). 顯然在邊界Γ1上n1×E(λ)=λ.

令F:ΩPML→3定義為

Fj(x)=β(r(x))xj,j=1,2,3.

(17)

其中DF為Jacobi矩陣. 由式(17)可得

×A在中,

其中A=J-1DFTDF,B=DFT.

3 優(yōu)化PML方法的收斂性

引理1[7]對于任意的zj=aj+ibj,aj,bj∈(j=1,2,3), 使得

有

(20)

(21)

其中:

(22)

(23)

由復(fù)距離的定義和引理1可知,

再由式(22),(23)可得

由定理1, 式(21)得證. 證畢.

由引理2, 類似文獻(xiàn)[7]中引理4可得以下結(jié)論：

其中：i,j=1,2,3; 常數(shù)m≥ 2.

其中q∈Y(Γ2). 定義如下半線性形式:

則問題(24)-(25)的弱解為: 給定q∈Y(Γ2), 求w∈H(curl;ΩPML), 使得在邊界Γ1上,n1×w=0, 在邊界Γ2上,n2×w=q, 且

c(w,v)=0, ?v∈H0(curl;ΩPML).

(26)

引理4[7]對于足夠小的參數(shù)ε0>0, 問題(24)-(25)存在唯一解, 并存在常數(shù)C>0, 使得

‖n1×(×w)‖Y(Γ1)≤C‖q‖Y(Γ2).

(27)

令PML問題(18)-(19)在邊界Γ1上滿足

n1×(

(28)

其中u滿足:

?v∈HD(curl;Ω1).

(31)

引理5對于足夠小的參數(shù)ε0>0, 存在常數(shù)C>0, 使得

其中λ∈Y(Γ1).

綜上可得如下結(jié)論:

(32)

其中C>0為常數(shù).

證明: 對于任意的v∈HD(curl;Ω1), 由式(8),(31)可得

(33)

因此只要參數(shù)ε0足夠小, 由式(9)和引理5可得

因此PML問題(18)-(19)有唯一解. 由引理5和式(32),(33)可得結(jié)論. 證畢.

由定理2可見, 只要ε0充分小, 優(yōu)化的PML解指數(shù)即收斂于原問題的解. 文獻(xiàn)[7]中定理2證明了當(dāng)PML厚度足夠大時, PML解指數(shù)收斂于原問題的解. 本文提出的優(yōu)化PML方法, PML解不依賴PML的厚度, 對于較薄的PML, 可以降低有限元的計(jì)算量.

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